Несмещенная оценка дисперсии - исправленная выборочная дисперсия
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Помощь студентам в решении задач по теории вероятностей и статистике на заказ
Краткая теория
Пусть из генеральной совокупности в результате
независимых наблюдений над количественным
признаком
извлечена повторная выборка объема
:
Значения признака |
|
|
… |
|
Частоты |
|
|
… |
|
При этом
Требуется по данным выборки оценить (приближенно найти) неизвестную
генеральную дисперсию
.
Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то
эта оценка будет приводить в систематическим ошибкам, давая заниженное значение
генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что, как можно доказать, выборочная
дисперсия является смещенной оценкой
,
другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно
оцениваемой генеральной дисперсии, а равно:
Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое
ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить
на дробь
.
Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через
:
Исправленная дисперсия является, конечно, несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Действительно:
Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию:
Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют исправленное среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии:
При достаточно больших значениях
объема выборки выборочная и исправленная
дисперсия отличаются мало. На практике используются исправленной дисперсией,
если примерно
.
Смежные темы решебника:
Примеры решения задач
Пример 1
Скачать пример 1 в формате pdf
Найти несмещенную оценку генеральной дисперсии, исправленную выборочную дисперсию, на основании данного распределения выборки.
|
16 | 20 | 22 | 30 |
|
14 | 26 | 17 | 3 |
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, поэтому в статистике применяют также исправленную выборочную дисперсию, которая является несмещенной оценкой генеральной дисперсии.
Сумма частот:
Вычислим среднюю:
Средняя квадратов:
Несмещенная оценка дисперсии:
Ответ:
Пример 2
Скачать пример 2 в формате pdf
Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсий.
|
[1;3) | [3;5) | [5;7) | [7;9) | [9;11) | [11;13) | [13;15) |
|
7 | 25 | 38 | 58 | 40 | 24 | 8 |
Решение
Для вычисления несмещенных оценок, составим расчетную таблицу:
Интервалы |
Середина интервала,
|
|
|
|
[1;3) | 2 | 7 | 14 | 254,5 |
[3;5) | 4 | 25 | 100 | 406,0 |
[5;7) | 6 | 38 | 228 | 156,6 |
[7;9) | 8 | 58 | 464 | 0,1 |
[9;11) | 10 | 40 | 400 | 155,2 |
[11;13) | 12 | 24 | 288 | 378,3 |
[13;15) | 14 | 8 | 112 | 285,1 |
Итого | -- | 200 | 1606 | 1635,8 |
Несмещенная оценка генеральной средней:
Несмещенная оценка генеральной дисперсии - исправленная дисперсия: