Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- Определение
- Однородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка
- Неоднородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка
- Методы решения других видов дифференциальных уравнений
- Дифференциальные уравнения - основные понятия
- Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
- Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
- Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Системы дифференциальных уравнений
Уравнение
(*)
где
и
– непрерывные
функция в интервале
называется
неоднородным линейным дифференциальным уравнение второго порядка, функции
и
– его
коэффицинентами. Если
в
этом интервале, то уравнение принимает вид:
(**)
и называется однородным
линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Если уравнение (**) имеет
те же коэффициенты
и
, как уравнение (*), то оно называется
однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (*).
Однородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка
Пусть в линейном уравнении
и
- постоянные
действительные числа.
Частное решение уравнения
будем искать в виде функции
, где
– действительное
или комплексное число, подлежащее определению. Дифференцируя по
, получаем:
Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:
Отсюда, учитывая, что
, имеем:
Это уравнение называется
характеристическим уравнением однородного линейного дифуравнения. Характеристическое уравнение и дает
возможность найти
. Это уравнение второй степени, поэтому
имеет два корня. Обозначим их через
и
. Возможны три случая:
Корни действительные и разные

В этом случае общее решение уравнения:
Пример 1
Решение
Характеристическое уравнение имеет вид:
Решение характеристического уравнения:
Общее решение исходного дифуравнения:
Корни действительные и равные

В этом случае общее решение уравнения:
Пример 2
Решение
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Характеристическое уравнение имеет вид:
Решение характеристического уравнения:
Общее решение исходного дифуравнения:
Корни комплексные

В этом случае общее решение уравнения:
Пример 3
Решение
Характеристическое уравнение имеет вид:
Решение характеристического уравнения:
Общее решение исходного дифуравнения:
Неоднородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка
Рассмотрим теперь решение некоторых типов линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
где
и
– постоянные
действительные числа,
– известная непрерывная
функция в интервале
. Для нахождения общего решения такого
дифференциального уравнения необходимо знать общее решение соответствующего
однородного дифференциального уравнения
и частное
решение
. Рассмотрим
некоторые случаи:
Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:

Частное решение дифференциального уравнения ищем также в форме квадратного трехчлена:
Подставляя
и
в исходное
дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициенты.
Если нуль – однократный корень характеристического уравнения, то
Если нуль – двухкратный корень характеристического уравнения, то
Аналогично обстоит дело, если
– многочлен
произвольной степени
Пример 4
Решение
Решим соответствующее однородное уравнение.
Характеристическое уравнение:
Общее решение однородного уравнения:
Найдем частное решение неоднородного дифуравнения:
Подставляя найденные производные в исходное дифуравнение, получаем:
Искомое частное решение:
Общее решение исходного дифуравнения:
Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:

Частное решение ищем в виде
, где
– неопределенный
коэффициент.
Подставляя
и
в исходное
дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициент.
Если
– корень
характеристического уравнения, то частное решение исходного дифференциального
уравнения ищем в виде
, когда
– однократный
корень, и
, когда
– двукратный
корень.
Пример 5
Решение
Характеристическое уравнение:
Общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:
Найдем частное решение соответствующего неоднородного дифференциального уравнения:
Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:
Общее решение дифуравнения:
Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:

В этом случае частное решение
ищем в форме тригонометрического двучлена:
где
и
– неопределенные коэффициенты
Подставляя
и
в исходное
дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициенты.
Эти уравнения определяют коэффициенты
и
кроме случая, когда
(или когда
– корни характеристического уравнения). В
последнем случае частное решение дифференциального уравнения ищем в виде:
Пример 6
Решение
Характеристическое уравнение:
Общее решение соответствующего однородного дифуравнения:
Найдем частное решение неоднородного дифуравнения
Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:
Общее решение исходного дифуравнения: