Однофакторный дисперсионный анализ
Краткая теория
В практической деятельности часто возникает необходимость выявления и оценки влияния отдельных факторов на изменчивость какого-то признака, значения которого могут быть получены опытным путем в виде некоторой случайной величины A. Под факторами будем понимать различные независимые показатели.
Дисперсионный анализ позволяет устанавливать степень влияния факторов на изменчивость признака. При этом мы можем установить лишь существенное влияние. Количество факторов может быть различным. По количеству факторов соответственно называют однофакторный дисперсионный анализ, двухфакторный, трехфакторный и т. д.
Влияние изучаемых факторов может быть двояким. Они могут изменять как истинный результат (среднее) наблюдений, так и дисперсию этих наблюдений. Однако будем предполагать, что дисперсия наблюдений остается неизменной.
Это предположение обычно оправдывается, если для наблюдений используется одна и та же методика, одни и те же приборы. В случае значимого изменения дисперсии в процессе наблюдений нужно попытаться ее стабилизировать, подобрав соответствующую преобразующую функцию. Это дает возможность рассматривать все наблюдения как выборку из единой генеральной совокупности.
Идея дисперсионного анализа состоит в том, что дисперсия признака разлагается на сумму составляющих ее дисперсий. Например, для двухфакторного дисперсионного анализа получим разложение вида:
где
– доля дисперсии, вызванная влиянием фактора
;
– доля дисперсии, вызванная влиянием фактора
;
– доля дисперсии, вызванная взаимодействием
факторов
и
;
– доля дисперсии, вызванная неучтенными
случайными причинами, которую называют случайной дисперсией.
Проводя дисперсионный анализ, мы имеем обычно выборку небольшого объема из генеральной совокупности.
На основании этой выборки находим не сами дисперсии, а выборочные оценки. Изучение переменных факторов по их дисперсиям называется дисперсионным анализом. Дисперсионный анализ был впервые разработан в двадцатых годах 20-го века английским статистиком Р. Фишером.
Алгоритм расчета однофакторного дисперсионного анализа
При применении однофакторного дисперсионного анализа необходимо данные оформить в виде следующей таблицы:
| Номер испытания | Уровни фактора A | |||||
|
|
|
|
|||
| 1 |
|
|
… |
|
… |
|
| 2 |
|
|
… |
|
… |
|
| … | … | … | … | … | … | … |
| … | … | … | … | … | … | … |
|
|
|
… |
|
… |
|
Если суммы наблюдений по каждому
уровню фактора
обозначить
через
, тогда алгоритм можно представить в виде следующей
последовательности вычислений:
а) находим сумму квадратов всех наблюдений:
б) находим сумму квадратов итогов по столбцам, деленную на число наблюдений:
в) находим квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений:
г) Вычисляем факторую
и случайную
дисперсии по формулам:
Выполнив вычисления по этим формулам,
применим критерий Фишера со степенями свободы
и уровнем
значимости
.
Смежные темы решебника:
- Таблица критических точек Фишера-Снедекора
- Проверка гипотезы о нормальном распределении
- Дисперсия и ее свойства
Заказать решение задач, узнать цену: 
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты: 
Примеры решения задач
Пример 1
Скачать пример 1 в формате pdf
Сделано
по 5 измерений случайной величины
на каждом из четырех уровней фактора
.
Методом
дисперсионного анализа проверить гипотезу о том, что фактор
не влияет на
математическое ожидание величины
. Сделать вывод.
| Номер испытания |
Уровни
фактора
|
|||
|
|
|
|
|
| 1 | 3 | 7 | 2 | 5 |
| 2 | 9 | 5 | 6 | 5 |
| 3 | 4 | 5 | 2 | 8 |
| 4 | 2 | 3 | 5 | 4 |
| 5 | 6 | 9 | 5 | 8 |
Решение
Вычислим суммы:
| Номер испытания |
Уровни
фактора
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
| 1 | 3 | 7 | 2 | 5 | 87 |
| 2 | 9 | 5 | 6 | 5 | 167 |
| 3 | 4 | 5 | 2 | 8 | 109 |
| 4 | 2 | 3 | 5 | 4 | 54 |
| 5 | 6 | 9 | 5 | 8 | 206 |
|
24 | 29 | 20 | 30 | 623 |
Находим
и
по
формулам:
где
-число наблюдений,
-число
уровней фактора. Для данной задачи
.
