Дисперсия и ее свойства.
Среднее квадратическое отклонение

Краткая теория


Дисперсия и формула для ее вычисления

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. M[X-M(X)], для любой случайной величины равно нулю. Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие - отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, то есть вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины  от :

Для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Для вычисления дисперсии на практике удобно пользоваться следующей формулой:

Свойства дисперсии

Свойство 1.

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины  и квадратом ее математического ожидания.

 

Свойство 2.

Дисперсия константы равна нулю:

 

Свойство 3.

Постоянный множитель выносится из-под знака дисперсии в квадрате:

 

Свойство 4.

Дисперсия суммы случайных величин:

где   – ковариация  случайных величин  и

 

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Следствия из свойств дисперсии.

В частности, если  и  независимы, то

Прибавление константы  в случайной величине не меняет ее дисперсии:

Дисперсия разности равна сумме дисперсий:

Среднеквадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Стандартное (среднее квадратичное) отклонение случайной величины  определяется как корень из дисперсии и обозначается

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то ее размерность совпадает с размерностью X. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если X выражается в линейных метрах, то среднее квадратичное отклонение X будет выражаться также в линейных метрах, a дисперсия X - в квадратных метрах.

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

В коробке 20 конфет, из которых 4 с вареньем. Х – число конфет с вареньем среди двух случайно выбранных. Найти дисперсию случайной величины Х.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Случайная величина  – число конфет с вареньем, может принимать значения 0,1,2

Найдем соответствующие вероятности:

Проверка:

 

Получаем следующий закон распределения СВ :

0 1 2
0.6316 0.3368 0.0316

 

Математическое ожидание:

Дисперсию можно вычислить по формуле:

Искомая дисперсия:


Пример 2

Даны законы распределения независимых случайных величин X и Y:

xi 0 1
ni 0.4 0.6

 

и

yi 2 3
mi 0.5 0.5

Найти закон распределения суммы (X+Y). Проверить равенство D(X+Y)=D(X)+D(Y).

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Распределение суммы :

0+2 0+3 1+2 1+3

Окончательно получаем:

2 3 4 Итого
0.2 0.5 0.3 1

 

Вычислим математические ожидания:

Вычислим дисперсии:

Проверим равенство :

Равенство выполняется.


Пример 3

Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке составляет 3%, на втором станке 5%. На первом станке было изготовлено 20 деталей, на втором 40 деталей. Найти математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей.

Решение

Математическое ожидание биномиального распределения:

Дисперсия:

Математическое ожидание величины  – числа бракованных деталей на 1-м станке:

Дисперсия:

 

Математическое ожидание величины  – числа бракованных деталей на 2-м станке:

Дисперсия:

 

Математическое ожидание числа бракованных деталей:

Дисперсия числа бракованных деталей:

Ответ: .


Пример 4

Случайные величины X,Y распределены по закону Пуассона. Найдите M{(X+Y)2}, если M(X)=40 и M(Y)=70, а коэффициент корреляции X и Yравен 0,8.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Поскольку случайные величины  и  распределены по закону Пуассона и известны их математические ожидания, соответствующие дисперсии равны:

Пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии:

Подставляя числовые значения, получаем:

Ответ: .

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами:

x 2.3 2.5 2.7 2.9
p 0.4 0.3 0.2 0.1

 

y 1 2 3
p 0.3 0.5 0.2

Укажите законы распределения случайной величины X+Y, X-Y и найдите их математическое ожидание и дисперсию.


Задача 2

Найти дисперсию, математическое ожидания, среднекваратическое отклонение ДСВ X, заданной законом распределения.

x -5 2 3 4
p 0,4 0,3 0,1 0,2

Написать F(x) и построить ее график.


Задача 3

Случайная величина X имеет плотность вероятности

Требуется найти дисперсию Dx.


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 4

Вероятность того, что прибор исправен, равна 0,8. X – число исправных приборов из двух выбранных. Найти дисперсию случайной величины X.


Задача 5

Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=2X+3Y, если известно, что D(X)=4, D(Y)=5.


Задача 6

Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.


Задача 7

Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x2>x1. Вероятность того, что X примет значение x1, равна 0,6. Найти закон распределения величины X, если математическое ожидание и дисперсия известны: M(X)=1,4; D(X)=0,24.


Задача 8

Закон распределения случайной величины ξ имеет вид:

ξ -1 2 3 5
P 1/4 1/2 1/8 1/8

Найти функцию распределения случайной величины ξ, вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность P{5⁄2<ξ<5}.


Задача 9

Дискретная случайная величины X принимает лишь два значения. Большее из значений 3 она принимает с вероятностью 0,4. Кроме того, известна дисперсия случайной величины D(X)=6. Найти математическое ожидание случайной величины.


Задача 10

Найти дисперсию по заданному непрерывному закону распределения случайной величины X, заданному плотностью вероятности  при  и  в остальных точках.