Дисперсия и ее свойства.
Среднее квадратическое отклонение

Определение дисперсии


Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины  от :

Стандартное (среднее квадратичное) отклонение случайной величины  определяется как корень из дисперсии и обозначается

Для вычисления дисперсии на практике удобно пользоваться следующей формулой:

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины  и квадратом ее математического ожидания.

Изучение переменных факторов по их дисперсиям называется методом дисперсионного анализа.

Свойства дисперсии

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Свойство 1

Свойство 2

Дисперсия константы равна нулю:

Свойство 3

Постоянный множитель выносится из-под знака дисперсии в квадрате:

Свойство 4

Дисперсия суммы случайных величин:

где   – ковариация  случайных величин  и

В частности, если  и  независимы, то

Прибавление константы  в случайной величине не меняет ее дисперсии:

Дисперсия разности равна сумме дисперсий:

Примеры решения задач

Задача 1

Даны законы распределения независимых случайных величин  и :

0 1
0.4 0.6

 

и

2 3
0.5 0.5

Найти закон распределения суммы . Проверить равенство

Решение

Распределение суммы :

0+2 0+3 1+2 1+3

Окончательно получаем:

2 3 4 Итого
0.2 0.5 0.3 1

 

Вычислим математические ожидания:

Вычислим дисперсии:

Проверим равенство :

Равенство выполняется.

Задача на вычисление дисперсии двумерной дискретной случайной величины рассмотрена по ссылке


Задача 2

Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке составляет 3%, на втором станке 5%. На первом станке было изготовлено 20 деталей, на втором 40 деталей. Найти математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей.

Решение

Математическое ожидание биномиального распределения:

Дисперсия:

Математическое ожидание величины  – числа бракованных деталей на 1-м станке:

Дисперсия:

 

Математическое ожидание величины  – числа бракованных деталей на 2-м станке:

Дисперсия:

 

Математическое ожидание числа бракованных деталей:

Дисперсия числа бракованных деталей:

Ответ: