Неравенство Маркова.
Закон больших чисел
Краткая теория
Если
случайная величина
принимает только неотрицательные значения и
имеет математическое ожидание
, то для любого
положительного числа
верно неравенство:
Альтернативная форма записи неравенства Маркова:
Следствие
Для любой случайной величины
при любом
имеет место
неравенство:
Смежные темы решебника:
Примеры решения задач
Пример 1
Оценить вероятность того, что при 3600 независимых подбрасываниях игрального кубика число появлений шести очков будет не меньше 900.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Пусть
– число появлений шести очков при
подбрасываниях.
Тогда
математическое ожидание случайной величины, распределенной по биномиальному
закону с
:
Согласно неравенству Маркова:
Подставляя числовые значения, получаем:
Ответ:
.
Пример 2
Сумма всех вкладов в некотором банке составляет 40 млн. р., а вероятность того, что выбранный вклад не превышает 300 тыс. руб., равна 0,8. Каково число вкладчиков данного банка?
Решение
Пусть
– размер случайно взятого вклада, а
– число всех вкладов. Тогда из условия задачи
следует, что средний размер вклада:
Используем неравенство Маркова:
При
руб. получаем:
Учитывая,
то
, получаем:
Отсюда число вкладчиков:
Ответ: не более
вкладчиков.
Пример 3
Математическое ожидание отклонения от центра мишени при стрельбе по ней составляет 6 см. Оценить вероятность того, что при стрельбе по круговой мишени радиусом 15 см произойдет попадание в мишень.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Если
случайная величина
может принимать только неотрицательные
значения и у нее есть математическое ожидание, то какова бы ни была
положительная величина x той же размерности, что и
, всегда выполняется
неравенство Маркова:
Попадание
в мишень произойдет, если отклонение от центра мишени
. получаем:
Ответ:
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Математическое ожидание количества выпадающих в течение года в данной местности осадков составляет 60 см. Определить вероятность того, что в этой местности осадков выпадет не менее 180 см.
Задача 2
Среднее число выпускников колледжа, получивших красный диплом, составляет ежегодно 25 чел. Оцените вероятность того, что в этом учебном году число отличников не превысит 30 чел.
Задача 3
Среднее значение расхода воды в населенном пункте составляет 50000 л/дн. Оценить вероятность того, что в этом населенном пункте расход воды не будет превышать 150000 л/дн.
Задача 4
Математическое ожидание количества выпадающих в течение года в данной местности осадков составляет 55 см. Оценить вероятность того, что в этой местности осадков выпадает более 175 см.
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 5
Дана случайная величина X:
| xi | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| pi | 0,1 | 0,3 | 0,25 | 0,15 | 0,15 | 0,05 |
Какова вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее 11? Оценить эту вероятность, пользуясь неравенством Маркова.
Задача 6
Неотрицательные случайные величины X и Y независимы. Оценить вероятность неравенств: а) X+Y<40; б) XY<200, если M(X)=5,M(Y)=4.
Задача 7
Приняв вероятность попадания в цель при выстреле равной 0,4, оценить вероятность того, что при 120 выстрелах окажется не более 80 попаданий.
Задача 8
Средняя температура воздуха в июле в данной местности 20℃. Оценить вероятность того, что в июле следующего года средняя температура воздуха будет:
а) не более 15℃;
б) более 20℃.
Задача 9
Количество потребляемой за сутки электроэнергии предприятием является случайной величиной с математическим ожиданием 8 мегаватт при среднем квадратическом отклонении 2 мегаватта. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки потребление электроэнергии окажется более 15 мегаватт.
Задача 10
Для некоторого автопарка среднее число автобусов, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации на городских линиях, равно 5. Оценить вероятность того, что по истечении месяца в данном автопарке будет отправлено в ремонт меньше 15 автобусов.