Несмещенная оценка дисперсии - исправленная выборочная дисперсия

Краткая теория


Пусть из генеральной совокупности в результате  независимых наблюдений над количественным признаком  извлечена повторная выборка объема :

Значения признака
Частоты

При этом

Требуется по данным выборки оценить (приближенно найти) неизвестную генеральную дисперсию . Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить в систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что, как можно доказать, выборочная дисперсия является смещенной оценкой , другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно:

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить  на дробь . Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через :

Исправленная дисперсия является, конечно, несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Действительно:

Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию:

Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют исправленное среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии:

При достаточно больших значениях  объема выборки выборочная и исправленная дисперсия отличаются мало. На практике используются исправленной дисперсией, если примерно .

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

Скачать пример 1 в формате pdf

Найти несмещенную оценку генеральной дисперсии, исправленную выборочную дисперсию, на основании данного распределения выборки.

16 20 22 30
14 26 17 3

Решение

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, поэтому в статистике применяют также исправленную выборочную дисперсию, которая является несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

Сумма частот:

Вычислим среднюю:

Средняя квадратов:

Несмещенная оценка дисперсии:

Ответ:


Пример 2

Скачать пример 2 в формате pdf

Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсий.

[1;3) [3;5) [5;7) [7;9) [9;11) [11;13) [13;15)
7 25 38 58 40 24 8

Решение

Для вычисления несмещенных оценок, составим расчетную таблицу:

Интервалы Середина интервала,
[1;3) 2 7 14 254,5
[3;5) 4 25 100 406,0
[5;7) 6 38 228 156,6
[7;9) 8 58 464 0,1
[9;11) 10 40 400 155,2
[11;13) 12 24 288 378,3
[13;15) 14 8 112 285,1
Итого -- 200 1606 1635,8


Несмещенная оценка генеральной средней:

Несмещенная оценка генеральной дисперсии - исправленная дисперсия: