Дискретная случайная величина и ее закон распределения

Краткая теория


Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайные величины обозначаются прописными буквами , а их возможные значения – соответствующими строчными буквами . Например, если случайная величина  имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: .

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события  образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, то есть сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице:

Если множество возможных значений  бесконечно (счетно), то ряд  сходится и его сумма равна единице.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически. Для этого в прямоугольной системе координат строят точки , а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

Случайная величина ξ имеет распределения вероятностей, представленное таблицей:

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0,2 0,15 0,1 0,3

Найти P2 функцию распределения F(x). Построить многоугольник распределения и график F(x). Найти M(ξ),D(ξ),σ(ξ) случайной величины ξ.

 

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Запишем функцию распределения

 

Многоугольник распределения

 

График функции распределения

 

Математическое ожидание:

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение:


Пример 2

На предприятии 1000 единиц оборудования определенного вида. Вероятность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,001. Составить закон распределения числа отказов оборудования в течение часа.

Решение

Случайная величина  – число отказов оборудования, может принимать значения

Воспользуемся законом Пуассона:

где

Найдем эти вероятности:

Найдем вероятность того, что откажет более 5 единиц оборудования:

Искомый закон распределения числа отказов оборудования в течение часа:

0 1 2 3 4 5 более 5
0.3679 0.3679 0.184 0.0613 0.0153 0.031 0.0005

Пример 3

Преподаватель задает 6 вопросов. Он прекращает задавать вопросы студенту, как только студент отвечает неверно. Вероятность того, что студент ответит на вопрос неверно, равна 0,3. Составить закон распределения дискретной случайной величины X, число вопросов которые задаст преподаватель. Найти математическое ожидание и стандартное отклонение.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

СВ  может принимать значения 1,2,3,4,5,6

Проверка:

Искомый закон распределения:

1 2 3 4 5 6
0.3 0.21 0.147 0.1029 0.072 0.1681

 

Математическое ожидание:

Дисперсию найдем по формуле:

Среднее квадратическое отклонение:

 

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

В партии из 25 кожаных курток 5 имеют скрытый дефект. Покупают 3 куртки. Найти закон распределения числа дефектных курток среди купленных. Построить многоугольник распределения.


Задача 2

Устройство состоит из пяти независимых элементов. Вероятность безотказной работы каждого элемента в одном опыте равна p=0,7. Для случайной величины X элементов, безотказно работавших в одном опыте, построить закон распределения, их графики, найти ее числовые характеристики.


Задача 3

С вероятностью попадания при явном выстреле p=0.88 охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более n=6 выстрелов.

ДСВ X - число промахов:

а) Найти закон распределения X.

б) Построить многоугольник распределения.

в) Найти вероятность событий: X<2, X<3, 1<X<3.


Задача 4

Составьте закон распределения дискретной случайной величины ξ, вычислите ее математическое ожидание, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты асимметрии и эксцесса, все моменты, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распределения. Сделайте выводы по результатам расчетов.

Производятся последовательные испытания 5 приборов, причем испытания прекращаются сразу после того, как проверяемый прибор окажется надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,8.  ξ – число испытаний, после которых закончится проверка.


Задача 5

В первой урне 6 шаров – 3 белых и 3 черных. Во второй 5 шаров –3 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили во вторую 2 шара, после чего, из второй в первую переложили 1 шар. Найти закон распределения случайной величины Х – числа белых шаров в первой урне, после всех перекладываний шаров. Какова вероятность того, что число белых шаров не больше, чем первоначально. Построить многоугольник распределения.


Задача 6

В коробке N=9 карандашей, из которых M=6 красных. Из этой коробки наудачу извлекается n=5 карандашей.

а) Найти закон распределения случайной величины X равной числу красных карандашей в выборке.

б) Построить многоугольник распределения.

в) Найти вероятность события: 0<X<4.


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 7

Производятся последовательные испытания 5 приборов, причем испытания прекращаются сразу после того, как проверяемый прибор оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,8. X – число испытаний, после которых закончится проверка. Составьте закон распределения случайной величины X, вычислите ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распределения.


Задача 8

Проведено n=5 независимых опытов. Вероятность взрыва в каждом опыте равна p=2/7. Составить закон распределения числа взрывов, вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение и построить многоугольник распределения.


Задача 9

Найти закон распределения указанной дискретной СВ X и ее функции. распределения F(x). Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение σ(Х). Построить график функции распределения F(x).

 Вероятность отказа прибора за время испытания на надежность равна 0,2; СВ Х - число приборов, отказавших в работе, среди 5 испытываемых.


Задача 10

В интернет-магазине приобретается смартфон. Курьер приносит на дом покупателю 5 одинаковых смартфонов, среди которых три (заранее неизвестно какие) бракованные. Покупатель проверяет один за другим, пока не найдет хороший прибор, но делает не более трех попыток.

Составить закон распределения случайной величины – числа произведенных попыток.

Найти ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Построить функцию распределения.


Задача 11

В команде 9 спортсменов, из них 4 - первого разряда и 5 - второго. Наудачу отобраны 3 спортсмена. Найти ряд распределения дискретной случайной величины Х - числа спортсменов второго разряда среди отобранных.


Задача 12

 К контролеру с конвейера поступили 4 детали. Вероятность брака для каждой детали равна 0,1. Детали проверяют одну за другой, пока не наберут 2 доброкачественные.  Найти закон распределения вероятностей для числа проверенных деталей.


Задача 13

Двое рабочих, выпускающих однотипную продукцию, допускают производство изделий второго сорта с вероятностями соответственно равными 0,4 и 0,3. У каждого рабочего взято по 2 изделия.  Для случайной величины Х - числа изделий второго сорта среди отобранных для проверки четырех найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию.


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 14

На викторине задаются 3 вопроса. Вероятность правильно ответить на первый – p, на второй – r, на третий – s. После неправильного ответа игрок выбывает из игры. Найти распределение числа правильных ответов. Вычислить математическое ожидание. Решить задачу, если:

а) p=0.7; r=0.6; s=0.3;

б) p=0.8; r=0.4; s=0.1.


Задача 15

На некоторой остановке автобус останавливается только по требованию. Вероятность остановки равна 0,2. За смену автобус проходит мимо этой остановки 5 раз. Составить закон распределения числа остановки за смену, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

 


Задача 16

Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса допущена ошибка, равна 0,3. Аудитору на заключение представлено 3 баланса предприятия. Составить закон распределения числа положительных заключений на проверяемые балансы.


Задача 17

Два товароведа проверяют партию изделий. Производительность их труда соотносится как 5:4. Вероятность определения брака первым товароведом составляет 85%, вторым – 90%. Из проверенных изделий отбирают четыре. Найти а) математическое ожидание и б) дисперсию числа годных изделий среди отобранных.


Задача 18

Два станка выпускают детали с вероятностями брака 0,01 и 0,05 соответственно. В выборке одна деталь выпущена первым станком и две – вторым.  Найти распределение числа бракованных деталей в выборке.


Задача 19

Монета подбрасывается до тех пор, пока герб не выпадет 2 раза, но при этом делается не более 4 бросаний. Найти распределение числа подбрасываний.


Задача 20

Вероятность сдачи данного экзамена для каждого из n=5 студентов равна p=0.6. Случайная величина X (СВ X) - число студентов, сдавших экзамен. Найти закон распределения указанной дискретной СВ X и ее функцию распределения F(x). Вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(x). Построить график функции распределения F(x).