Системы дифференциальных уравнений

Краткая теория

Система дифференциальных уравнений

где – неизвестные функции переменной , называется нормальной системой. Если правые части этой системы являются линейными функциями относительно , система называется линейной.

Дифференцированием одного из уравнений нормальной системы и исключением неизвестных функций удается свести систему к одному уравнению n-го порядка относительно одной функции. В некоторых случаях путем алгебраических преобразований уравнений системы удается получить легко интегрируемые комбинации, после чего нетрудно решить систему. Решение линейной однородной системы с постоянными коэффициентами:

ищем в виде

что приводит к характеристическому уравнению степени относительно . Если все его корни действительны и различны, то каждому корню соответствует собственный вектор , где . В этом случае система имеет фундаментальную систему из решений. Решение, соответствующее корню , имеет вид

Тогда общее решение системы выглядит так:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Примеры решения задач

Пример 1

Решить систему дифференциальных уравнений

Решение

Решим систему дифференциальных уравнений методом исключений.

Продифференцируем 2-е уравнение:

Откуда:

Подставляя во 1-е уравнение, получаем:

Характеристическое уравнение:

Решение системы дифференциальных уравнений:

Ответ:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Пример 2

Решить систему дифференциальных уравнений.

Решение

Обозначим:

Исходную систему уравнений можно записать в матричном виде:

Составим и решим характеристическое уравнение:

Для соответствующая однородная система:

Собственный вектор:

Частное решение:

Для соответствующая однородная система:

Собственный вектор:

Частное решение:

Общее решение матричного уравнения:

Общее решение исходной системы уравнений:

Ответ:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Пример 3

Решить систему уравнений

Решение

Производная :

Подставляем в 1-е уравнение:

Подставляем во 2-е уравнение:

Ответ:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты: