Платная помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач, домашних работ и контрольных вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Telegram или электроннной почтой, сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие.
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Высшая математика и физика, теория вероятностей, линейное программирование, статистика, эконометрика, финансовая математика, методы и модели, оптимальные решения.
На цену сильно влияет срочность решения. Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Дифференциальные уравнения

Краткая теория

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную , искомую функцию  и ее производные. Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Следовательно, общий вид дифференциального уравнения n-го порядка следующий:

   (*)

причем в частных случаях в это уравнение могут и не входить  и отдельные производные, ниже чем . Например, уравнения

имеет соответственно первый и второй порядок.

Всякая функция , которая, будучи подставлена в дифференциальное уравнение, обращает его в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Интеграл

   (**)

дифференциального уравнения (*), содержащий n независимых произвольных постоянных  и эквивалентный (в данной области) уравнению (*), называется общим интегралом дифференциального уравнения (в соответствующей области). Придавая в соотношении (**) постоянным  определенные значения, получаем частный интеграл уравнения (*).

Если для искомого частного решения  дифференциального уравнения

заданы начальные условия (задача Коши)

и известно общее решение уравнения

то произвольные постоянные  определяются, если это возможно, из системы уравнений:

Решение многих научных и технических задач приводит к интегрированию дифференциальных уравнений. В этих задачах требуется установить зависимость между переменными величинами некоторого физического, химического или другого процесса, найти уравнение линии или поверхности и т. п.

При решении таких задач можно руководствоваться следующим:

    Необходимо сначала составить дифференциальное уравнение из условия задачи. Определить тип полученного уравнения и выбрать метод решения. Найти общее решение уравнения. Получить частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям. В случае необходимости вычислить значения вспомогательных параметров (коэффициент пропорциональности и др.). Если это требуется, найти численные значения искомых величин.

Составление дифференциального уравнения по условию научной или технической задачи состоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их приращениями, в нахождении выражения для производной. В некоторых случаях приращения целесообразно сразу заменить соответствующими дифференциалами. При составлении дифференциальных уравнений используются соответственно геометрический или механический смысл производной; кроме того, в зависимости от условия задачи применяются соответствующие законы физики, механики, химии и других наук.

Методы решения различных видов дифференциальных уравнений:

Пример решения задачи

Задача 1

Проверить, что функция

является решением дифференциального уравнения

Решение

Имеем:

и следовательно:

Задача 2

Найти кривую семейства

для которой

Решение

Имеем:

Получаем:

Искомое  уравнение кривой:

Задача 3

Найти линию, у которой отрезок нормали в любой ее точке, заключенный между осями координат, делится пополам в этой точке. Составить уравнение такой линии, проходящей через точку

Решение

Пусть  – произвольная точка искомой линии

Уравнение нормали к линии . В точке :

Обозначим через  и  точки пересечения нормали с координатными осями. Положив в этом уравнении  найдем  – абсциссу точки .

Задали объемную домашнюю работу или контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение задач, домашних работ, контрольных или онлайн-помощь на зачете/экзамене ⟩⟩

Если вам сейчас не требуется помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.

При  из того же уравнения найдем ординату точки

Поскольку  – середина отрезка , то

Каждое из этих уравнений приводится к уравнению

Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки  искомой линии, поэтому:

Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получаем общий интеграл:

Общий интеграл определяет множество гипербол. Найдем ту линию, которая проходит через точку

 или

К оглавлению решебника по высшей математике