Функция распределения случайной величины

Краткая теория


Пусть  – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что  примет значение, меньшее , то есть вероятность события  обозначим через . Разумеется, если  изменяется, то, вообще говоря, изменяется и , то есть  – функция от .

Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина  в результате испытания примет значение, меньшее , то есть:

Геометрически это равенство можно истолковать так:  есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки .

Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».

Функцию распределения дискретной случайной величины  можно представить следующим соотношением:

Это соотношение можно переписать в развернутом виде:

Функция распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции  равна 1.

Свойства функции распределения

Свойство 1.

Значения функции распределения принадлежат отрезку :


Свойство 2.

 – неубывающая функция, то есть:

, если


Свойство 3.

Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то:

1)  при ;

2)  при


Свойство 4.

Справедливо равенство:


Свойство 5.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина  примет одно определенное значение, равна нулю.

Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малый.

Заметим, что было бы неправильным думать, что равенство нулю вероятности  означает, что событие  невозможно (если, конечно, не ограничиваться классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным .


Свойство 6.

Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси , то справедливы следующие предельные соотношения:


Свойство 7.

Функция распределения непрерывная слева, то есть:

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

Дан ряд распределения случайной величины :

1 2 6 8
0,2 0,3 0,1 0,4

Найти и изобразить ее функцию распределения.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Будем задавать различные значения  и находить для них

1. Если , то, очевидно,

в том числе и при

 

2. Пусть  (например )

Очевидно, что и

 

3. Пусть  (например );

Очевидно, что и

 

4. Пусть

Очевидно, что и

 

5. Пусть

 

Итак:

График функции распределения


Пример 2

Случайная величина  задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания  примет значение:

а) меньше 0,2;

б) меньше трех;

в) не меньше трех;

г) не меньше пяти.

Решение

а) Так как при  функция , то

то есть при

 

б)

 

в) События  и  противоположны, поэтому

Отсюда:

 

г) сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому

Отсюда, в силу того что при  функция , получим:


Пример 3

Задана непрерывная случайная величина X своей плотностью распределения вероятностей f(x). Требуется:

1) определить коэффициент A;

2) найти функцию распределения F(x);

3) схематично построить графики функций f(x) и F(x);

4) вычислить математическое ожидание и дисперсию X;

5) определить вероятность того, что X примет значение из интервала (a,b).

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

1) Постоянный параметр  найдем из свойства плотности вероятности:

В нашем случае эта формула имеет вид:

Получаем:

 

2) Функцию распределения  найдем из формулы:

Учитывая свойства ,  сразу можем отметить, что:

и

Остается найти выражение для , когда х принадлежит интервалу :

Получаем:  

 

3) Построим графики функций:

График плотности распределения

График функции распределения

 

4) Вычислим математическое ожидание:

В нашем случае:

 

Вычислим дисперсию:

Искомая дисперсия:

 

5) Вероятность того, что  примет значение из интервала :

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Закон распределения случайной величины X задан таблицей.

-2 0 0.5
0.1 0.3 0.6

Найти ее математическое ожидание, дисперсию и значение функции распределения в заданной точке.

F(1)=

M[X]=

D[X]=


Задача 2

Случайная величины X задана функцией распределения

Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Построить графики дифференциальной и интегральной функций. Найти вероятность попадания случайной величины X в интервалы (1,2; 1,8), (1,8; 2,3)


Задача 3

Дискретная случайная величина X задана рядом распределения. Найти:

1) функцию распределения F(x) и ее график;

2) математическое ожидание M(X);

3) дисперсию D(X).

-5 5 25 45 65
0.2 0.15 0.3 0.25 0.1

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 4

В задаче дискретная случайная величина задана рядом распределения.

-2 0 2
  0.1 0.5

Найти ; M(X), D(X), P(0≤X≤2); F(x). Начертить график F(x)


Задача 5

В задаче непрерывная случайная величина X задана функцией распределения F(x).

Найти  a; f(x); M(X); D(X); P(X<0.2)

Начертить графики функций f(x);F(x).


Задача 6

Функция распределения непрерывной случайной величины X (времени безотказной работы некоторого устройства) равна  ( ). Найти вероятность безотказной работы устройства за время x больше либо равно T.


Задача 7

Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением:

Найдите:

1) параметр a;

2) плотность вероятностей;

4) P(0<x<1)

Постройте графики интегральной и дифференциальной функции распределения.


Задача 8

Дана интегральная функция распределения. Найти: дифференциальную функцию f(x),M(X),σ(X),D(X).


Задача 9

Дана функция распределения F(х) случайной величины Х.

Найти плотность распределения вероятностей f(x), математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и вероятность попадания X на отрезок [a,b]. Построить графики функций F(x) и f(x).


Задача 10

НСВ X имеет плотность вероятности (закон Коши)

Найти:

а) постоянную C=const;

б) функцию распределения F(x);

в) вероятность попадания в интервал -1<x<1

г) построить графики f(x), F(x).