Дифференциальное уравнение
1-го порядка с неизвестной функцией
, разрешенное относительно производной
имеет
вид:
где
– данная
функция. В некоторых случаях выгодно за искомую функцию считать переменную
и
записывать уравнение в виде:
где
Учитывая, что
и
, то дифференциальные уравнения можно записать в симметрической форме:
где
и
– известные
функции
Под решениями
дифференциального уравнения понимаются функция вида
или
, удовлетворяющие этому уравнению.
Общий интеграл уравнений
имеет вид
, где
– произвольная
постоянная.
Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение 1-го порядка вида
или
Разделив обе части
уравнения (*) на
и
умножив на
, будем иметь
Отсюда, интегрируя,
получим общий интеграл уравнения (*) в виде:
Аналогично, разделив обе
части уравнения (**) на
и
проинтегрировав, получим общий интеграл уравнения (**) в виде
Если для некоторого
значения
мы
имеем
, то функция
является
также, как непосредственно легко убедиться, решением уравнения (*). Аналогично
прямые
и
будут интегральными кривыми уравнения (**), если
и
являются
соответственно корнями уравнения
и
, на левые части которых приходилось делить
исходное уравнение.
Методы решения других видов дифференциальных уравнений:
Задача 1
Найти
общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение
Это
дифуравнение с разделяющимися переменными.
Используем
интегрирование путем подведения под знак дифференциала:
Общее
решение дифуравнения:
Ответ:
Задача 2
Решение
Преобразуем
дифуравнение:
Задали объемную домашнюю работу или контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение задач, домашних работ, контрольных или онлайн-помощь на зачете/экзамене ⟩⟩
Если вам сейчас не требуется помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.
Это
дифуравнение с разделяющимися переменными
Общее
решение дифуравнения:
Ответ:
К оглавлению решебника по высшей математике ⟩