Помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp или Viber. Заполнение формы с личными данными и регистрация на сайте не нужны.
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов).
Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение

   (*)

где  и  – непрерывные функция в интервале  называется неоднородным линейным дифференциальным уравнение второго порядка, функции  и  – его коэффицинентами. Если  в этом интервале, то уравнение принимает вид:

   (**)

и называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.  Если уравнение (**) имеет те же коэффициенты  и , как уравнение (*), то оно называется однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (*).

Однородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка

Пусть в линейном уравнении

 и   - постоянные действительные числа.

Частное решение уравнения будем искать в виде функции  , где  – действительное или комплексное число, подлежащее определению. Дифференцируя по , получаем:

Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:

Отсюда, учитывая, что , имеем:

Это уравнение называется характеристическим уравнением однородного линейного дифуравнения. Характеристическое уравнение и дает возможность найти . Это уравнение второй степени, поэтому имеет два корня. Обозначим их через  и . Возможны три случая:

1) Корни действительные и разные . В этом случае общее решение уравнения:

Пример 1

Характеристическое уравнение имеет вид:

Решение характеристического уравнения:

Общее решение исходного дифуравнения:

 

2) Корни действительные и равные . В этом случае общее решение уравнения:

Пример 2

Оказались на этой странице, пытаясь решить задачу на экзамене или зачете? Если так и не смогли сдать экзамен - в следующий раз договоритесь заранее на сайте об Онлайн помощи по высшей математике.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Решение характеристического уравнения:

Общее решение исходного дифуравнения:

 

3) Корни комплексные . В этом случае общее решение уравнения:

Пример 3

Характеристическое уравнение имеет вид:

Решение характеристического уравнения:

Общее решение исходного дифуравнения:

Неоднородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка

Рассмотрим теперь решение некоторых типов линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

где  и  – постоянные действительные числа,  – известная непрерывная функция в интервале . Для нахождения общего решения такого дифференциального уравнения необходимо знать общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения  и частное решение .  Рассмотрим некоторые случаи:

1) 

Частное решение дифференциального уравнения ищем также в форме квадратного трехчлена:

Подставляя  и  в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициенты.

Если 0 – однократный корень характеристического уравнения, то

Если 0 – двухкратный корень характеристического уравнения, то

Аналогично обстоит дело, если  – многочлен произвольной степени

Пример 4

Решим соответствующее однородное уравнение.

Характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения:

Найдем частное решение неоднородного дифуравнения:

Подставляя найденные производные в исходное дифуравнение, получаем:

Искомое частное решение:

Общее решение исходного дифуравнения:

 

2)

Частное решение ищем в виде , где  – неопределенный коэффициент.

Подставляя  и  в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициент.

Если  – корень характеристического уравнения, то частное решение исходного дифференциального уравнения ищем в виде  , когда  – однократный корень, и , когда  – двукратный корень.

Пример 5

Характеристическое уравнение:

Общее решение соответствующего однородного дифференциального  уравнения:

Найдем частное решение соответствующего неоднородного дифференциального  уравнения:

Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:

Общее решение дифуравнения:

 

3)

В этом случае частное решение  ищем в форме тригонометрического двучлена:

где  и  – неопределенные коэффициенты

Подставляя  и  в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициенты.

Эти уравнения определяют коэффициенты  и  кроме случая, когда  (или когда  – корни характеристического уравнения). В последнем случае частное решение дифференциального уравнения ищем в виде:

Пример 6

Характеристическое уравнение:

Общее решение соответствующего однородного дифуравнения:

Найдем частное решение неоднородного дифуравнения

Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:

Общее решение исходного дифуравнения: