Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение

   (*)

где  и  – непрерывные функция в интервале  называется неоднородным линейным дифференциальным уравнение второго порядка, функции  и  – его коэффицинентами. Если  в этом интервале, то уравнение принимает вид:

   (**)

и называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.  Если уравнение (**) имеет те же коэффициенты  и , как уравнение (*), то оно называется однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (*).

Пусть в линейном уравнении

 и   - постоянные действительные числа.

Частное решение уравнения будем искать в виде функции  , где  – действительное или комплексное число, подлежащее определению. Дифференцируя по , получаем:

Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:

Отсюда, учитывая, что , имеем:

Это уравнение называется характеристическим уравнением однородного линейного дифуравнения. Характеристическое уравнение и дает возможность найти . Это уравнение второй степени, поэтому имеет два корня. Обозначим их через  и . Возможны три случая:

Корни действительные и разные

В этом случае общее решение уравнения:

Корни действительные и равные

В этом случае общее решение уравнения:

Корни комплексные

В этом случае общее решение уравнения:

Рассмотрим теперь решение некоторых типов линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

где  и  – постоянные действительные числа,  – известная непрерывная функция в интервале . Для нахождения общего решения такого дифференциального уравнения необходимо знать общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения  и частное решение .  Рассмотрим некоторые случаи:

Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:

Частное решение дифференциального уравнения ищем также в форме квадратного трехчлена:

Подставляя  и  в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициенты.

Если нуль – однократный корень характеристического уравнения, то

Если нуль – двухкратный корень характеристического уравнения, то

Аналогично обстоит дело, если  – многочлен произвольной степени

Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:

Частное решение ищем в виде , где  – неопределенный коэффициент.

Подставляя  и  в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициент.

Если  – корень характеристического уравнения, то частное решение исходного дифференциального уравнения ищем в виде  , когда  – однократный корень, и , когда  – двукратный корень.

Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:

В этом случае частное решение  ищем в форме тригонометрического двучлена:

где  и  – неопределенные коэффициенты

Подставляя  и  в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициенты.

Эти уравнения определяют коэффициенты  и  кроме случая, когда  (или когда  – корни характеристического уравнения). В последнем случае частное решение дифференциального уравнения ищем в виде: