Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение 1-го порядка с неизвестной функцией , разрешенное относительно производной  имеет вид:

где  – данная функция. В некоторых случаях выгодно за искомую функцию считать переменную  и записывать уравнение в виде:

где

Учитывая, что  и , то дифференциальные уравнения можно записать в симметрической форме:

где  и  – известные функции

Под решениями дифференциального уравнения понимаются функция вида  или , удовлетворяющие этому уравнению.

Общий интеграл уравнений имеет вид , где  – произвольная постоянная.

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение 1-го порядка вида

или

Разделив обе части уравнения (*) на  и умножив на , будем иметь

Отсюда, интегрируя, получим общий интеграл уравнения (*) в виде:

Аналогично, разделив обе части уравнения (**) на  и проинтегрировав, получим общий интеграл уравнения (**) в виде

Если для некоторого значения  мы имеем , то функция  является также, как непосредственно легко убедиться, решением уравнения (*). Аналогично прямые  и  будут  интегральными кривыми уравнения (**), если  и  являются соответственно корнями уравнения  и , на левые части которых приходилось делить исходное уравнение.