В результате вычислений получаем:
Сравним выборочные дисперсии по критерию Фишера:
Задавая уровень значимости критерия
,
по таблице критических точек F-распределения Фишера-Снедекора находим:
Здесь
Так как
-
факторы не оказывают воздействие на математическое ожидание величины
.
Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:
Пример 2
Скачать пример 2 в формате pdf
| Номер испытания | Уровни фактора | |||
|
|
|
|
|
| 1 | 138 | 141 | 145 | 148 |
| 2 | 138 | 142 | 147 | 151 |
| 3 | 142 | 144 | 140 | -- |
| 4 | 142 | 145 | -- | -- |
Методом
дисперсионного анализа при уровне
значимости
проверить гипотезу о влиянии стажа
работы на производительность труда.
Решение
Суммы:
1-й
фактор:
2-й
фактор:
3-й
фактор:
4-й
фактор:
Суммы квадратов:
1-й
фактор:
2-й
фактор:
3-й
фактор:
4-й
фактор:
Общая сумма квадратов отклонений:
Факторная сумма квадратов отклонений:
Факторная дисперсия:
Сравним выборочные дисперсии по критерию Фишера:
Задавая
уровень значимости критерия
,
по таблице Фишера находим:
Здесь
Так как
- факторы оказывают воздействие на
математическое ожидание величины
.
Другими словами, производительность труда зависит от стажа работы.
Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:
Пример 3
Скачать пример 3 в формате pdf
В таблице отображены показатели фракции выброса левого желудочка у больных с хронической недостаточностью кровообращения различных функциональных классов. Методом дисперсионного анализа определите, влияет ли функциональный класс недостаточности кровообращения на сократительную способность левого желудочка.
| Фактор А | № испытаний | ||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| 1 | 0,47 | 0,45 | 0,41 | 0,4 | 0,43 |
| 2 | 0,48 | 0,43 | 0,41 | 0,42 | 0,41 |
| 3 | 0,33 | 0,32 | 0,34 | 0,3 | 0,35 |
| 4 | 0,23 | 0,21 | 0,2 | 0,24 | 0,25 |
Решение
| Номер испытания |
Уровни фактора
|
|
|||
| 1 | 2 | 3 | 4 | ||
| 1 | 0,47 | 0,48 | 0,33 | 0,23 | 0,6131 |
| 2 | 0,45 | 0,43 | 0,32 | 0,21 | 0,5339 |
| 3 | 0,41 | 0,41 | 0,34 | 0,2 | 0,4918 |
| 4 | 0,4 | 0,42 | 0,3 | 0,24 | 0,484 |
| 5 | 0,43 | 0,41 | 0,35 | 0,25 | 0,538 |
|
2,16 | 2,15 | 1,64 | 1,13 |
|
Находим
и
по формулам:
где
-число наблюдений,
-число уровней фактора. Для данной
задачи
.
В результате вычислений получаем:
Сравним выборочные дисперсии по критерию Фишера:
Задавая уровень значимости
критерия
,
по таблице Фишера находим:
Здесь
Так как
- факторы оказывают воздействие на
математическое ожидание величины
.
Другими словами, класс недостаточности кровообращения влияет на сократительную способность левого желудочка.
Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:
Пример 4
Скачать пример 4 в формате pdf
В таблице показаны результаты конкурсного сортоиспытания культур (урожайность в центнерах с га), причем каждый сорт испытывался на четырех участках:
| Сорт | Урожайность | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | 42,4 | 37,4 | 40,7 | 38,2 |
| 2 | 52,5 | 50,1 | 53,8 | 50,7 |
| 3 | 52,3 | 53,0 | 51,4 | 53,6 |
При
уровне значимости
установить существенность влияния
фактора (сорта) на урожайность.
Решение
Суммы:
1-й сорт:
2-й сорт:
3-й сорт:
Суммы квадратов:
1-й сорт:
2-й сорт:
3-й сорт:
Общая сумма квадратов отклонений:
Факторная сумма квадратов отклонений:
Факторная дисперсия:
Сравним выборочные дисперсии по критерию Фишера:
Задавая
уровень значимости критерия
,
по таблице Фишера находим:
Здесь
Так как
- факторы оказывают воздействие на
математическое ожидание величины
.
Другими словами, сорт влияет на урожайность.
Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты: