Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Краткая теория

Если для дифференциального уравнения

выполнено равенство

то уравнение (*) может быть записано в виде и называется уравнением в полных дифференциалах. Общий интеграл уравнения есть .

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Решить дифуравнение.

Решение

Введем обозначения:

Частные производные:

Получаем:

Уравнение является уравнением в полных дифференциалах, а его левая часть есть полный дифференциал

Общий интеграл исходного дифуравнения имеет вид

Ответ:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Проинтегрировать дифференциальное уравнение. При заданном начальном условии найти соответствующий частный интеграл или частное решение.

Решение

Введем обозначения:

Частные производные:

Получаем:

Это уравнение в полных дифференциалах.

Дифференцируя по , найдем:

Откуда и

Окончательно получаем искомый общий интеграл данного уравнения:

Ответ:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты: