Геометрическое распределение дискретной случайной величины
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
- Решение контрольных работ по теории вероятностей на заказ
Краткая теория
Дискретная случайная величина
имеет геометрическое распределение с
параметром
,
если она принимает значения
(бесконечное, но счетное множество значений) с
вероятностями:
где
Ряд геометрического распределения случайной величины имеет вид:
|
1 | 2 | 3 | … |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
Случайная величина
,
имеющая геометрическое распределение, представляет собой число
испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с
вероятностью
наступления события в каждом испытании до
первого положительного исхода.
Вероятности
образуют собой геометрическую прогрессию с
первым членом
и знаменателем
.
Определение геометрического распределения корректно, так как сумма ряда:
Так как
есть сумма геометрического ряда
при
.
Математическое ожидание случайной величины X, имеющей геометрическое распределение с параметром
:
Дисперсия случайной величины X, имеющей геометрическое распределение:
Для геометрического распределения асимметрия и эксцесс:
Другие законы распределения дискретных случайных величин:
Смежные темы решебника:
Примеры решения задач
Пример 1
Скачать пример 1 в формате pdf
Производится ряд попыток завести двигатель, каждая попытка длительностью
10 с заканчивается запуском двигателя независимо от других с вероятностью
. Найти
распределение количества попыток запуска двигателя. Вычислите математическое
ожидание и дисперсию случайной величины.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Вероятность завести двигатель с 1-й попытки:
Вероятность завести двигатель со 2-й попытки:
Вероятность завести двигатель с 3-й попытки:
……
Вероятность завести двигатель с m-й попытки:
Получаем следующий ряд распределения количества попыток запуска двигателя:
|
1 | 2 | 3 | … |
|
… |
|
0,7 | 0,21 | 0,063 | … |
|
… |
Общее число попыток запуска двигателя подчинено закону геометрического распределения.
В нашем случае
Математическое ожидание в этом случае:
Дисперсия:
Пример 2
Скачать пример 2 в формате pdf
Дискретная случайная величина X распределена по геометрическому закону с показателем p=0,6. Найти M(X2).
Решение
Математическое ожидание:
Дисперсия:
С другой стороны, дисперсию можно найти по формуле:
Ответ:
Пример 3
Скачать пример 3 в формате pdf
Случайные величины X,Y распределены по геометрическому закону. Найдите дисперсию D(X-Y), если их математические ожидания равны 5, а коэффициент корреляции X и Y равен 0,3.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Искомую дисперсию можно найти по формуле:
Так как величины распределены по геометрическому закону, то математическое ожидание:
Дисперсия случайной величины
:
Аналогично дисперсия случайной величины
:
Искомая дисперсия:
Ответ:
Пример 4
Скачать пример 4 в формате pdf
На плоскости начерчены два квадрата, стороны которых 20 и 60 соответственно. Меньший квадрат содержится внутри большого квадрата. В большой квадрат случайным образом бросают точки до тех пор, пока не попадут в маленький квадрат. Пусть случайная величина X - число бросаний. Найдите математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).
Решение
Вероятность попасть в маленький квадрат:
Вероятность попасть с 1-й попытки:
Вероятность попасть со 2-й попытки:
Вероятность попасть с 3-й попытки:
……
Вероятность попасть с m-й попытки:
Общее число попыток подчинено закону геометрического распределения.
В нашем случае
Математическое ожидание в этом случае:
Дисперсия:
Ответ:
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Случайная величина ξ распределена по геометрическому закону с параметром p=0.3. Найти:
а) M(6ξ+4);
б) D(4-3ξ);
в) P(|ξ-Mξ|<σ(ξ)).
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Задача 2
Производится
ряд независимых опытов, в каждом из которых может появится некоторое событие
. Вероятность появления
события
в каждом опыте равна 0,32. Опыты производятся
до первого появления события
, после чего они прекращаются.
Случайная
величина
– число произведенных опытов.
Составить закон распределения случайной величины X, найти математическое ожидание М(X) и дисперсию D(X), найти функцию распределения F(X) и построить ее график.
Задача 3
Два орудия залпом, но при независимой наводке, стреляют в цель до первого попадания хотя бы одним орудием. Вероятность попадания в цель первым орудием при одном выстреле равна 0,2, а вторым – 0,3.
Найти
закон распределения числа X сделанных залпов, вероятность
P(X>2)
математическое ожидание M(X) числа сделанных
залпов.
Задача 4
Охотник-любитель стреляет из ружья по неподвижной мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле является величиной постоянной и равной 0,65. Стрельба по мишени ведется до первого попадания.
Определить математическое ожидание и дисперсию числа израсходованных охотником патронов.
Задача 5
Случайная величина X имеет геометрическое распределение с параметром p=0.2. Построить ряд распределения случайной величины X. Построить многоугольник распределения. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение величины X.
Задача 6
Для поиска корабля, терпящего бедствие, совершает полеты самолет. Вероятность обнаружения корабля в одном полете равна 0,4. Найти закон распределения случайной величины X – числа поисковых полетов. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение величины X. Определить вероятность того, что корабль будет обнаружен с третьей попытки.
Задача 7
Производятся многократные испытания некоторого элемента на надежность до тех пор, пока элемент не откажет. Вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,1. Найти:
а) математическое ожидание дискретной случайной величины X – числа опытов, которые надо произвести;
б) Дисперсию D(X).
Задача 8
Вероятность выигрыша в лотерее равна 0,1. Некто решил покупать по одному билету из каждого тиража, пока не выиграет. Найти среднее число приобретенных билетов.