Неравенство Маркова.
Закон больших чисел
Краткая теория
Если
случайная величина
принимает только неотрицательные значения и
имеет математическое ожидание
, то для любого
положительного числа
верно неравенство:
Альтернативная форма записи неравенства Маркова:
Следствие
Для любой случайной величины
при любом
имеет место
неравенство:
Смежные темы решебника:
Примеры решения задач
Пример 1
Оценить вероятность того, что при 3600 независимых подбрасываниях игрального кубика число появлений шести очков будет не меньше 900.
Решение
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Пусть
– число появлений шести очков при
подбрасываниях.
Тогда
математическое ожидание случайной величины, распределенной по биномиальному
закону с
:
Согласно неравенству Маркова:
Подставляя числовые значения, получаем:
Ответ:
.
Пример 2
Сумма всех вкладов в некотором банке составляет 40 млн. р., а вероятность того, что выбранный вклад не превышает 300 тыс. руб., равна 0,8. Каково число вкладчиков данного банка?
Решение
Пусть
– размер случайно взятого вклада, а
– число всех вкладов. Тогда из условия задачи
следует, что средний размер вклада:
Используем неравенство Маркова:
При
руб. получаем:
Учитывая,
то
, получаем:
Отсюда число вкладчиков:
Ответ: не более
вкладчиков.
Пример 3
Математическое ожидание отклонения от центра мишени при стрельбе по ней составляет 6 см. Оценить вероятность того, что при стрельбе по круговой мишени радиусом 15 см произойдет попадание в мишень.
Решение
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Если
случайная величина
может принимать только неотрицательные
значения и у нее есть математическое ожидание, то какова бы ни была
положительная величина x той же размерности, что и
, всегда выполняется
неравенство Маркова:
Попадание
в мишень произойдет, если отклонение от центра мишени
. получаем:
Ответ:
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Математическое ожидание количества выпадающих в течение года в данной местности осадков составляет 60 см. Определить вероятность того, что в этой местности осадков выпадет не менее 180 см.
Задача 2
Среднее число выпускников колледжа, получивших красный диплом, составляет ежегодно 25 чел. Оцените вероятность того, что в этом учебном году число отличников не превысит 30 чел.
Задача 3
Среднее значение расхода воды в населенном пункте составляет 50000 л/дн. Оценить вероятность того, что в этом населенном пункте расход воды не будет превышать 150000 л/дн.
Задача 4
Математическое ожидание количества выпадающих в течение года в данной местности осадков составляет 55 см. Оценить вероятность того, что в этой местности осадков выпадает более 175 см.
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Задача 5
Дана случайная величина X:
| xi | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| pi | 0,1 | 0,3 | 0,25 | 0,15 | 0,15 | 0,05 |
Какова вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее 11? Оценить эту вероятность, пользуясь неравенством Маркова.
Задача 6
Неотрицательные случайные величины X и Y независимы. Оценить вероятность неравенств: а) X+Y<40; б) XY<200, если M(X)=5,M(Y)=4.
Задача 7
Приняв вероятность попадания в цель при выстреле равной 0,4, оценить вероятность того, что при 120 выстрелах окажется не более 80 попаданий.
Задача 8
Средняя температура воздуха в июле в данной местности 20℃. Оценить вероятность того, что в июле следующего года средняя температура воздуха будет:
а) не более 15℃;
б) более 20℃.
Задача 9
Количество потребляемой за сутки электроэнергии предприятием является случайной величиной с математическим ожиданием 8 мегаватт при среднем квадратическом отклонении 2 мегаватта. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки потребление электроэнергии окажется более 15 мегаватт.
Задача 10
Для некоторого автопарка среднее число автобусов, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации на городских линиях, равно 5. Оценить вероятность того, что по истечении месяца в данном автопарке будет отправлено в ремонт меньше 15 автобусов.