Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнение Бернулли

Краткая теория

Уравнение вида

называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Его решение ищут в виде  , где  и  – две неизвестные функции.

После подстановки в уравнение выражений для  и  получаем:

В качестве  выбирают одну из функций, удовлетворяющих уравнению

тогда функция  определяется из уравнения

Уравнение вида  называется уравнением Бернулли.

Путем подстановки  оно сводится к линейному. Его можно решать и непосредственно, применяя подстановку .

Методы решения других видов дифференциальных уравнений:

Примеры решения задач


Задача 1

Решить дифференциальное уравнение.

Решение

Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

Пусть

Тогда

Положим 

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Общее решение дифуравнения:

 

Ответ:


Задача 2

Решить дифференциальное уравнение.

Решение

Преобразуем дифуравнение:

Данное дифуравнение – это уравнение Бернулли.

 

Применим подстановку

Пусть

 

Общее решение дифуравнения:

 

Ответ: