Однофакторный дисперсионный анализ

В практической деятельности часто возникает необходимость выявления и оценки влияния отдельных факторов на изменчивость какого-то признака, значения которого могут быть получены опытным путем в виде некоторой случайной величины A. Под факторами будем понимать различные независимые показатели.

Дисперсионный анализ позволяет устанавливать степень влияния факторов на изменчивость признака. При этом мы можем установить лишь существенное влияние. Количество факторов может быть различным. По количеству факторов соответственно называют однофакторный дисперсионный анализ, двухфакторный, трехфакторный и т. д.

Влияние изучаемых факторов может быть двояким. Они могут изменять как истинный результат (среднее) наблюдений, так и дисперсию этих наблюдений. Однако будем предполагать, что дисперсия наблюдений остается неизменной.

Это предположение обычно оправдывается, если для наблюдений используется одна и та же методика, одни и те же приборы. В случае значимого изменения дисперсии в процессе наблюдений нужно попытаться ее стабилизировать, подобрав соответствующую преобразующую функцию. Это дает возможность рассматривать все наблюдения как выборку из единой генеральной совокупности.

Идея дисперсионного анализа состоит в том, что дисперсия признака разлагается на сумму составляющих ее дисперсий. Например, для двухфакторного дисперсионного анализа получим разложение вида:

где  – доля дисперсии, вызванная влиянием фактора ;  – доля дисперсии, вызванная влиянием фактора ;  – доля дисперсии, вызванная взаимодействием факторов  и ;  – доля дисперсии, вызванная неучтенными случайными причинами, которую называют случайной дисперсией.

Проводя дисперсионный анализ, мы имеем обычно выборку небольшого объема из генеральной совокупности.

На основании этой выборки находим не сами дисперсии, а выборочные оценки. Изучение переменных факторов по их дисперсиям называется дисперсионным анализом. Дисперсионный анализ был впервые разработан в двадцатых годах 20-го века английским статистиком Р. Фишером.

Алгоритм расчета однофакторного дисперсионного анализа

При применении однофакторного дисперсионного анализа необходимо данные оформить в виде следующей таблицы:

Номер испытания	Уровни фактора A
1			…		…
2			…		…
…	…	…	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…

Если суммы наблюдений по каждому уровню фактора  обозначить через , тогда алгоритм можно представить в виде следующей последовательности вычислений:

а) находим сумму квадратов всех наблюдений:

б) находим сумму квадратов итогов по столбцам, деленную на число наблюдений:

в) находим квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений:

г) Вычисляем факторую  и случайную дисперсии по формулам:

Выполнив вычисления по этим формулам, применим критерий Фишера со степенями свободы  и уровнем значимости .