Закон больших чисел. Неравенство Чебышева

Краткая теория

Нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. При некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К закону больших чисел прежде всего относится так называемое неравенство Чебышева, которое оценивает в отдельном испытании вероятность принятия случайной величиной значения, уклоняющееся от среднего значения не более, чем на заданное значение.

Пример решения задачи

Условие задачи

Дисперсия случайной величины  равна

Требуется:

  • С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более, чем на величину . Параметры выбрать по номеру варианта;
  • Для рассматриваемой случайной величины  оценивается математическое ожидание. Сколько нужно сделать измерений, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, среднее арифметическое этих измерений отклонилось от истинного значения математического ожидания не более чем на величину .

Решение задачи

Вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более, чем на величину :

 

Количество измерений можно найти по формуле:

где  - аргумент функции Лапласа

Задача на вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Ответ

Таким образом, достаточно одного измерения, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, среднее арифметическое этих измерений отклонилось от истинного значения математического ожидания не более чем на величину .

К оглавлению решебника по теории вероятностей и математической статистике