Биномиальное распределение дискретной случайной величины

Краткая теория


Дискретная случайная величина  имеет биномиальный закон распределения с параметрами  и , если она принимает значения 0,2,3,…,m,…n с вероятностями:

где

 – число сочетаний  элементов по  (см. формулы комбинаторики )

Как видно, вероятности  находятся по формуле Бернулли. Следовательно, биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа  наступления события  в  независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью .

Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

0 1 2  

Математическое ожидание случайной величины , распределенной по биномиальному закону:

Дисперсия случайной величины , распределенной по биномиальному закону:

Для биномиального распределения асимметрия и эксцесс:

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

Для заданной случайной величины Х построить ряд распределения; найти функцию распределения F(x) и построить ее график; вычислить характеристики – математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

На экзамене студенту задано три вопроса. Вероятность ответить на каждый правильно – 0,6. Случайная величина X – число отвеченных вопросов из заданных.

 

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Случайная величина  – число отвеченных вопросов из заданных, может принимать значения 0,1,2,3 и распределена по биномиальному закону.

Найдем соответствующие вероятности по формуле Бернулли:

Проверка:

Закон распределения случайной величины :

0 1 2 3
0.064 0.288 0.432 0.216

Запишем функцию распределения

График функции распределения

Так как случайная величина распределена по биномиальному закону, для вычисления характеристик используем соответствующие формулы.

Математическое ожидание:

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение:


Пример 2

Монету подбрасывают 3 раза. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – выпадения герба.

Решение

Так как случайная величина распределена по биномиальному закону, для вычисления характеристик используем соответствующие формулы.

Математическое ожидание:

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение:

Ответ: .


Пример 3

Случайная величина X имеет биномиальное распределение. Найти вероятность P(3≤X≤5), если математическое ожидание M(X)=4, а дисперсия D(X)=1.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Для биномиального распределения:

Ответ: .


Пример 4

Случайные величины X1…X243 независимы и распределены по биномиальному закону с параметрами n=4 и p=1/9. Найдите математическое ожидание E((X1+⋯+X243 )2 )

Решение

Математическое ожидание  случайной величины:

Дисперсия  случайной величины:

 

Получаем:

Ответ:

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Прямоугольник со сторонами l1 и l2 разделен на четыре равные части, одна из которых заштрихована. На прямоугольник брошены три точки. Попадание точки в любое место прямоугольника равновозможно.  Дискретная случайная величина – число точек, попавших на заштрихованную часть. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения F(x). Построить график F(x).


Задача 2

Для случайной величины X найти: а) закон распределения; б) функцию распределения; в) математическое ожидание и дисперсию. При установившемся технологическом процессе   всей производимой продукции станок-автомат выпускает 2/3 первым сортом и   1/3 - вторым. Случайным образом отбирается 5 изделий. X - число изделий первого сорта среди отобранных.

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.


Задача 3

Игральную кость подбросили 3 раза. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение числа невыпадения единицы.


Задача 4

Монету подбросили 4 раза. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X – числа появлений герба.


Задача 5

В городе имеется N=3 оптовых баз. Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует, на этих базах одинакова и равна p=0,2. Составить закон распределения числа баз, на которых товар отсутствует в данный момент. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.


Задача 6

Продавец азартных игр объясняет, что в его лотерее 40% заклепок. Игрок покупает 5 билетов.

а) Какова вероятность того, что он вытащит не более двух заклепок?

б) Рассчитайте ожидаемое значение и интерпретируйте его


Задача 7

Случайные величины ξ и η имеют биномиальные распределения с параметрами n=20 и p=0,2 для величины ξ и n=100 и p=0,1 для величины η.

Найти математическое ожидание и дисперсию величины γ=10ξ-2η, если известен коэффициент корреляции ρ(ξ,η)=-0,7.


Задача 8

Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке составляет 3%, на второй станке – 5%. На первом станке изготовлено 20 деталей, на втором 40 деталей. Найти математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей.

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.


Задача 9

Производится 9 бомбометаний с вероятностью попадания при каждом 0,89. Какова вероятность при более чем 4 бомбометаниях? Найти характеристики распределения случайной величины.

 


Задача 10

Вероятность того, что саженец абрикоса приживется в Новосибирской области, равна 0,6. Посадили 5 саженцев. Записать закон распределения случайной величины X – число прижившихся саженцев. Найти математическое ожидание и дисперсию полученного распределения.


Задача 11

Из курьерской службы отправились на объекты 5 курьеров. Каждый курьер с вероятностью 0,3 независимо от других опаздывает на объект. Указать вид распределения случайной величины X – числа опоздавших курьеров. Построить ряд распределения случайной величины X. Найти ее математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что на объекты опоздают не менее двух курьеров.


Задача 12

Проведено 5 независимых опытов. Вероятность взрыва в каждом опыте равна p=2/7. Составить закон распределения числа взрывов, вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение и построить многоугольник распределения.


Задача 13

На складе производителя электрических гирлянд, которые планируется поставлять на продажу, проводится выборочная проверка их работоспособности. Известно, что у примерно 5% производимых гирлянд бывают неисправности различного рода. Предположим, были отобраны 3 гирлянды для проверки их работоспособности. Найдите закон распределения случайной величины  – число гирлянд без неисправностей среди отобранных. Определите вероятность того, что более чем одна гирлянда будет исправлена.

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.


Задача 14

Торговый агент в среднем контактирует с 4 потенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0,023. Составить закон распределения ежедневного числа продаж для агента. Найти числовые характеристики этого распределения. Чему равна вероятность того, что у агента будет хотя бы 2 продажи в течение дня?


Задача 15

Случайная величина имеет биноминальное распределение с математическим ожиданием M(X)=3 и дисперсией D(X)=1,2. Найти P(X≥2).


Задача 16

По мишени производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания при каждом выстреле p=0,9. Найти закон распределения дискретной случайной величины X, равной числу попадания в мишень. Написать функцию распределения.


Задача 17

Производится 4 независимых выстрела по некоторой цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,25. Выписать ряд распределения для числа попаданий в цель.


Задача 18

Вероятность попадания в цель одним выстрелом равна 0,5. Производят пять выстрелов. Найти: а) Распределение вероятностей числа попаданий; б) Наивероятнейшее число попаданий; в) Вероятность, что попаданий будет не более двух.


Задача 19

Клиенты банка не возвращают полученный кредит в 12% случаев.

а) составить ряд распределения числа не отдавших кредит клиентов из взятых наудачу 3-х.

б) найти среднее число не отдавших кредит клиентов и отклонение от него.


Задача 20

При установившемся технологическом процессе происходит в среднем 10 обрывов нити на 100 веретен в час. Найти закон распределения и математическое ожидание случайного числа обрывов нити в течение часа среди трех веретен, работающих независимо друг от друга.

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.


Задача 21

Составить закон распределения случайной величины Х и найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

Х – число выигравших билетов лотереи, если куплено 3 билета, а выигрышные билеты составляют в тираже 8%;


Задача 22

Производится 3 независимых опыта, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью 0,4. Построить ряд распределения числа появлений события в 3-х опытах.

Найти F(X),M(X),D(X),σ(X),p(x≥1)


Задача 23

Построить ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при 4 бросках, если вероятность попадания равна 0,7.


Задача 24

Производится три независимых испытания, в каждом из которых вероятность появления события A равна 0,4. Составить закон распределения дискретной случайной величины X - числа появления события A в указанных испытаниях. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.


Задача 25

Запишите таблицу для данного закона распределения случайной величины X, постройте многоугольник распределения. Найдите числовые характеристики распределения (M(X),D(X),σ(X)). Запишите функцию распределения и постройте ее график. Ответьте на вопрос о вероятности описанного события.

Записи страховой компании показали, что 30% держателей страховых полисов старше 50 лет потребовали возмещения страховых сумм. Для проверки в случайном порядке было отобрано 5 человек старше 50 лет, имеющих полисы. Случайная величина X – количество требующих возмещения среди отобранных. Чему равна вероятность того, что потребуют возмещения более трех человек?


Задача 26

На некоторой остановке автобус останавливается только по требованию. Вероятность остановки равна 0,2. За смену автобус проходит мимо этой остановки 5 раз. Составить закон распределения числа остановки за смену, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.


Задача 27

Устройство состоит из пяти независимых элементов. Вероятность безотказной работы каждого элемента в одном опыте равна 0,7. Для случайной величины X элементов, безотказно работавших в одном опыте, построить закон распределения, их графики, найти ее числовые характеристики.


Задача 28

В группе студентов среднее число отличников составляет 20%.  Составить закон распределения количества отличников среди четырех студентов, отобранных случайным образом для участия в деловой игре.


Задача 29

В урне 6 белых и 14 черных шара. Из урны извлекается один шар 4 раз подряд, причем каждый раз вынутый шар возвращается в урну и шары перемешиваются. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой случайной величины, найти ее математическое ожидание и дисперсию.


Задача 30

Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа в одном опыте для каждого элемента равна 0.1. Составить закон распределения случайного числа отказавших элементов в одном опыте. Составить функцию распределения, построить ее график.


Задача 31

В контрольной работе три задачи. Вероятность того, что задача будет решена, равна 0,9. Найти математическое ожидание случайной величины – числа решенных задач, стандартное отклонение.


Задача 32

Известна вероятность события A: p(A)=0,6. Дискретная случайная величина ξ – число появлений A в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины ξ. Найти математическое ожидание mξ и дисперсию Dξ.