Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Краткая теория


Если для дифференциального уравнения

выполнено равенство

то уравнение (*) может быть записано в виде  и называется уравнением в полных дифференциалах. Общий интеграл уравнения есть .

Методы решения других видов дифференциальных уравнений:

Примеры решения задач


Задача 1

Решить дифуравнение.

Решение

Введем обозначения:

Частные производные:

Получаем:

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Уравнение является уравнением в полных дифференциалах, а его левая часть есть полный дифференциал

Общий интеграл исходного дифуравнения имеет вид

 

Ответ:


Задача 2

Проинтегрировать дифференциальное уравнение. При заданном начальном условии найти соответствующий частный интеграл или частное решение.

Решение

Введем обозначения:

Частные производные:

Получаем:

Это уравнение в полных дифференциалах.

Дифференцируя  по , найдем:

Откуда  и

Окончательно получаем искомый общий интеграл данного уравнения:

 

Ответ: