Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение
1-го порядка с неизвестной функцией
, разрешенное относительно производной
имеет
вид:
где
– данная
функция. В некоторых случаях выгодно за искомую функцию считать переменную
и
записывать уравнение в виде:
где
Учитывая, что
и
, то дифференциальные уравнения можно записать в симметрической форме:
где
и
– известные
функции
Под решениями
дифференциального уравнения понимаются функция вида
или
, удовлетворяющие этому уравнению.
Общий интеграл уравнений
имеет вид
, где
– произвольная
постоянная.
Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение 1-го порядка вида
или
Разделив обе части
уравнения (*) на
и
умножив на
, будем иметь
Отсюда, интегрируя, получим общий интеграл уравнения (*) в виде:
Аналогично, разделив обе
части уравнения (**) на
и
проинтегрировав, получим общий интеграл уравнения (**) в виде
Если для некоторого
значения
мы
имеем
, то функция
является
также, как непосредственно легко убедиться, решением уравнения (*). Аналогично
прямые
и
будут интегральными кривыми уравнения (**), если
и
являются
соответственно корнями уравнения
и
, на левые части которых приходилось делить
исходное уравнение.
Методы решения других видов дифференциальных уравнений
- Дифференциальные уравнения - основные понятия
- Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
- Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- Системы дифференциальных уравнений
Примеры решения задач
Задача 1
Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение
Это дифуравнение с разделяющимися переменными.
Используем интегрирование путем подведения под знак дифференциала:
Общее решение дифуравнения:
Ответ:
Задача 2
Решение
Преобразуем дифуравнение:
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Это дифуравнение с разделяющимися переменными
Общее решение дифуравнения:
Ответ: