Геометрическое распределение дискретной случайной величины

Краткая теория


Дискретная случайная величина   имеет геометрическое распределение с параметром , если она принимает значения  (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями:

где

Ряд геометрического распределения случайной величины имеет вид:

1 2 3

Случайная величина , имеющая геометрическое распределение, представляет собой число   испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью  наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

Вероятности  образуют собой геометрическую прогрессию с первым членом  и знаменателем .

Определение геометрического распределения корректно, так как сумма ряда:

 Так как

есть сумма геометрического ряда

при .

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей геометрическое распределение с параметром :

Дисперсия случайной величины X, имеющей геометрическое распределение:

Для геометрического распределения асимметрия и эксцесс:

Другие законы распределения дискретных случайных величин:

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

Производится ряд попыток завести двигатель, каждая попытка длительностью 10 с заканчивается запуском двигателя независимо от других с вероятностью . Найти распределение количества попыток запуска двигателя. Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Вероятность завести двигатель с 1-й попытки:

Вероятность завести двигатель со 2-й попытки:

Вероятность завести двигатель с 3-й попытки:

……

Вероятность завести двигатель с m-й попытки:

Получаем следующий ряд распределения количества попыток запуска двигателя:

1 2 3
0,7 0,21 0,063

 

Общее число попыток запуска двигателя подчинено закону геометрического распределения.

В нашем случае

 

Математическое ожидание в этом случае:

Дисперсия:


Пример 2

Дискретная случайная величина X распределена по геометрическому закону с показателем p=0,6. Найти M(X2).

Решение

Математическое ожидание:

Дисперсия:

 

С другой стороны, дисперсию можно найти по формуле:

 

Ответ:  


Пример 3

Случайные величины X,Y распределены по геометрическому закону. Найдите дисперсию D(X-Y), если их математические ожидания равны 5, а коэффициент корреляции X и Y равен 0,3.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Искомую дисперсию можно найти по формуле:

Так как величины распределены по геометрическому закону, то математическое ожидание:

Дисперсия случайной величины :

Аналогично дисперсия случайной величины :

Искомая дисперсия:

Ответ:


Пример 4

На плоскости начерчены два квадрата, стороны которых 20 и 60 соответственно. Меньший квадрат содержится внутри большого квадрата. В большой квадрат случайным образом бросают точки до тех пор, пока не попадут в маленький квадрат. Пусть случайная величина X - число бросаний. Найдите математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Решение

Вероятность попасть в маленький квадрат:

Вероятность попасть с 1-й попытки:

Вероятность попасть со 2-й попытки:

Вероятность попасть с 3-й попытки:

……

Вероятность попасть с m-й попытки:

Общее число попыток подчинено закону геометрического распределения.

В нашем случае

 

Математическое ожидание в этом случае:

Дисперсия:

Ответ:

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Случайная величина ξ распределена по геометрическому закону с параметром p=0.3. Найти:

а) M(6ξ+4);

б) D(4-3ξ);

в) P(|ξ-Mξ|<σ(ξ)).

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.


Задача 2

Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых может появится некоторое событие . Вероятность появления события  в каждом опыте равна 0,32. Опыты производятся до первого появления события , после чего они прекращаются.

Случайная величина  – число произведенных опытов.

Составить закон распределения случайной величины X, найти математическое ожидание М(X) и дисперсию D(X), найти функцию распределения F(X) и построить ее график.


Задача 3

Два орудия залпом, но при независимой наводке, стреляют в цель до первого попадания хотя бы одним орудием. Вероятность попадания в цель первым орудием при одном выстреле равна 0,2, а вторым – 0,3.

Найти закон распределения числа X сделанных залпов, вероятность P(X>2)  математическое ожидание M(X) числа сделанных залпов.


Задача 4

Охотник-любитель стреляет из ружья по неподвижной мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле является величиной постоянной и равной 0,65. Стрельба по мишени ведется до первого попадания.

Определить математическое ожидание и дисперсию числа израсходованных охотником патронов.


Задача 5

Случайная величина X имеет геометрическое распределение с параметром p=0.2. Построить ряд распределения случайной величины X. Построить многоугольник распределения. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение величины X.


Задача 6

Для поиска корабля, терпящего бедствие, совершает полеты самолет. Вероятность обнаружения корабля в одном полете равна 0,4. Найти закон распределения случайной величины X – числа поисковых полетов. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение величины X. Определить вероятность того, что корабль будет обнаружен с третьей попытки.


Задача 7

Производятся многократные испытания некоторого элемента на надежность до тех пор, пока элемент не откажет. Вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,1. Найти:

а) математическое ожидание дискретной случайной величины X – числа опытов, которые надо произвести;

б) Дисперсию D(X).


Задача 8

Вероятность выигрыша в лотерее равна 0,1. Некто решил покупать по одному билету из каждого тиража, пока не выиграет. Найти среднее число приобретенных билетов.