Математическое ожидание случайной величины и его свойства

Определение математического ожидания


Математическим ожиданием дискретной случайной величины , множество возможных значений которой конечно, называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности:

Если множество возможных значений счетное, то

Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части сходится абсолютно.

Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат всей оси , определяется равенством:

где  – плотность распределения случайной величины . Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то:

Все свойства математического ожидания, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Задача на вычисление математического ожидания двумерной дискретной случайной величины рассмотрена по ссылке

Свойства математического ожидания


Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Свойство 1

Математическое ожидание константы равно этой константе:

 

Свойство 2

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

 

Свойство 3

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

 

Свойство 4

Математическое ожидания произведения случайных величин:

где   – ковариация  случайных величин  и

В частности, если  и  независимы, то

И вообще, для независимых случайных величин математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий сомножителей:

Примеры решения задач

Задача 1

Случайные величины  и  независимы и распределены равномерно.  -в интервале ,  -в интервале . Найти математическое ожидание случайной величины .

Решение

Воспользуемся свойствами математического ожидания:

Ответ:


Задача 2

Для случайных величин  известны характеристики

Найдите математическое ожидание

Решение

Коэффициент корреляции:

Искомое математическое ожидание:

Ответ: