Биномиальное распределение дискретной случайной величины

Краткая теория

Дискретная случайная величина  имеет биномиальный закон распределения с параметрами  и , если она принимает значения 0,2,3,…,m,…n с вероятностями:

где

 – число сочетаний  элементов по  (см. формулы комбинаторики - перестановки,размещения, сочетания )

Как видно, вероятности  находятся по формуле Бернулли. Следовательно, биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа  наступления события  в  независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью .

Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

0 1 2  

Математическое ожидание случайной величины , распределенной по биномиальному закону:

Дисперсия случайной величины , распределенной по биномиальному закону:

Для биномиального распределения асимметрия и эксцесс:

Основные законы распределения дискретных случайных величин, кроме биномиального:

Пример решения задачи

Задача

Для заданной случайной величины  построить ряд распределения; найти функцию распределения  и построить ее график; вычислить характеристики – математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

На экзамене студенту задано три вопроса. Вероятность ответить на каждый правильно – 0,6. Случайная величина  – число отвеченных вопросов из заданных.

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Случайная величина  – число отвеченных вопросов из заданных, может принимать значения 0,1,2,3 и распределена по биномиальному закону.

Найдем соответствующие вероятности по формуле Бернулли:

Проверка:

Закон распределения случайной величины :

0 1 2 3
0.064 0.288 0.432 0.216

Запишем функцию распределения

График функции распределения

Так как случайная величина распределена по биномиальному закону, для вычисления характеристик используем соответствующие формулы.

Математическое ожидание :

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение: