Задачи с решением по высшей математике
На странице выложены решения более 100 типовых задач по высшей математике для студентов 1-го и 2-го курсов экономических и технических специальностей. Перед большинством решений кратко изложены основные теоретические сведения. .
На странице рассматриваются действия над матрицами, в частности такие задачи, как найти определитель матрицы, обратную матрицу, транспонированную матрицу. Подробно показано умножение и сложение матриц, умножение матрицы на число.
Подробное и полное решение типовой задачи на решение системы линейных алгебраических (СЛАУ) уравнений методом Гаусса.
Изложены необходимые теоретические сведения (формулы Крамера) и приведен подробный пример решения задачи на тему решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Крамера.
Подробное и полное решение типовой задачи на решение системы уравнений методом обратной матрицы. Пример предваряет краткая теория матричного метода решения СЛАУ.
Подробно рассмотрено решение типовой задачи по высшей математике - разложение вектора по базису. Даны векторы a b c и d в некотором базисе, доказать, что векторы abc образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Решение задачи предваряет краткая теория, где дано определение линейной зависимости векторов.
Кратко изложены основные понятия, связанные с комплексными числами и их геометрической интерпретацией. Рассмотрены формы комплексного числа - алгебраическая, тригонометрическая и показательная. На примере решения задач показаны арифметические действия над комплексными числами.
Подробное и полное решение типовой задачи методами аналитической геометрии - даны вершины треугольника, найти уравнение стороны треугольника, уравнение высоты и медианы треугольника, угол между сторонами треугольника.
Подробное и полное решение типовой задачи про пирамиду (тетраэдр) в пространстве методами аналитической геометрии.
Рассмотрена задача построения линии по точкам в полярной системе координат. Кроме того, показано преобразование уравнения линии в полярной системе координат в уравнение в прямоугольной декартовой.
На странице приведены примеры решения пределов функции с подробным и понятным объяснением. Рассмотрены первый и второй замечательный пределы.
Рассматриваются задачи на непрерывность функции и нахождение точек разрыва. Даны определения непрерывности функции, точек разрыва первого и второго рода, точек устранимого разрыва.
Страница содержит полную таблицу элементарных производных и правила нахождения производных с подробными примерами решения. Рассматривается логарифмическое дифференцирование и такие виды производных как производная сложной, параметрической и неявной функции.
Изложено понятие дифференциала функции одной переменной и рассмотрено применение дифференциала к приближенным вычислениям. Приведены примеры решения задач на приближенное вычисление заданного выражения. Примеры предваряет краткая теория по рассматриваемой теме.
Страница содержит описание одного из основных методов раскрытия неопределенностей - правило Лопиталя. Приведено в качестве примеров раскрытие различных неопределенностей. Примеры решения предваряет краткая теория по этой теме.
Приведено решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке (функция одной переменной), а также общая схема решения типовых примеров на нахождение глобальных максимумов и минимумов.
Страница содержит последовательное и систематизированное исследование функции и построение графика функции на основе исследования. Приводится схема исследования функции и образец решения типовой задачи.
Приведена полная таблица основных неопределенных интегралов (первообразных). Страница также содержит описания базовых методов нахождения первообразных - правила интегрирования, непосредственное интегрирование и интегрирование путем подведения под знак дифференциала.
На странице разобраны задачи на вычисление неопределенных интегралов. Подробно и понятно на примере объясняются метод подстановки и метод интегрирования по частям.
Изложены методы вычисления неопределенных интегралов, содержащих квадратных трехчлен
Изложены методы вычисления неопределенных интегралов от рациональных выражений.
Изложены методы вычисления неопределенных интегралов от иррациональных выражений.
Изложены методы вычисления неопределенных интегралов от тригонометрических выражений.
На странице разобран геометрический смысл определенного интеграла и решены задачи на вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла, в том числе если линии заданы параметрическими уравнениями или в полярных координатах.
Изложены методы вычисления длины дуги кривой с помощью определенного интеграла. Приведены формулы для вычисления длины дуги кривых, заданных в прямоугольных координатах, параметрически и в полярных координатах.
Изложены методы вычисления объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси OX или OY с помощью определенного интеграла. Приведена формула объема тела, полученного вращением вокруг полярной оси фигуры, ограниченной замкнутой кривой, заданной в полярных координатах.
На странице кратко изложена теория по теме 'Несобственные интегралы' и решены типовые примеры, в которых исследована сходимость несобственных интегралов первого и второго рода.
