Несмещенная оценка выборочной дисперсии

Краткая теория

Пусть из генеральной совокупности в результате  независимых наблюдений над количественным признаком  извлечена повторная выборка объема :

Значения признака
Частоты

При этом

Требуется по данным выборки оценить (приближенно найти) неизвестную генеральную дисперсию . Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить в систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что, как можно доказать, выборочная дисперсия является смещенной оценкой , другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно:

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить  на дробь . Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через :

Исправленная дисперсия является, конечно, несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Действительно:

Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию:

Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют исправленное среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии:

При достаточно больших значениях  объема выборки выборочная и исправленная дисперсия отличаются мало. На практике используются исправленной дисперсией, если примерно .

Пример решения задачи

Задача

Найти несмещенную выборочную дисперсию на основании данного распределения выборки.

16 20 22 30
14 26 17 3

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, поэтому в статистике применяют также исправленную выборочную дисперсию, которая является несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

Сумма частот:

Вычислим среднюю:

Средняя квадратов:

Несмещенная выборочная дисперсия:

Ответ:

Кроме этой задачи на другой странице сайта есть пример расчета исправленной выборочной дисперсии и среднего квадратического отклонения для интервального вариационного ряда