Математическое ожидание случайной величины и его свойства

Краткая теория


Математическим ожиданием дискретной случайной величины , множество возможных значений которой конечно, называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности:

Если множество возможных значений счетное, то

Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части сходится абсолютно.

Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат всей оси , определяется равенством:

где  – плотность распределения случайной величины . Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то:

Все свойства математического ожидания, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Свойства математического ожидания

Свойство 1.

Математическое ожидание константы равно этой константе:

 

Свойство 2.

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

 

Свойство 3.

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

 

Свойство 4.

Математическое ожидания произведения случайных величин:

где   – ковариация  случайных величин  и

В частности, если  и  независимы, то

И вообще, для независимых случайных величин математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий сомножителей:

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными p1=0,4; p2=0,3 и p3=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина , которая может принимать только два значения:

1 – попадание с вероятностью

0 – промах с вероятностью

Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле:

Аналогично находим математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах:

Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:

Искомое математическое ожидание:

Ответ:


Пример 2

Для случайных величин X,Y известны характеристики M(X)=3, M(Y)=7, D(X)=16, D(Y)=49, ρXY=0.35

Найдите математическое ожидание M(XY).

Решение

Коэффициент корреляции:

Искомое математическое ожидание:

Ответ:


Пример 3

Даны законы распределения двух независимых случайных величин X и Y:

xi -2 0 1
pi 0.3 0.2 0.5

 

yi -1 1 2
pi 0.1 0.7 0.2

Требуется:

- составить закон распределения случайной величины Z=3X-Y;

- найти числовые характеристики случайных величин X, Y, Z;

- проверить свойство M(Z)=3M(X)-M(Y);

- построить функцию распределения для Z и построить ее график.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Составим закон распределения :

-5 -7 -8 1 -1 -2 4 2 1
0.03 0.21 0.06 0.02 0.14 0.04 0.05 0.35 0.1

или

-8 -7 -5 -2 -1 1 2 4
0.06 0.21 0.03 0.04 0.14 0.12 0.35 0.05

Проверка:

Закон распределения величины :

-8 -7 -5 -2 -1 1 2 4
0.06 0.21 0.03 0.04 0.14 0.12 0.35 0.05

 

Найдем математические ожидания:

 

Проверим свойство:

 – выполняется

Найдем дисперсии:

Средние квадратические отклонения:

Запишем функцию распределения:

 

График функции распределения


Пример 4

Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Решение

Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через , и на второй – через .

Возможные значения этих величин одинаковы и равны: 1,2,3,4,5 и 6.

При этом вероятность каждого из этих значений равна 1/6.

Математическое ожидание числа очков, выпавших на первой кости:

Аналогично математическое ожидание числа очков, выпавших на второй кости:

Искомое математическое ожидание:

Ответ: .

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Найти математическое ожидание случайной величины Z=6X-9Y+7XY-10, если известно, что M(X)=2; M(Y)=3.


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 2

Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X – в интервале (a,b), Y – в интервале (c,d). Найти математическое ожидание случайной величины Z.

a=-3, b=4, c=3, d=6, Z=6XY, M(Z)-?


Задача 3

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=3+2.2X-Y, где X и Y – независимые случайные величины, если известны M(X)=1, D(X)=0.5, M(Y)=2, D(Y)=2.


Задача 4

Независимые случайные величины заданы законами распределения:

X 1 2 4
p 0.4 0.4 0.2

и

Y -1 0 2
p 0.1 0.3 0.6

Построить ряд распределения F(Z), где Z=X-Y. Проверить свойства:

M(Z)=M(X)-M(Y)

D(Z)=D(X)+D(Y)


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 5

Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

X 5 2 4
p 0,6 0,1 0,3

и

Y 7 9
p 0,8 0,2

Найти математическое ожидание случайной величины XY


Задача 6

Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x1=4 с вероятностью p1=0.5; x2=6 c вероятностью p2=0.3 и x3 с вероятностью p3. Найти x3 и p3, зная, что M(X)=8.


Задача 7

Дан перечень возможных значений случайной величины X: x1=-1, x2=0, x3=1, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата:

M(X)=0.1, M(X2)=0.9.

Найти вероятности p1, p2, p3 соответствующие возможным значениям x1, x2, x3.


Задача 8

Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X:

x1=1, x2=2, x3=3

А также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата:

M(X)=2.3

M(X2)=5.9

Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X.