Дано определение дифференциала функции нескольких переменных и рассмотрено применение дифференциала к приближенным вычислениям. Приведены примеры решения задач на приближенное вычисление заданного выражения.
Кратко изложена теория по теме 'Экстремумы функций нескольких переменных' и решены типовые примеры, в которых исследованы функции z(x,y) двух переменных на локальный экстремум.
Приведено решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в замкнутой области. Страница также содержит краткую теорию с описанием алгоритма решения типовых примеров.
Разобран пример решения задачи на нахождение градиента функции в заданной точке и производной по направлению вектора.
Кратко изложены основные понятия, связанные с дифференциальными уравнениями. Рассмотрены задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теоретический материал сопровождается подробно разобранными примерами.
Кратко изложена теория по дифференциальным уравнениям первого порядка с разделяющимися переменными. Приведены задачи с подробным решением.
Страница посвещена однородным дифференциальным уравнениям 1-го порядка и способам их решения. Наряду с краткой теорией дается подробное решение соответствующих задач.
Рассмотрены линейные дифференциальные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли и способы решения рассмотренных дифференциальных уравнений. Краткая теория сопровождается решенными задачами на эту тему.
Кратко изложена теория по решению дифференциальных уравнений в полных дифференциалах и в качестве примеров дано подробное решение нескольких задач.
Изложены методы решения дифференциальных уравнений высших порядков - случай, если дифференциальное уравнение явно не содержит x или случай, если дифференциальное уравнение явно не содержит y.
На странице рассмотрены однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Приведены краткая теория и подробные образцы решения задач.
Приведены примеры решения систем дифференциальных уравнений различными методами, в том числе решение системы д.у. методом исключений и матричным методом.
Изложены определение двойного интеграла и его геометрический смысл. Решены задачи на изменение порядка интегрирования в повторном интеграле, вычисление площади фигуры, вычисление двойного интеграла.
Изложено определение тройного интеграла и решены задачи на его вычисление, а также на вычисление объема тела, ограниченного поверхностями.
Изложен порядок замены переменных в двойном и тройном интегралах. Приведены формулы вычисления якобиана. Вычисление двойных и тройных интегралов с переходом к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам.
Рассмотрены формулы для вычисления массы плоской пластинки и тела с помощью двойных и тройных интегралов, а также формулы статистических моментов, моментов инерции и координат центра тяжести пластинки и тела.
Рассмотрены криволинейные интегралы I рода (криволинейные интегралы по длине дуги), их свойства и формулы вычисления. Приведены примеры вычисления криволинейных интегралов I рода, заданных различными способами.
Рассмотрены криволинейные интегралы II рода (криволинейные интегралы по координатам), их свойства и формулы вычисления. Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Приведены примеры вычисления криволинейных интегралов II рода, заданных различными способами.
Приведены формулы и примеры вычисления массы дуги кривой, работы, совершаемой силой вдоль кривой. Формулы вычисления статистических моментов и моментов инерции кривой. Длина дуги кривой и площадь фигуры, которая вычисляется с помощью криволинейного интеграла.
Рассмотрены поверхностные интегралы I рода (поверхностные интегралы по площади поверхности), их свойства и формулы вычисления. Приведены примеры вычисления поверхностных интегралов I рода, заданных различными способами.
Рассмотрены поверхностные интегралы II рода (поверхностные интегралы по координатам), их свойства и формулы вычисления. Приведены примеры вычисления поверхностных интегралов II рода, заданных различными способами.
Дано определение сходимости ряда и подробно рассматриваются задачи на исследование сходимости числовых рядов - признаки сравнения, признак сходимости Даламбера, признак сходимости Коши и интегральный признак сходимости Коши.
На странице рассмотрены знакочередующиеся ряды, их условная и абсолютная сходимость, признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов - содержится краткая теория по теме и пример решения задачи.
Содержит краткую теорию и решение типовой задачи на нахождение радиуса и области сходимости степенного ряда. Рассмотрены определение функционального ряда, свойства степенных рядов.
Приведены необходимые теоретические сведения, решения типовых задач на тему разложения функции в степенные ряды Тейлора и Маклорена.
Подробное решение задачи математического анализа на потенциальное векторное поле и соленоидальное векторное поле. Нахождение потенциала потенциального поля.
Подробное решение задачи математического анализа на потенциальное векторное поле и соленоидальное векторное поле. Нахождение потенциала потенциального поля.