Помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp или Viber. Заполнение формы с личными данными и регистрация на сайте не нужны.
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов).
Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.

Непрерывная случайная величина

Краткая теория

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения  непрерывно дифференцируема. В этом случае  имеет производную, которую обозначим через  – плотность распределения вероятностей.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины  называются функцию  – первую производную от функции распределения :

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина  примет значение, принадлежащее интервалу  равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от  до .

Зная плотность распределения , можно найти функцию распределения  по формуле:

Свойства плотности распределения

Свойство 1.  Плотность распределения – неотрицательная функция:

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от  до  равен единице:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат всей оси , определяется равенством:

где  – плотность распределения случайной величины . Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то:

Все свойства математического ожидания, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Дисперсия непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат всей оси , определяется равенством:

или равносильным равенством:

В частности, если все возможные значения  принадлежат интервалу , то

или

 

Все свойства дисперсии, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных случайных величин.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин.

Основные законы распределения непрерывных случайных величин:

Пример решения задачи

Задача 1

Дана функция распределения F(х) непрерывной случайной величины  Х.

Найти:

  • плотность распределения вероятностей ;
  • математическое ожидание ;
  • дисперсию ;
  • вероятность попадания  на отрезок
  • Построить графики функций  и .

Прочитать подробно, как оставить заявку на платные услуги сайта - решение задач, выполнение контрольных работ, онлайн-помощь на экзаменах/зачетах/самостоятельных, консультации по теории вероятностей и математической статистике. Узнать цены, способы оплаты, сроки решения, посмотреть отзывы.

Решение

Плотность распределения вероятностей:

Математическое ожидание:

 

Дисперсию можно найти по формуле:

 

Вероятность попадания на отрезок:

График плотности вероятностей непрерывной случайной величины

Adobe Systems

 

 

График функции распределения непрерывной случайной величины

Adobe Systems

Задача 2

Случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определить константу , математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины , а также вероятность ее попадания в интервал [0, 0.25].

Решение:

Константу  определим, используя свойство плотности вероятности:

В нашем случае:

Найдем математическое ожидание:

Найдем дисперсию:

Найдем функцию распределения:

для :

для :

для :

Функция распределения: 

Вероятность попадания в интервал :

К оглавлению решебника по теории вероятностей и математической статистике