Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную , искомую функцию  и ее производные. Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Следовательно, общий вид дифференциального уравнения n-го порядка следующий:

   (*)

причем в частных случаях в это уравнение могут и не входить  и отдельные производные, ниже чем . Например, уравнения

имеет соответственно первый и второй порядок.

Всякая функция , которая, будучи подставлена в дифференциальное уравнение, обращает его в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Интеграл

   (**)

дифференциального уравнения (*), содержащий n независимых произвольных постоянных  и эквивалентный (в данной области) уравнению (*), называется общим интегралом дифференциального уравнения (в соответствующей области). Придавая в соотношении (**) постоянным  определенные значения, получаем частный интеграл уравнения (*).

Если для искомого частного решения  дифференциального уравнения

заданы начальные условия (задача Коши)

и известно общее решение уравнения

то произвольные постоянные  определяются, если это возможно, из системы уравнений:

Решение многих научных и технических задач приводит к интегрированию дифференциальных уравнений. В этих задачах требуется установить зависимость между переменными величинами некоторого физического, химического или другого процесса, найти уравнение линии или поверхности и т. п.

При решении таких задач можно руководствоваться следующим:

Необходимо сначала составить дифференциальное уравнение из условия задачи. Определить тип полученного уравнения и выбрать метод решения. Найти общее решение уравнения. Получить частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям. В случае необходимости вычислить значения вспомогательных параметров (коэффициент пропорциональности и др.). Если это требуется, найти численные значения искомых величин.

Составление дифференциального уравнения по условию научной или технической задачи состоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их приращениями, в нахождении выражения для производной. В некоторых случаях приращения целесообразно сразу заменить соответствующими дифференциалами. При составлении дифференциальных уравнений используются соответственно геометрический или механический смысл производной; кроме того, в зависимости от условия задачи применяются соответствующие законы физики, механики, химии и других наук.