Геометрическое распределение дискретной случайной величины

Краткая теория

Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром , если она принимает значения (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями:

где

Ряд геометрического распределения случайной величины имеет вид:

	1	2	3	…		…
				…		…

Случайная величина , имеющая геометрическое распределение, представляет собой число испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

Вероятности образуют собой геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем .

Определение геометрического распределения корректно, так как сумма ряда:

Так как

есть сумма геометрического ряда

при .

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей геометрическое распределение с параметром :

Дисперсия случайной величины X, имеющей геометрическое распределение:

Для геометрического распределения асимметрия и эксцесс:

Другие законы распределения дискретных случайных величин:

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач

Пример 1

Скачать пример 1 в формате pdf

Производится ряд попыток завести двигатель, каждая попытка длительностью 10 с заканчивается запуском двигателя независимо от других с вероятностью . Найти распределение количества попыток запуска двигателя. Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Решение

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Вероятность завести двигатель с 1-й попытки:

Вероятность завести двигатель со 2-й попытки:

Вероятность завести двигатель с 3-й попытки:

……

Вероятность завести двигатель с m-й попытки:

Получаем следующий ряд распределения количества попыток запуска двигателя:

	1	2	3	…		…
	0,7	0,21	0,063	…		…

Общее число попыток запуска двигателя подчинено закону геометрического распределения.

В нашем случае

Математическое ожидание в этом случае:

Дисперсия:

Пример 2

Скачать пример 2 в формате pdf

Дискретная случайная величина X распределена по геометрическому закону с показателем p=0,6. Найти M(X²).

Решение

Математическое ожидание:

Дисперсия:

С другой стороны, дисперсию можно найти по формуле:

Ответ:

Пример 3

Скачать пример 3 в формате pdf

Случайные величины X,Y распределены по геометрическому закону. Найдите дисперсию D(X-Y), если их математические ожидания равны 5, а коэффициент корреляции X и Y равен 0,3.

Решение

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Искомую дисперсию можно найти по формуле:

Так как величины распределены по геометрическому закону, то математическое ожидание:

Дисперсия случайной величины :

Аналогично дисперсия случайной величины :

Искомая дисперсия:

Ответ:

Пример 4

Скачать пример 4 в формате pdf

На плоскости начерчены два квадрата, стороны которых 20 и 60 соответственно. Меньший квадрат содержится внутри большого квадрата. В большой квадрат случайным образом бросают точки до тех пор, пока не попадут в маленький квадрат. Пусть случайная величина X - число бросаний. Найдите математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Решение

Вероятность попасть в маленький квадрат:

Вероятность попасть с 1-й попытки:

Вероятность попасть со 2-й попытки:

Вероятность попасть с 3-й попытки:

……

Вероятность попасть с m-й попытки:

Общее число попыток подчинено закону геометрического распределения.

В нашем случае

Математическое ожидание в этом случае:

Дисперсия:

Ответ:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Случайная величина ξ распределена по геометрическому закону с параметром p=0.3. Найти:

а) M(6ξ+4);

б) D(4-3ξ);

в) P(|ξ-Mξ|<σ(ξ)).

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Задача 2

Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых может появится некоторое событие . Вероятность появления события в каждом опыте равна 0,32. Опыты производятся до первого появления события , после чего они прекращаются.

Случайная величина – число произведенных опытов.

Составить закон распределения случайной величины X, найти математическое ожидание М(X) и дисперсию D(X), найти функцию распределения F(X) и построить ее график.

Задача 3

Два орудия залпом, но при независимой наводке, стреляют в цель до первого попадания хотя бы одним орудием. Вероятность попадания в цель первым орудием при одном выстреле равна 0,2, а вторым – 0,3.

Найти закон распределения числа X сделанных залпов, вероятность P(X>2) математическое ожидание M(X) числа сделанных залпов.

Задача 4

Охотник-любитель стреляет из ружья по неподвижной мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле является величиной постоянной и равной 0,65. Стрельба по мишени ведется до первого попадания.

Определить математическое ожидание и дисперсию числа израсходованных охотником патронов.

Задача 5

Случайная величина X имеет геометрическое распределение с параметром p=0.2. Построить ряд распределения случайной величины X. Построить многоугольник распределения. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение величины X.

Задача 6

Для поиска корабля, терпящего бедствие, совершает полеты самолет. Вероятность обнаружения корабля в одном полете равна 0,4. Найти закон распределения случайной величины X – числа поисковых полетов. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение величины X. Определить вероятность того, что корабль будет обнаружен с третьей попытки.

Задача 7

Производятся многократные испытания некоторого элемента на надежность до тех пор, пока элемент не откажет. Вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,1. Найти:

а) математическое ожидание дискретной случайной величины X – числа опытов, которые надо произвести;

б) Дисперсию D(X).

Задача 8

Вероятность выигрыша в лотерее равна 0,1. Некто решил покупать по одному билету из каждого тиража, пока не выиграет. Найти среднее число приобретенных билетов.