Задачи с решением по высшей математике

На странице выложены решения типовых задач по высшей математике для студентов 1-го и 2-го курсов экономических и технических специальностей. Перед большинством решений кратко изложены основные теоретические сведения. Приведенная выборка решенных задач может служить базой для подготовки к семестровым экзаменам и зачетам по высшей математике в качестве решебника.

    Линейная алгебра
      Действия над матрицами
      На странице рассматриваются действия над матрицами, в частности такие задачи, как найти определитель матрицы, обратную матрицу, транспонированную матрицу. Подробно показано умножение и сложение матриц, умножение матрицы на число.
      Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
      Подробное и полное решение типовой задачи на решение системы линейных алгебраических (СЛАУ) уравнений методом Гаусса.
      Решение систем линейных уравнений методом Крамера
      Изложены необходимые теоретические сведения (формулы Крамера) и приведен подробный пример решения задачи на тему решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Крамера.
      Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы
      Подробное и полное решение типовой задачи на решение системы уравнений методом обратной матрицы. Пример предваряет краткая теория матричного метода решения СЛАУ.
      Разложение векторов по векторам базиса
      Подробно рассмотрено решение типовой задачи по высшей математике - разложение вектора по базису. Даны векторы a b c и d в некотором базисе, доказать, что векторы abc образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Решение задачи предваряет краткая теория, где дано определение линейной зависимости векторов.
    Комплексные числа
    Кратко изложены основные понятия, связанные с комплексными числами и их геометрической интерпретацией. Рассмотрены формы комплексного числа - алгебраическая, тригонометрическая и показательная. На примере решения задач показаны арифметические действия над комплексными числами.
    Аналитическая геометрия
      Расчет треугольника на плоскости
      Подробное и полное решение типовой задачи методами аналитической геометрии - даны вершины треугольника, найти уравнение стороны треугольника, уравнение высоты и медианы треугольника, угол между сторонами треугольника.
      Расчет пирамиды в пространстве
      Подробное и полное решение типовой задачи про пирамиду (тетраэдр) в пространстве методами аналитической геометрии.
      Линия в полярной системе координат
      Рассмотрена задача построения линии по точкам в полярной системе координат. Кроме того, показано преобразование уравнения линии в полярной системе координат в уравнение в прямоугольной декартовой.
    Введение в математический анализ
      Вычисление пределов
      На странице приведены примеры решения пределов функции с подробным и понятным объяснением. Рассмотрены первый и второй замечательный пределы.
      Непрерывность и точки разрыва функции
      Рассматриваются задачи на непрерывность функции и нахождение точек разрыва. Даны определения непрерывности функции, точек разрыва первого и второго рода, точек устранимого разрыва.
    Дифференциальное исчисление функции одной переменной
      Производные - таблица производных, правила нахождения
      Страница содержит полную таблицу элементарных производных и правила нахождения производных с подробными примерами решения. Рассматривается логарифмическое дифференцирование и такие виды производных как производная сложной, параметрической и неявной функции.
      Дифференциал функции и применение дифференциала к приближенным вычислениям
      Изложено понятие дифференциала функции одной переменной и рассмотрено применение дифференциала к приближенным вычислениям. Приведены примеры решения задач на приближенное вычисление заданного выражения. Примеры предваряет краткая теория по рассматриваемой теме.
      Правило Лопиталя
      Страница содержит описание одного из основных методов раскрытия неопределенностей - правило Лопиталя. Приведено в качестве примеров раскрытие различных неопределенностей. Примеры решения предваряет краткая теория по этой теме.
      Наибольшее и наименьшее значения функции
      Приведено решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке (функция одной переменной), а также общая схема решения типовых примеров на нахождение глобальных максимумов и минимумов.
      Исследование функции и построение графика
      Страница содержит последовательное и систематизированное исследование функции и построение графика функции на основе исследования. Приводится схема исследования функции и образец решения типовой задачи.
    Интегрирование
      Таблица интегралов и правила интегрирования
      Приведена полная таблица основных неопределенных интегралов (первообразных). Страница также содержит описания базовых методов нахождения первообразных - правила интегрирования, непосредственное интегрирование и интегрирование путем подведения под знак дифференциала.
      Метод интегрирования по частям и подстановкой
      На странице разобраны задачи на вычисление неопределенных интегралов. Подробно и понятно на примере объясняются метод подстановки и метод интегрирования по частям⁡.
      Интегрирование выражений содержащих квадратный трехчлен
      Изложены методы вычисления неопределенных интегралов, содержащих квадратных трехчлен
      Интегрирование рациональных функций
      Изложены методы вычисления неопределенных интегралов от рациональных выражений.
      Интегрирование иррациональных функций
      Изложены методы вычисления неопределенных интегралов от иррациональных выражений.
      Интегрирование тригонометрических функций
      Изложены методы вычисления неопределенных интегралов от тригонометрических выражений.
      Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями
      На странице разобран геометрический смысл определенного интеграла и решены задачи на вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла, в том числе если линии заданы параметрическими уравнениями или в полярных координатах.
      Вычисление длины дуги кривой
      Изложены методы вычисления длины дуги кривой с помощью определенного интеграла. Приведены формулы для вычисления длины дуги кривых, заданных в прямоугольных координатах, параметрически и в полярных координатах.
      Объем тел вращения
      Изложены методы вычисления объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси OX или OY с помощью определенного интеграла. Приведена формула объема тела, полученного вращением вокруг полярной оси фигуры, ограниченной замкнутой кривой, заданной в полярных координатах.
      Несобственные интегралы
      На странице кратко изложена теория по теме 'Несобственные интегралы' и решены типовые примеры, в которых исследована сходимость несобственных интегралов первого и второго рода.
    Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
      Полный дифференциал функции нескольких переменных и применение дифференциала к приближенным вычислениям
      Дано определение дифференциала функции нескольких переменных и рассмотрено применение дифференциала к приближенным вычислениям. Приведены примеры решения задач на приближенное вычисление заданного выражения.
      Экстремумы функций нескольких переменных
      Кратко изложена теория по теме 'Экстремумы функций нескольких переменных' и решены типовые примеры, в которых исследованы функции z(x,y) двух переменных на локальный экстремум.
      Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
      Приведено решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в замкнутой области. Страница также содержит краткую теорию с описанием алгоритма решения типовых примеров.
      Градиент функции и производная по направлению
      Разобран пример решения задачи на нахождение градиента функции в заданной точке и производной по направлению вектора.
    Дифференциальные уравнения
    Кратко изложены основные понятия, связанные с дифференциальными уравнениями. Рассмотрены задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теоретический материал сопровождается подробно разобранными примерами.
      Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
      Кратко изложена теория по дифференциальным уравнениям первого порядка с разделяющимися переменными. Приведены задачи с подробным решением.
      Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
      Страница посвещена однородным дифференциальным уравнениям 1-го порядка и способам их решения. Наряду с краткой теорией дается подробное решение соответствующих задач.
      Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
      Рассмотрены линейные дифференциальные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли и способы решения рассмотренных дифференциальных уравнений. Краткая теория сопровождается решенными задачами на эту тему.
      Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
      Кратко изложена теория по решению дифференциальных уравнений в полных дифференциалах и в качестве примеров дано подробное решение нескольких задач.
      Дифференциальные уравнения высших порядков
      Изложены методы решения дифференциальных уравнений высших порядков - случай, если дифференциальное уравнение явно не содержит x или случай, если дифференциальное уравнение явно не содержит y.
      Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
      На странице рассмотрены однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Приведены краткая теория и подробные образцы решения задач.
      Системы дифференциальных уравнений
      Приведены примеры решения систем дифференциальных уравнений различными методами, в том числе решение системы д.у. методом исключений и матричным методом.
    Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
      Двойные интегралы в прямоугольных координатах
      Изложены определение двойного интеграла и его геометрический смысл. Решены задачи на изменение порядка интегрирования в повторном интеграле, вычисление площади фигуры, вычисление двойного интеграла.
      Тройные интегралы в прямоугольных координатах
      Изложено определение тройного интеграла и решены задачи на его вычисление, а также на вычисление объема тела, ограниченного поверхностями.
      Замена переменных в двойном и тройном интегралах
      Изложен порядок замены переменных в двойном и тройном интегралах. Приведены формулы вычисления якобиана. Вычисление двойных и тройных интегралов с переходом к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам.
      Приложения кратных интегралов в механике
      Рассмотрены формулы для вычисления массы плоской пластинки и тела с помощью двойных и тройных интегралов, а также формулы статистических моментов, моментов инерции и координат центра тяжести пластинки и тела.
      Криволинейные интегралы 1-го рода
      Рассмотрены криволинейные интегралы I рода (криволинейные интегралы по длине дуги), их свойства и формулы вычисления. Приведены примеры вычисления криволинейных интегралов I рода, заданных различными способами.
      Криволинейные интегралы 2-го рода
      Рассмотрены криволинейные интегралы II рода (криволинейные интегралы по координатам), их свойства и формулы вычисления. Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Приведены примеры вычисления криволинейных интегралов II рода, заданных различными способами.
      Приложения криволинейных интегралов
      Приведены формулы и примеры вычисления массы дуги кривой, работы, совершаемой силой вдоль кривой. Формулы вычисления статистических моментов и моментов инерции кривой. Длина дуги кривой и площадь фигуры, которая вычисляется с помощью криволинейного интеграла.
      Поверхностные интегралы 1-го рода
      Рассмотрены поверхностные интегралы I рода (поверхностные интегралы по площади поверхности), их свойства и формулы вычисления. Приведены примеры вычисления поверхностных интегралов I рода, заданных различными способами.
      Поверхностные интегралы 2-го рода
      Рассмотрены поверхностные интегралы II рода (поверхностные интегралы по координатам), их свойства и формулы вычисления. Приведены примеры вычисления поверхностных интегралов II рода, заданных различными способами.
    Ряды
      Признаки сходимости числовых рядов
      Дано определение сходимости ряда и подробно рассматриваются задачи на исследование сходимости числовых рядов - признаки сравнения, признак сходимости Даламбера, признак сходимости Коши и интегральный признак сходимости Коши⁡.
      Условная и абсолютная сходимость
      На странице рассмотрены знакочередующиеся ряды, их условная и абсолютная сходимость, признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов - содержится краткая теория по теме и пример решения задачи.
      Радиус и область сходимости степенного ряда
      Содержит краткую теорию и решение типовой задачи на нахождение радиуса и области сходимости степенного ряда. Рассмотрены определение функционального ряда, свойства степенных рядов.
      Разложение функций в ряд Тейлора и ряд Маклорена
      Приведены необходимые теоретические сведения, решения типовых задач на тему разложения функции в степенные ряды Тейлора и Маклорена.
    Потенциальное и соленоидальное поле
    Подробное решение задачи математического анализа на потенциальное векторное поле и соленоидальное векторное поле. Нахождение потенциала потенциального поля.
    Теория вероятностей и математическая статистика
    Раздел сайта содержит коллекцию задач с решениями по теории вероятностей и математической статистике. Перед большинством примеров излагается теория в сжатом виде, где даются основные формулы.
    Задачи с решением по другим предметам