Проверка гипотезы о равенстве средних
Дисперсии выборок известны
Пусть генеральные совокупности
и
распределены нормально, причем их дисперсии
известны (например, из предшествующего опыта или найдены теоретически). По
независимым выборкам, объемы которых соответственно равны
и
,
извлеченным из этих совокупностей, найдены выборочные средние
и
. Требуется по выборочным средним при заданном уровне
значимости
проверить нулевую гипотезу, состоящую в том,
что генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей
равны между собой, т. е.
Учитывая, что выборочные средние являются несмещенными
оценками генеральных средних, т. е.
и
,
нулевую гипотезу можно записать так:
Таким образом, требуется проверить, что математические ожидания выборочных средних равны между собой. Такая задача ставится потому, что, как правило, выборочные средние оказываются различными. Возникает вопрос: значимо или незначимо различаются выборочные средние?
Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. генеральные средние одинаковы, то различие выборочных средних незначимо и объясняется случайными причинами и, в частности, случайным отбором объектов выборки.
1) Для того, чтобы при заданном уровне значимости
проверить нулевую гипотезу
о равенстве математических ожиданий двух
нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей
гипотезе
,
надо вычислить наблюдаемое значение критерия:
и по таблице функции Лапласа найти критическую
точку по равенству
.
Если
– нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу
Если
–
нулевую гипотезу отвергают
2) Для того, чтобы при заданном
уровне значимости
проверить нулевую гипотезу
о равенстве математических ожиданий двух
нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей
гипотезе
,
надо вычислить наблюдаемое значение критерия:
и по таблице функции Лапласа найти критическую
точку по равенству
.
Если
– нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу
Если
–
нулевую гипотезу отвергают
3) При конкурирующей гипотезе
надо вычислить
и сначала по таблице функции Лапласа найти
«вспомогательную точку»
по равенству
,
а затем положить
Если
– нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу
Если
–
нулевую гипотезу отвергают
Дисперсии выборок неизвестны
Обозначим через
и
объемы малых независимых выборок
,
по которых найдены соответствующие выборочные средние
и
и
исправленные выборочные дисперсии
и
.
Генеральные дисперсии хотя и неизвестны, но предполагаются одинаковыми.
1) Для того чтобы при заданном уровне
значимости
промерить нулевую гипотезу
о равенстве математических ожиданий
(генеральных средних) двух нормальных совокупностей с неизвестными, но
одинаковыми дисперсиями (в случае малых независимых выборок) при конкурирующей
гипотезе
,
надо вычислить наблюдаемое значение критерия:
и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости
и числу степеней свободы
найти критическую точку
.
Если
– нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если
– нулевую гипотезу отвергают
2) При конкурирующей гипотезе
находят критическую точку
по уровню значимости
и числу степеней свободы
.
Если
– нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если
– нулевую гипотезу отвергают
3) При конкурирующей гипотезе
находят сначала критическую точку
,
как во втором пункте, а затем полагают
Если
– нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если
– нулевую гипотезу отвергают
Для проверки на нормальность заданного распределения случайной величины можно использовать правило трех сигм.
Когда исследуются изменения результативного признака под влиянием изменяющихся условий или градаций какого-либо фактора, удобно применять метод однофакторного дисперсионного анализа.
Задача 1
По
двум независимым выборкам объема
и
, извлеченным из
нормальных генеральных совокупностей, проверить гипотезу о равенстве средних
при уровне значимости
, если
Решение
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Имеем гипотезу
:
При конкурирующий гипотезе
:
Наблюдаемое значение критерия:
По таблице функции Лапласа
находим критическую точку
из
равенства:
- нет
оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Задача 2
Измерения пульса 10
больных, проведенные после некоторой процедуры, и 12 больных контрольной группы
дали следующие результаты: для первой группы
,
, оценки дисперсий равны
. При уровне значимости
проверить
гипотезу о равенстве средних значений пульса больных, принявших процедуру, и
больных, ее не принимавших.
Решение
Имеем гипотезу
:
При конкурирующий гипотезе
:
Наблюдаемое значение критерия:
Число степеней свободы:
По таблице критических точек t-критерия Стьюдента:
-нулевую гипотезу принимаем
Другими словами, с вероятностью
средние
значения пульса больных равны.