Функция распределения случайной величины
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
- Решение контрольных работ по теории вероятностей на заказ
Краткая теория
Пусть
– действительное число. Вероятность события,
состоящего в том, что
примет значение, меньшее
, то есть вероятность
события
обозначим через
. Разумеется, если
изменяется, то, вообще говоря, изменяется и
, то есть
– функция от
.
Функцией распределения называют функцию
, определяющую вероятность
того, что случайная величина
в результате испытания примет значение,
меньшее
, то есть:
Геометрически
это равенство можно истолковать так:
есть вероятность того, что случайная величина примет
значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки
.
Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».
Функцию
распределения дискретной случайной величины
можно представить следующим соотношением:
Это соотношение можно переписать в развернутом виде:
Функция
распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция,
скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям
случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков
функции
равна 1.
Свойства функции распределения
Свойство 1.
Значения
функции распределения принадлежат отрезку
:
Свойство 2.
– неубывающая функция, то есть:
,
если
Свойство 3.
Если возможные значения случайной величины
принадлежат интервалу
,
то:
1)
при
;
2)
при
Свойство 4.
Справедливо равенство:
Свойство 5.
Вероятность того, что непрерывная случайная
величина
примет одно определенное значение, равна нулю.
Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малый.
Заметим, что было бы неправильным думать, что
равенство нулю вероятности
означает, что событие
невозможно (если, конечно, не ограничиваться
классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания
случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности,
это значение может оказаться равным
.
Свойство 6.
Если возможные значения непрерывной случайной величины
расположены на всей оси
,
то справедливы следующие предельные соотношения:
Свойство 7.
Функция распределения непрерывная слева, то есть:
Смежные темы решебника:
Примеры решения задач
Пример 1
Скачать пример 1 в формате pdf
Дан ряд
распределения случайной величины
:
|
1 | 2 | 6 | 8 |
|
0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,4 |
Найти и изобразить ее функцию распределения.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Будем задавать различные значения
и находить для них
1. Если
,
то, очевидно,
в том числе и при
2. Пусть
(например
)
Очевидно, что и
3. Пусть
(например
);
Очевидно, что и
4. Пусть
Очевидно, что и
5. Пусть
Итак:
График функции распределения
Пример 2
Скачать пример 2 в формате pdf
Случайная
величина
задана функцией распределения:
Найти
вероятность того, что в результате испытания
примет значение:
а) меньше 0,2;
б) меньше трех;
в) не меньше трех;
г) не меньше пяти.
Решение
а) Так
как при
функция
, то
то есть
при
б)
в)
События
и
противоположны, поэтому
Отсюда:
г) сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому
Отсюда, в
силу того что при
функция
, получим:
Пример 3
Скачать пример 3 в формате pdf
Задана непрерывная случайная величина X своей плотностью распределения вероятностей f(x). Требуется:
1) определить коэффициент A;
2) найти функцию распределения F(x);
3) схематично построить графики функций f(x) и F(x);
4) вычислить математическое ожидание и дисперсию X;
5) определить вероятность того, что X примет значение из интервала (a,b).
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
1)
Постоянный параметр
найдем из
свойства плотности вероятности:
В нашем случае эта формула имеет вид:
Получаем:
2)
Функцию распределения
найдем из
формулы:
Учитывая
свойства
, сразу можем отметить,
что:
и
Остается
найти выражение для
, когда х принадлежит интервалу
:
Получаем:
3) Построим графики функций:
График плотности распределения
График функции распределения
4) Вычислим математическое ожидание:
В нашем случае:
Вычислим дисперсию:
Искомая дисперсия:
5) Вероятность того, что
примет значение из интервала
:
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Закон распределения случайной величины X задан таблицей.
|
-2 | 0 | 0.5 |
|
0.1 | 0.3 | 0.6 |
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и значение функции распределения в заданной точке.
F(1)=
M[X]=
D[X]=
Задача 2
Случайная величины X задана функцией распределения
Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Построить графики дифференциальной и интегральной функций. Найти вероятность попадания случайной величины X в интервалы (1,2; 1,8), (1,8; 2,3)
Задача 3
Дискретная случайная величина X задана рядом распределения. Найти:
1) функцию распределения F(x) и ее график;
2) математическое ожидание M(X);
3) дисперсию D(X).
|
-5 | 5 | 25 | 45 | 65 |
|
0.2 | 0.15 | 0.3 | 0.25 | 0.1 |
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Задача 4
В задаче дискретная случайная величина задана рядом распределения.
|
-2 | 0 | 2 |
|
|
0.1 | 0.5 |
Найти
; M(X), D(X), P(0≤X≤2); F(x).
Начертить график F(x)
Задача 5
В задаче непрерывная случайная величина X задана функцией распределения F(x).
Найти a; f(x); M(X); D(X); P(X<0.2)
Начертить графики функций f(x);F(x).
Задача 6
Функция
распределения непрерывной случайной величины X (времени безотказной работы
некоторого устройства) равна
(
). Найти вероятность безотказной
работы устройства за время x больше либо равно T.
Задача 7
Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением:
Найдите:
1) параметр a;
2) плотность вероятностей;
4) P(0<x<1)
Постройте графики интегральной и дифференциальной функции распределения.
Задача 8
Дана интегральная функция распределения. Найти: дифференциальную функцию f(x),M(X),σ(X),D(X).
Задача 9
Дана функция распределения F(х) случайной величины Х.
Найти плотность распределения вероятностей f(x), математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и вероятность попадания X на отрезок [a,b]. Построить графики функций F(x) и f(x).
Задача 10
НСВ X имеет плотность вероятности (закон Коши)
Найти:
а) постоянную C=const;
б) функцию распределения F(x);
в) вероятность попадания в интервал -1<x<1
г) построить графики f(x), F(x).