Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Краткая теория

Дифференциальное уравнение 1-го порядка с неизвестной функцией , разрешенное относительно производной  имеет вид:

где  – данная функция. В некоторых случаях выгодно за искомую функцию считать переменную  и записывать уравнение в виде:

где

Учитывая, что  и , то дифференциальные уравнения можно записать в симметрической форме:

где  и  – известные функции

Под решениями дифференциального уравнения понимаются функция вида  или , удовлетворяющие этому уравнению.

Общий интеграл уравнений имеет вид , где  – произвольная постоянная.

 

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение 1-го порядка вида

или

Разделив обе части уравнения (*) на  и умножив на , будем иметь

Отсюда, интегрируя, получим общий интеграл уравнения (*) в виде:

Аналогично, разделив обе части уравнения (**) на  и проинтегрировав, получим общий интеграл уравнения (**) в виде

Если для некоторого значения  мы имеем , то функция  является также, как непосредственно легко убедиться, решением уравнения (*). Аналогично прямые  и  будут  интегральными кривыми уравнения (**), если  и  являются соответственно корнями уравнения  и , на левые части которых приходилось делить исходное уравнение.

Методы решения других видов дифференциальных уравнений

Примеры решения задач


Задача 1

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение

Это дифуравнение с разделяющимися переменными.

Используем интегрирование путем подведения под знак дифференциала:

Общее решение дифуравнения:

 

Ответ:


Задача 2

Решение

Преобразуем дифуравнение:

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Это дифуравнение с разделяющимися переменными

Общее решение дифуравнения:

 

Ответ: