Функция распределения случайной величины
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
- Решение контрольных работ по теории вероятностей на заказ
Краткая теория
Пусть – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что примет значение, меньшее , то есть вероятность события обозначим через . Разумеется, если изменяется, то, вообще говоря, изменяется и , то есть – функция от .
Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее , то есть:
Геометрически это равенство можно истолковать так: есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки .
Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».
Функцию распределения дискретной случайной величины можно представить следующим соотношением:
Это соотношение можно переписать в развернутом виде:
Функция распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции равна 1.
Свойства функции распределения
Свойство 1.
Значения функции распределения принадлежат отрезку :
Свойство 2.
– неубывающая функция, то есть:
, если
Свойство 3.
Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то:
1) при ;
2) при
Свойство 4.
Справедливо равенство:
Свойство 5.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю.
Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малый.
Заметим, что было бы неправильным думать, что равенство нулю вероятности означает, что событие невозможно (если, конечно, не ограничиваться классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным .
Свойство 6.
Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси , то справедливы следующие предельные соотношения:
Свойство 7.
Функция распределения непрерывная слева, то есть:
Смежные темы решебника:
Примеры решения задач
Пример 1
Скачать пример 1 в формате pdf
Дан ряд распределения случайной величины :
1 | 2 | 6 | 8 | |
0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,4 |
Найти и изобразить ее функцию распределения.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Будем задавать различные значения и находить для них
1. Если , то, очевидно,
в том числе и при
2. Пусть (например )
Очевидно, что и
3. Пусть (например );
Очевидно, что и
4. Пусть
Очевидно, что и
5. Пусть
Итак:
График функции распределения
Пример 2
Скачать пример 2 в формате pdf
Случайная величина задана функцией распределения:
Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение:
а) меньше 0,2;
б) меньше трех;
в) не меньше трех;
г) не меньше пяти.
Решение
а) Так как при функция , то
то есть при
б)
в) События и противоположны, поэтому
Отсюда:
г) сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому
Отсюда, в силу того что при функция , получим:
Пример 3
Скачать пример 3 в формате pdf
Задана непрерывная случайная величина X своей плотностью распределения вероятностей f(x). Требуется:
1) определить коэффициент A;
2) найти функцию распределения F(x);
3) схематично построить графики функций f(x) и F(x);
4) вычислить математическое ожидание и дисперсию X;
5) определить вероятность того, что X примет значение из интервала (a,b).
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
1) Постоянный параметр найдем из свойства плотности вероятности:
В нашем случае эта формула имеет вид:
Получаем:
2) Функцию распределения найдем из формулы:
Учитывая свойства , сразу можем отметить, что:
и
Остается найти выражение для , когда х принадлежит интервалу :
Получаем:
3) Построим графики функций:
График плотности распределения
График функции распределения
4) Вычислим математическое ожидание:
В нашем случае:
Вычислим дисперсию:
Искомая дисперсия:
5) Вероятность того, что примет значение из интервала :
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Закон распределения случайной величины X задан таблицей.
-2 | 0 | 0.5 | |
0.1 | 0.3 | 0.6 |
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и значение функции распределения в заданной точке.
F(1)=
M[X]=
D[X]=
Задача 2
Случайная величины X задана функцией распределения
Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Построить графики дифференциальной и интегральной функций. Найти вероятность попадания случайной величины X в интервалы (1,2; 1,8), (1,8; 2,3)
Задача 3
Дискретная случайная величина X задана рядом распределения. Найти:
1) функцию распределения F(x) и ее график;
2) математическое ожидание M(X);
3) дисперсию D(X).
-5 | 5 | 25 | 45 | 65 | |
0.2 | 0.15 | 0.3 | 0.25 | 0.1 |
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Задача 4
В задаче дискретная случайная величина задана рядом распределения.
-2 | 0 | 2 | |
0.1 | 0.5 |
Найти ; M(X), D(X), P(0≤X≤2); F(x). Начертить график F(x)
Задача 5
В задаче непрерывная случайная величина X задана функцией распределения F(x).
Найти a; f(x); M(X); D(X); P(X<0.2)
Начертить графики функций f(x);F(x).
Задача 6
Функция распределения непрерывной случайной величины X (времени безотказной работы некоторого устройства) равна ( ). Найти вероятность безотказной работы устройства за время x больше либо равно T.
Задача 7
Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением:
Найдите:
1) параметр a;
2) плотность вероятностей;
4) P(0<x<1)
Постройте графики интегральной и дифференциальной функции распределения.
Задача 8
Дана интегральная функция распределения. Найти: дифференциальную функцию f(x),M(X),σ(X),D(X).
Задача 9
Дана функция распределения F(х) случайной величины Х.
Найти плотность распределения вероятностей f(x), математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и вероятность попадания X на отрезок [a,b]. Построить графики функций F(x) и f(x).
Задача 10
НСВ X имеет плотность вероятности (закон Коши)
Найти:
а) постоянную C=const;
б) функцию распределения F(x);
в) вероятность попадания в интервал -1<x<1
г) построить графики f(x), F(x).