Проверка гипотезы о равенстве средних

Дисперсии выборок известны

Пусть генеральные совокупности  и   распределены нормально, причем их дисперсии известны (например, из предшествующего опыта или найдены теоретически). По независимым выборкам, объемы которых соответственно равны  и , извлеченным из этих совокупностей, найдены выборочные средние  и .  Требуется по выборочным средним при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой, т. е.

Учитывая, что выборочные средние являются несмещенными оценками генеральных средних, т. е.  и , нулевую гипотезу можно записать так:

Таким образом, требуется проверить, что математические ожидания выборочных средних равны между собой. Такая задача ставится потому, что, как правило, выборочные средние оказываются различными. Возникает вопрос: значимо или незначимо различаются выборочные средние?

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. генеральные средние одинаковы, то различие выборочных средних незначимо и объясняется случайными причинами и, в частности, случайным отбором объектов выборки.

1) Для того, чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу  о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку по равенству .

Если  – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу

Если  – нулевую гипотезу отвергают

2) Для того, чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу  о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку по равенству .

Если  – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу

Если  – нулевую гипотезу отвергают

3)  При конкурирующей гипотезе  надо вычислить  и сначала по таблице функции Лапласа найти «вспомогательную точку»  по равенству  , а затем положить

Если  – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу

Если  – нулевую гипотезу отвергают

Дисперсии выборок неизвестны

Обозначим через  и  объемы малых независимых выборок , по которых найдены соответствующие выборочные средние  и  и исправленные выборочные дисперсии  и . Генеральные дисперсии хотя и неизвестны, но предполагаются одинаковыми.

1) Для того чтобы при заданном уровне значимости  промерить нулевую гипотезу  о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями (в случае малых независимых выборок) при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы  найти критическую точку .

Если  – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

 Если  – нулевую гипотезу отвергают

2) При конкурирующей гипотезе  находят критическую точку  по уровню значимости  и числу степеней свободы .

Если  – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

 Если  – нулевую гипотезу отвергают

3) При конкурирующей гипотезе  находят сначала критическую точку , как во втором пункте, а затем полагают

Если  – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если  – нулевую гипотезу отвергают

Для проверки на нормальность заданного распределения случайной величины можно использовать правило трех сигм.

Когда исследуются изменения результативного признака под влиянием изменяющихся условий или градаций какого-либо фактора, удобно применять метод однофакторного дисперсионного анализа.