Проверка гипотезы о равенстве средних
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Решение работ по теории вероятностей и математической статистике на заказ
Краткая теория
Дисперсии выборок известны
Пусть генеральные совокупности
и
распределены нормально, причем их дисперсии
известны (например, из предшествующего опыта или найдены теоретически). По
независимым выборкам, объемы которых соответственно равны
и
,
извлеченным из этих совокупностей, найдены выборочные средние
и
. Требуется по выборочным средним при заданном уровне
значимости
проверить нулевую гипотезу, состоящую в том,
что генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей
равны между собой, т. е.
Учитывая, что выборочные средние являются несмещенными
оценками генеральных средних, т. е.
и
,
нулевую гипотезу можно записать так:
Таким образом, требуется проверить, что математические ожидания выборочных средних равны между собой. Такая задача ставится потому, что, как правило, выборочные средние оказываются различными. Возникает вопрос: значимо или незначимо различаются выборочные средние?
Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. генеральные средние одинаковы, то различие выборочных средних незначимо и объясняется случайными причинами и, в частности, случайным отбором объектов выборки.
1) Для того, чтобы при заданном уровне значимости
проверить нулевую гипотезу
о равенстве математических ожиданий двух
нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей
гипотезе
,
надо вычислить наблюдаемое значение критерия:
и по таблице функции Лапласа найти критическую
точку по равенству
.
Если
– нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу
Если
–
нулевую гипотезу отвергают
2) Для того, чтобы при заданном
уровне значимости
проверить нулевую гипотезу
о равенстве математических ожиданий двух
нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей
гипотезе
,
надо вычислить наблюдаемое значение критерия:
и по таблице функции Лапласа найти критическую
точку по равенству
.
Если
– нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу
Если
–
нулевую гипотезу отвергают
3) При конкурирующей гипотезе
надо вычислить
и сначала по таблице функции Лапласа найти
«вспомогательную точку»
по равенству
,
а затем положить
Если
– нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу
Если
–
нулевую гипотезу отвергают
Дисперсии выборок неизвестны
Обозначим через
и
объемы малых независимых выборок
,
по которых найдены соответствующие выборочные средние
и
и
исправленные выборочные дисперсии
и
.
Генеральные дисперсии хотя и неизвестны, но предполагаются одинаковыми.
1) Для того чтобы при заданном уровне
значимости
промерить нулевую гипотезу
о равенстве математических ожиданий
(генеральных средних) двух нормальных совокупностей с неизвестными, но
одинаковыми дисперсиями (в случае малых независимых выборок) при конкурирующей
гипотезе
,
надо вычислить наблюдаемое значение критерия:
и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости
и числу степеней свободы
найти критическую точку
.
Если
– нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если
– нулевую гипотезу отвергают
2) При конкурирующей гипотезе
находят критическую точку
по уровню значимости
и числу степеней свободы
.
Если
– нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если
– нулевую гипотезу отвергают
3) При конкурирующей гипотезе
находят сначала критическую точку
,
как во втором пункте, а затем полагают
Если
– нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если
– нулевую гипотезу отвергают
Смежные темы решебника:
Примеры решения задач
Пример 1
Скачать пример 1 в формате pdf
Дисперсии известны
По
двум независимым выборкам объема
и
, извлеченным из
нормальных генеральных совокупностей, проверить гипотезу о равенстве средних
при уровне значимости
, если
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Имеем гипотезу
:
При конкурирующий гипотезе
:
Наблюдаемое значение критерия:
По таблице функции Лапласа
находим критическую точку
из
равенства:
- нет
оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Пример 2
Скачать пример 2 в формате pdf
Дисперсии неизвестны
Измерения пульса 10
больных, проведенные после некоторой процедуры, и 12 больных контрольной группы
дали следующие результаты: для первой группы
,
, оценки дисперсий равны
. При уровне значимости
проверить
гипотезу о равенстве средних значений пульса больных, принявших процедуру, и
больных, ее не принимавших.
Решение
Имеем гипотезу
:
При конкурирующий гипотезе
:
Наблюдаемое значение критерия:
Число степеней свободы:
По таблице критических точек t-критерия Стьюдента:
-нулевую гипотезу принимаем
Другими словами, с вероятностью
средние
значения пульса больных равны.