Дифференциальные уравнения
- Дифференциальное уравнения - основные определения
- Примеры решения задач
- Методы решения различных видов дифференциальных уравнений
- Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
- Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
- Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- Системы дифференциальных уравнений
Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную
, искомую функцию
и ее
производные. Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то
дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Следовательно, общий вид дифференциального уравнения n-го порядка следующий:
(*)
причем в частных случаях в
это уравнение могут и не входить
и
отдельные производные, ниже чем
. Например, уравнения
имеет соответственно первый и второй порядок.
Всякая функция
, которая, будучи подставлена в
дифференциальное уравнение, обращает его в тождество, называется решением дифференциального уравнения.
Интеграл
(**)
дифференциального уравнения
(*), содержащий n независимых произвольных постоянных
и
эквивалентный (в данной области) уравнению (*), называется общим интегралом дифференциального уравнения (в соответствующей
области). Придавая в соотношении (**) постоянным
определенные
значения, получаем частный интеграл уравнения (*).
Если для искомого частного
решения
дифференциального
уравнения
заданы начальные условия (задача Коши)
и известно общее решение уравнения
то
произвольные постоянные
определяются, если это возможно, из системы
уравнений:
Решение многих научных и технических задач приводит к интегрированию дифференциальных уравнений. В этих задачах требуется установить зависимость между переменными величинами некоторого физического, химического или другого процесса, найти уравнение линии или поверхности и т. п.
При решении таких задач можно руководствоваться следующим:
Составление дифференциального уравнения по условию научной или технической задачи состоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их приращениями, в нахождении выражения для производной. В некоторых случаях приращения целесообразно сразу заменить соответствующими дифференциалами. При составлении дифференциальных уравнений используются соответственно геометрический или механический смысл производной; кроме того, в зависимости от условия задачи применяются соответствующие законы физики, механики, химии и других наук.
Примеры решения задач
Задача 1
Проверить, что функция
является решением дифференциального уравнения
Решение
Имеем:
и следовательно:
Ответ: заданная функция является решение заданного дифференциального уравнения.
Задача 2
Найти кривую семейства
для которой
Решение
Имеем:
Получаем:
Искомое уравнение кривой:
Ответ:
Задача 3
Найти
линию, у которой отрезок нормали в любой ее точке, заключенный между осями
координат, делится пополам в этой точке. Составить уравнение такой линии,
проходящей через точку
Решение
Пусть
– произвольная точка искомой линии
Уравнение
нормали к линии
. В точке
:
Обозначим
через
и
точки пересечения нормали с координатными
осями. Положив в этом уравнении
найдем
– абсциссу точки
.
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
При
из того же уравнения найдем ординату точки
Поскольку
– середина отрезка
, то
Каждое из этих уравнений приводится к уравнению
Этому
уравнению удовлетворяют координаты любой точки
искомой линии, поэтому:
Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получаем общий интеграл:
Общий
интеграл определяет множество гипербол. Найдем ту линию, которая проходит через
точку
или
Ответ: