Дискретная случайная величина
имеет геометрическое распределение с
параметром
,
если она принимает значения
(бесконечное, но счетное множество значений) с
вероятностями:

где

Ряд геометрического распределения случайной величины имеет вид:
Случайная величина
,
имеющая геометрическое распределение, представляет собой число
испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с
вероятностью
наступления события в каждом испытании до
первого положительного исхода.
Геометрическое распределение дискретной случайной величины не следует путать с
геометрическим определением вероятности.
Вероятности
образуют собой геометрическую прогрессию с
первым членом
и знаменателем
.
Определение геометрического распределения корректно, так как сумма
ряда:
Так как

есть сумма геометрического ряда

при
.
Математическое ожидание случайной величины
,
имеющей геометрическое распределение с параметром
:

Дисперсия случайной величины
,
имеющей геометрическое распределение:

Для геометрического распределения
асимметрия и эксцесс:


Основные законы распределения дискретных случайных величин, кроме геометрического:
Условие задачи
Производится ряд попыток завести двигатель, каждая попытка длительностью
10 с заканчивается запуском двигателя независимо от других с вероятностью
. Найти
распределение количества попыток запуска двигателя. Вычислите математическое
ожидание и дисперсию случайной величины.
Решение
Вероятность завести двигатель с 1-й попытки:

Вероятность завести двигатель со 2-й попытки:

Вероятность завести двигатель с 3-й попытки:

……
Вероятность завести двигатель с m-й попытки:

Получаем следующий ряд распределения количества попыток запуска
двигателя:
|
1
|
2
|
3
|
…
|
|
…
|
|
0,7
|
0,21
|
0,063
|
…
|
|
…
|
Общее число попыток запуска двигателя подчинено закону геометрического
распределения.

В нашем случае

Математическое ожидание в этом случае:

Дисперсия:

К оглавлению решебника по теории вероятностей и математической статистике 〉