Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева

Краткая теория


Закон больших чисел

Нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. При некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К закону больших чисел прежде всего относится так называемое неравенство Чебышева, которое оценивает в отдельном испытании вероятность принятия случайной величиной значения, уклоняющееся от среднего значения не более, чем на заданное значение.

Неравенство Чебышева

Вероятность того, что отклонение случайной величины  от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше, чем :

Также неравенство Чебышева можно записать в другой форме:

Замечание. Неравенство Чебышева применяется для теоретических исследований.

 

Для случайной величины  (число появления события в  испытаниях), имеющей биномиальный закон распределения с математическим ожиданием  и дисперсией  неравенство будет выглядеть следующим образом:

 

Для частоты  наступления события в  независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью , и имеющей дисперсию  получаем:

Последнее неравенство также известно как неравенство из теоремы Бернулли.

Теорема Чебышева

Если  - попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства:

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Выше, формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. На практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. Очевидно, что если вновь допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин через ; в рассматриваемом случае среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно . Мы можем сформулировать теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

Если  - попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание , и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число , вероятность неравенства:

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы будет иметь место равенство

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

В 1200 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов будет меньше 60.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Число успехов распределено по закону Бернулли.

Математическое ожидание (среднее число успехов):

Дисперсия:

Неравенство Чебышева:

Подставляя числовые значения, получаем:

Ответ: .


Пример 2

В результате 200 независимых опытов найдены значения СВ X1,X2,….,X200, причем M(X)=D(X)=2. Оценить сверху вероятности того, что абсолютная величина разности между средним арифметическим значением случайной величины

и математическим ожиданием меньше 0,2.

Решение

Неравенство Чебышева в нашем случае будет выглядеть следующим образом:

В нашем случае:

Получаем:

Ответ:


Пример 3

В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время Т окажется: а) меньше трех; б) не меньше трех.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

а) Обозначим через  дискретную случайную величину - число включенных ламп за время .

Воспользуемся неравенством Чебышева:

При  получаем:

 

б) события  и  противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице, следовательно:

Ответ: а) ;  б) .

 


Пример 4

Дневная выручка магазина шаговой доступности является случайной величиной, распределенной по нормальному закону со средним значением 25000 руб. и средним квадратическим отклонением 3000 руб.

1) С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что дневная выручка магазина шаговой доступности будет находиться в пределах от 21000 до 29000 руб.

2) Ту же вероятность найти, используя связь нормального закона распределения с функцией Лапласа.

Решение

1) Пусть случайная величина  – дневная выручка.

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Отклонение:

То есть выручка отклонится от математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 4000 руб.

Неравенство Чебышева:

В нашем случае:

2) Предполагая, что случайная величина  распределена по нормальному закону:

Из полученных результатов видно, что полученное точное значение вероятности события не противоречит ее оценке, полученной по неравенству Чебышева, так как .

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина с дисперсией 0,0162 отклонится от математического ожидания менее, чем на 0,2.


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 2

Дисперсия случайной величины X равна

Требуется:

- С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более, чем на величину ε=1,8.

- Для рассматриваемой случайной величины X оценивается математическое ожидание. Сколько нужно сделать измерений, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, среднее арифметическое этих измерений отклонилось от истинного значения математического ожидания не более чем на величину ε.


Задача 3

Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000 л в день, а среднее квадратическое отклонение этой случайной величины не превышает 200 л. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000 л, используя неравенство Чебышева.


Задача 4

Сколько должно быть произведено независимых измерений некоторой физической величины, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,98, можно было утверждать, что среднее арифметическое результатов измерений отличается от истинного значения по модулю не больше чем на 0,01, если дисперсия отдельного результата измерения не превосходят 1?


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 5

Дисперсия каждой из 800 независимых случайных величин не превышает 9. Какой должна быть верхняя граница абсолютной величины отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий, чтобы вероятность такого отклонения превышала 0,997?


Задача 6

Распределение случайной величины X задается следующей таблицей:

X 1 2 3 4 5 6
P 0,05 0,10 0,25 0,30 0,20 0,10

Чему равна вероятность того, что |X-M(X)|<2? Оценить эту вероятность, пользуясь неравенством Чебышева.


Задача 7

Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,85. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что из посеянных 1000 семян число взошедших окажется от 800 до 900 включительно.


Задача 8

Сколько раз необходимо подбросить монету, чтобы вероятность отклонения относительной частоты выпадения «герба» от 1/2 на величину, не превосходящую 0.1, была бы не менее 0.9?


Задача 9

В 400 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов будет меньше 20.