Дифференциальные уравнения высших порядков

Краткая теория


Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка есть

Здесь   может не зависеть от некоторых из величин  Однако если (*) есть уравнение именно n-го порядка, то от  функция  обязательно зависит. Наиболее простым дифференциальное уравнение (*) оказывается тогда, когда оно имеет вид:

где  – заданная функция

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка (*) называется функция

существенно зависящая от n произвольных постоянных и обращающая уравнение (*) в тождество при любых значениях этих постоянных. Решения, получаемые из обзего при закреплении постоянных  называются частными.

Отдельные виды дифференциальных уравнений высших порядков удается проинтегрировать путем понижения порядка уравнения.

I.  Уравнение вида  решают путем n-кратного интегрирования.

II.  Если дифференциальное уравнение явно не содержит , например

то полагая , получим уравнение порядка на единицу ниже

III. Если дифференциальное уравнение явно не содержит , например

то, полагая

получим уравнение порядка на единицу ниже

Методы решения других видов дифференциальных уравнений:

Примеры решения задач


Задача 1

Найти общее решение дифференциального уравнения высшего порядка.

Решение

Данное уравнение явно не содержит .

Примем

Получаем:

Пусть

Примем:

 

Общее решение дифуравнения:

 

Ответ:


Задача 2

Проинтегрировать уравнение. При заданном начальном условии найти соответствующий частный интеграл или частное решение.

Решение

Это дифуравнение явно не содержит .

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Воспользуемся начальными условиями:

Воспользуемся начальными условиями:

Искомое частное решение дифуравнения:

или

 

Ответ:


Задача 3

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка, допускающего понижение порядка.

Решение

Дифуравнение явно не содержит :

Общее решение дифуравнения:

 

Ответ: