Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Краткая теория
Если для дифференциального уравнения
выполнено равенство
то уравнение (*) может быть записано в виде
и
называется уравнением в полных дифференциалах. Общий интеграл уравнения есть
.
Методы решения других видов дифференциальных уравнений:
- Дифференциальные уравнения - основные понятия
- Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
- Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- Системы дифференциальных уравнений
Примеры решения задач
Задача 1
Решить дифуравнение.
Решение
Введем обозначения:
Частные производные:
Получаем:
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Уравнение
является уравнением в полных дифференциалах, а его левая часть есть полный
дифференциал
Общий
интеграл исходного дифуравнения
имеет вид
Ответ:
Задача 2
Проинтегрировать дифференциальное уравнение. При заданном начальном условии найти соответствующий частный интеграл или частное решение.
Решение
Введем обозначения:
Частные производные:
Получаем:
Это уравнение в полных дифференциалах.
Дифференцируя
по
,
найдем:
Откуда
и
Окончательно получаем искомый общий интеграл данного уравнения:
Ответ: