Системы дифференциальных уравнений
Краткая теория
Система дифференциальных уравнений
где
– неизвестные функции переменной
, называется нормальной
системой. Если правые части этой системы являются линейными функциями
относительно
, система называется
линейной.
Дифференцированием одного из уравнений нормальной системы и исключением неизвестных функций удается свести систему к одному уравнению n-го порядка относительно одной функции. В некоторых случаях путем алгебраических преобразований уравнений системы удается получить легко интегрируемые комбинации, после чего нетрудно решить систему. Решение линейной однородной системы с постоянными коэффициентами:
ищем в виде
что
приводит к характеристическому уравнению степени
относительно
. Если все его корни
действительны и различны, то каждому корню
соответствует собственный вектор
, где
. В этом случае система
имеет фундаментальную систему из
решений. Решение, соответствующее корню
, имеет вид
Тогда общее решение системы выглядит так:
Методы решения других видов дифференциальных уравнений:
- Дифференциальные уравнения - основные понятия
- Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
- Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
- Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Примеры решения задач
Задача 1
Решить систему дифференциальных уравнений
Решение
Решим систему дифференциальных уравнений методом исключений.
Продифференцируем 2-е уравнение:
Откуда:
Подставляя во 1-е уравнение, получаем:
Характеристическое уравнение:
Решение системы дифференциальных уравнений:
Ответ:
Задача 2
Решить систему дифференциальных уравнений.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Обозначим:
Исходную систему уравнений можно записать в матричном виде:
Составим и решим характеристическое уравнение:
Для
соответствующая
однородная система:
Собственный
вектор:
Частное решение:
Для
соответствующая
однородная система:
Собственный
вектор:
Частное решение:
Общее решение матричного уравнения:
Общее решение исходной системы уравнений:
Ответ:
Задача 3
Решить систему уравнений
Решение
Производная
:
Подставляем в 1-е уравнение:
Подставляем во 2-е уравнение:
Ответ: