Непрерывная случайная величина

Краткая теория


Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения  непрерывно дифференцируема. В этом случае  имеет производную, которую обозначим через  – плотность распределения вероятностей.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины  называются функцию  – первую производную от функции распределения :

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина  примет значение, принадлежащее интервалу  равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от  до .

Зная плотность распределения , можно найти функцию распределения  по формуле:

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическое ожидание непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат всей оси , определяется равенством:

где  – плотность распределения случайной величины . Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то:

Все свойства математического ожидания, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Дисперсия непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат всей оси , определяется равенством:

или равносильным равенством:

В частности, если все возможные значения  принадлежат интервалу , то

или

 

Все свойства дисперсии, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных случайных величин.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин.

Основные законы распределения непрерывных случайных величин

Примеры решения задач


Пример 1

Дана функция распределения F(х) непрерывной случайной величины  Х.

Найти плотность распределения вероятностей f(x), математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и вероятность попадания X на отрезок [a,b]. Построить графики функций F(x) и f(x).

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Плотность распределения вероятностей:

Математическое ожидание:

Дисперсию можно найти по формуле:

Вероятность попадания на отрезок:

Построим графики функций F(x) и f(x).

График плотности распределения

График функции распределения


Пример 2

Случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определить константу c, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины X, а также вероятность ее попадания в интервал [0;0,25].

Решение

Константу  определим, используя свойство плотности вероятности:

В нашем случае:

Найдем математическое ожидание:

Найдем дисперсию:

Искомая дисперсия:

 

Найдем функцию распределения:

для :

для :

для :

 

Искомая функция распределения: 

Вероятность попадания в интервал :

 


Пример 3

Плотность распределения непрерывной случайной величины  имеет вид:

Найти:

а) параметр ;

б) функцию распределения ;

в) вероятность попадания случайной величины  в интервал

г) математическое ожидание  и дисперсию

д) построить графики функций  и

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

а) Постоянный параметр  найдем из свойства плотности вероятности:

В нашем случае эта формула имеет вид:

 

б) Функцию распределения  найдем из формулы:

Учитывая свойства ,  сразу можем отметить, что:

Остается найти выражение для , когда  принадлежит интервалу :

Получаем:  

 

в) Вероятность попадания случайной величины  в интервал :

 

г) Математическое ожидание находим по формуле:

Для нашего примера:

Дисперсию можно найти по формуле:

 

Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

д) Построим графики  и :

График плотности вероятности f(x)

 

График функции распределения F(x)

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

НСВ на всей числовой оси oX задана интегральной функцией:

Найти вероятность, что в результате 2 испытаний случайная величина примет значение, заключенное в интервале (0;4).


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 2

Дана дифференциальная функция непрерывной СВ Х. Найти: постоянную С, интегральную функцию F(x).


Задача 3

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):

а) Найти плотность вероятности СВ Х - f(x).

б) Построить графики f(x), F(x).

в) Найти вероятность попадания НСВ в интервал (0; 3).


Задача 4

Дифференциальная функция НСВ Х задана на всей числовой оси ОХ:

Найти:

а) постоянный параметр С=const;

б) функцию распределения F(x);

в) вероятность попадания в интервал -4<X<4;

г) построить графики f(x), F(X).


Задача 5

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):

а) Найти плотность вероятности СВ Х - f(x).

б) Построить графики f(x), F(x).

в) Найти вероятность попадания НСВ в интервал (0;π⁄2).


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 6

НСВ X имеет плотность вероятности (закон Коши)

а) постоянный параметр С=const;

б) функцию распределения F(x);

в) вероятность попадания в интервал -1<X<1;

г) построить графики f(x), F(X).


Задача 7

Случайная величина X задана интегральной F(x) или дифференциальной f(x) функцией. Требуется:

а) найти параметр C;

б) при заданной интегральной функции F(x) найти дифференциальную функцию f(x), а при заданной дифференциальной функции f(x) найти интегральную функцию F(x);

в) построить графики функций F(x) и f(x);

г) найти математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(X);

д) вычислить вероятность попадания в интервал P(a≤x≤b);

е) определить, квантилем какого порядка является точка xp;

ж) вычислить квантиль порядка p


Задание 8

Дана интегральная функция распределения случайной величины X. Найти дифференциальную функцию распределения, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение.


Задача 9

Случайная величина X задана интегральной функцией распределения

Найти дифференциальную функцию, математическое ожидание и дисперсию X.


Задача 10

СВ Х задана функцией распределения F(x). Найдите вероятность того, что в результате испытаний НСВ Х попадет в заданный интервал (0;0,5). Постройте график функции распределения. Найдите плотность вероятности НСВ Х и постройте ее график. Найдите числовые характеристики НСВ Х, если