Системы дифференциальных уравнений

Краткая теория


Система дифференциальных уравнений

где  – неизвестные функции переменной , называется нормальной системой. Если правые части этой системы являются линейными функциями относительно , система называется линейной.

Дифференцированием одного из уравнений нормальной системы и исключением неизвестных функций удается свести систему к одному уравнению n-го порядка относительно одной функции. В некоторых случаях путем алгебраических преобразований уравнений системы удается получить легко интегрируемые комбинации, после чего нетрудно решить систему. Решение линейной однородной системы с постоянными коэффициентами:

ищем в виде

что приводит к характеристическому уравнению степени  относительно . Если все его корни действительны и различны, то каждому корню  соответствует собственный вектор , где . В этом случае система имеет фундаментальную систему из  решений. Решение, соответствующее корню , имеет вид

Тогда общее решение системы выглядит так:

Методы решения других видов дифференциальных уравнений:

Примеры решения задач


Задача 1

Решить систему дифференциальных уравнений

Решение

Решим систему дифференциальных уравнений методом исключений.

Продифференцируем 2-е уравнение:

Откуда:

Подставляя во 1-е уравнение, получаем:

Характеристическое уравнение:

Решение системы дифференциальных уравнений:

 

Ответ:


Задача 2

Решить систему дифференциальных уравнений.

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Обозначим:

Исходную систему уравнений можно записать в матричном виде:

Составим и решим характеристическое уравнение:

Для  соответствующая однородная система:

Собственный вектор:

Частное решение:

 

Для  соответствующая однородная система:

Собственный вектор:

Частное решение:

Общее решение матричного уравнения:

Общее решение исходной системы уравнений:

 

Ответ:


Задача 3

Решить систему уравнений

Решение

Производная :

Подставляем в 1-е уравнение:

Подставляем во 2-е уравнение:

 

Ответ: