Задачи по теории вероятностей с решениями
В разделе размещены подробно разобранные задачи по теории вероятностей и математической статистике, перед решением которых излагается теория в сжатом виде, где содержаться основные формулы разбираемой темы. Примеры упорядочены в соответствии с содержанием курса теории вероятностей в ВУЗах. Задачи будут полезны для студентов экономических и технических специальностей.
В краткой форме раскрыты основные понятия - перестановки,
размещения, сочетания, и приведены основные формулы комбинаторики. После каждой формулы приводится пример решения задачи.
В краткой форме рассмотрено понятие вероятности случайного события и
дано классическое определение вероятности. На подробном примере решения задач о бросании игральных костей и извлечении шаров из урны раскрыто одно из важнейших
определений теории вероятностей.
Изложено геометрическое определение вероятности и приведен пример решения
широко известной задачи о встрече.
Приведено определение относительной частоты и изложено статистическое определение вероятности. Приведены примеры решения задач.
Сформулирована теорема сложения вероятностей и решены примеры на данную тему.
Рассматривается понятие произведения событий и условной вероятности. Приведена теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий и решено множество примеров.
На примере решения задачи рассмотрены формула полной вероятности и формула
Байеса, дается сопутствующее понятие гипотез.
Страница содержит краткое изложение теории повторных независимых
испытаний и приведен пример решения задачи на формулу Бернулли.
Изложены краткие теоретические сведения по локальной
теореме Муавра - Лапласа, рассмотрены условия ее применимости, а также приведен пример решения задачи.
В краткой форме раскрыто содержание интегральной теоремы
Муавра - Лапласа, рассматриваются условия ее применимости. Приводится образец задачи с подробным решением.
Рассматривается на подробном примере решения задачи отклонение
относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
Рассматривается на подробном примере решения задачи понятие наивероятнейшего
числа и как найти вероятность появления наивероятнейшего числа.
Рассматривается формула Пуассона и условие ее
применимости. Приведен пример решения задачи теории вероятностей на формулу Пуассона.
На странице рассмотрен закон распределения дискретной случайной
величины, изложена схема вычислений математического ожидания и дисперсии одномерной дискретной случайной величины. Приведен пример решения задачи с построением
функции распределения.
На странице рассматривается непрерывная случайная величина,
ее функция распределения и плотность распределения. Перечислены свойства плотности вероятности, приведены формулы для вычисления
математического ожидания и дисперсии НСВ. Даны образцы решения задач на расчет характеристик и построение графиков функции распределения
и плотности распределения непрерывной случайной величины.
Рассматриваются функции распределения дискретных и непрерывных случайных величин - определение, свойства, графики функции распределения.
Рассматривается плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - определение, свойства, графики плотности распределения вероятностей.
Рассматривается математическое ожидание случайной величины - одно из важнейших
понятий теории вероятностей. Приведены примеры решения задач. Кратко излагается что такое математическое ожидание и каковы его свойства.
Математическое ожидание суммы и произведения случайных величин.
Излагается определение дисперсии случайной величины и
среднего квадратического отклонения, которые являются важными понятиями в курсе теории вероятностей и математической статистики. Описываются свойства дисперсии -
дисперсия суммы случайных величин, дисперсия постоянной величины.
На странице рассмотрены определения начальных и центральных моментов случайной величины, приведены формулы их взаимосвязи. Даны понятия об асимметрии и эксцессе непрерывной и дискретной случайных величин.
На странице рассматривается мода и медиана случайной величины в теории вероятностей, вычисление моды и медианы на примере непрерывных и дискретных случайных величин. Изложено понятие квантилей и процентных точек СВ. Приведены примеры.
Излагается понятие функции одного и двух случайных аргументов, а также понятие композиции случайных величин. Приведены примеры.
На странице рассматривается неравенство Маркова (лемма Чебышева) и приведены примеры решения задач.
Рассмотрен пример решения задачи
на закон больших чисел (неравенство Чебышева).
Страница содержит определение биномиального закона
распределения, формулу для вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по биномиальному закону.
Приведен пример решения задачи.
Излагается понятие геометрического закона распределения
дискретной случайной величины и рассматривается пример решения задачи. Приведены формулы математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по
геометрическому закону.
Излагается понятие пуассоновского закона распределения
дискретной случайной величины и рассматривается пример решения задачи. Приведены формулы характеристик распределения.
Простейший поток событий и его свойства - теория и примеры решения задач.
Рассматривается гипергеометрическое распределение, моделирующее количество
удачных выборок без возвращения из конечной совокупности. Страница содержит определение гипергеометрического закона распределения, формулы для вычисления математического
ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по гипергеометрическому закону, а также образец решения задачи.
Рассматривается нормальное распределение случайной величины -
его плотность и функция распределения, а также правило трех сигм. Приведены необходимые теоретические сведения и
образцы решения задач на нормальный закон распределения.
Рассмотрен экспоненциальный (показательный) закон распределения
случайной величины, приведены необходимые теоретические сведения и примеры решения задач. Излагаются понятия математического ожидания, дисперсии и параметра
показательного закона распределения.
Излагается понятие закона равномерного распределения случайной величины.
Приведены необходимые теоретические сведения, рассмотрены математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной равномерно и
приведен пример решения задачи на эту тему.
Рассматривается
двумерная дискретная случайная величина и ее числовые характеристики - математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение,
а также условные законы распределения, коэффициенты ковариации и корреляции.
Рассматривается
двумерная непрерывная случайная величина.
Функция распределения двумерной СВ и ее свойства.
Плотность распределения двумерной СВ и ее свойства, а также условные и безусловные законы распределения.
Рассматривается подробно построение полигона и гистограммы частот и
относительных частот - графиков статистического ряда распределения.
Также затронута тема построения графиков накопленных частот - кумуляты и огивы с примерами задач.
В задаче, приведенной на странице, вычисляется несмещенная оценка дисперсии (исправленная выборочная дисперсия)
Приведены необходимые теоретические сведения на тему
показателей асимметрии и эксцесса, и образцы решения задач, где показан подробный расчет коэффициента асимметрии и эксцесса распределения.
Построение доверительного интервала для математического ожидания
(среднего) и дисперсии - рассмотрена краткая теория, приведен подробный пример решения задачи.
На странице даны образцы решения задач на построение парной линейной регрессии методом наименьших квадратов (МНК). Решение задач предваряют краткие теоретические сведения, где подробно рассматривается соответствующая система нормальных уравнений и следующие из нее формулы для нахождения параметров парной линейной регрессии.
Рассмотрены формула и смысл коэффициента линейной корреляции. Страница содержит типовой пример по расчету выборочного линейного коэффициента корреляции и проверке его значимости.
Рассматриваются нелинейные уравнения парной регрессии - степенные, гиперболические, показательные и параболические. Приведены соответствующие системы нормальных уравнений и решены задачи, в которых, помимо параметров уравнения, рассчитаны для каждого вида модели коэффициенты детерминации и эластичности.
Содержится краткая теория и пример решения задачи на ранговую корреляцию. Дано понятие ранговой корреляции, показан расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена.
На странице рассмотрено применение ранговой корреляции и коэффициента ранговой корреляции Кендалла в статистике. Приведена краткая теория, а также задача с примером расчета коэффициента Кендалла с проверкой гипотезы о его значимости.
На примере решения задачи подробно рассматривается проверка гипотезы о
равенстве средних значений, понятия нулевой и конкурирующей гипотезы.
Рассматривается проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по нормальному закону. На примере решения задачи вычислены теоретические частоты нормального распределения и осуществлена проверка гипотезы о нормальном распределении СВ с помощью критерия Пирсона.
Рассматривается проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по экспоненциальному (показательному) закону. На примере решения задачи вычислены теоретические частоты показательного распределения и осуществлена проверка гипотезы об экспоненциальном распределении СВ с помощью критерия Пирсона.
Рассматривается проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности
по закону Пуассона. Показано вычисление теоретических частот и применение критерия Пирсона на примере решения задачи.
Даны краткие теоретические сведения о дисперсионном анализе.
Рассмотрен пример решения задачи на однофакторный дисперсионный анализ с вычислениями факторной и случайной дисперсии.
Приведена таблица значений функции Лапласа и образцы решения задач.
Приведена таблица критических точек t-критерия Стьюдента и образцы решения
задач.
Приведена таблица критических точек распределения χ2 (хи-квадрат) критерия
Пирсона и образцы решения задач.
Приведена таблица критических точек
распределения F Фишера-Снедекора и образцы решения задач.
Большое количество типовых задач по теории вероятностей для самостоятельного решения.
- Часть первая: 108 типовых задач по теории вероятностей
- Часть вторая: 137 типовых задач по теории вероятностей
- Часть третья: 114 типовых задач по теории вероятностей
- Часть четвертая: 89 типовых задач по теории вероятностей