Нормальное распределение случайной величины.
Правило трех сигм

Краткая теория

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , плотность которого имеет вид:

где  – математическое ожидание,  – среднее квадратическое отклонение .

Вероятность того, что  примет значение, принадлежащее интервалу :

где    – функция Лапласа:

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа :

В частности, при  справедливо равенство:

Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения соответственно равны:

,  где

Правило трех сигм

Преобразуем формулу:

Положив . В итоге получим

если , и, следовательно, , то

то есть вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонение, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

На другой странице сайта есть пример вычисления теоретических частот нормального распределения для выборки в виде интервального вариационного ряда

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин.

Кроме нормального распределения, основные законы распределения непрерывных случайных величин:

Пример решения задачи

Задача

На станке изготавливается деталь. Ее длина  - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами , . Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 22 и 24,2 см. Какое отклонение длины детали от  можно гарантировать с вероятностью 0,92; 0,98? В каких пределах, симметричных относительно , будут лежать практически все размеры деталей?

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, будет находиться в интервале :

Получаем:

 

Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, отклонится от среднего не более чем на величину :

По условию

По таблице значений функции Лапласа:

По таблице значений функции Лапласа:

 

По правилу трех сигм можно считать, что практически все длины деталей с вероятностью 0,9973 будут заключены в интервале

, откуда