Дифференциальные уравнения высших порядков

Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка есть

Здесь   может не зависеть от некоторых из величин  Однако если (*) есть уравнение именно n-го порядка, то от  функция  обязательно зависит. Наиболее простым дифференциальное уравнение (*) оказывается тогда, когда оно имеет вид:

где  – заданная функция

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка (*) называется функция

существенно зависящая от n произвольных постоянных и обращающая уравнение (*) в тождество при любых значениях этих постоянных. Решения, получаемые из обзего при закреплении постоянных  называются частными.

Отдельные виды дифференциальных уравнений высших порядков удается проинтегрировать путем понижения порядка уравнения.

I.  Уравнение вида  решают путем n-кратного интегрирования.

II.  Если дифференциальное уравнение явно не содержит , например

то полагая , получим уравнение порядка на единицу ниже

III. Если дифференциальное уравнение явно не содержит , например

то, полагая

получим уравнение порядка на единицу ниже