Геометрическое распределение дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина  имеет геометрическое распределение с параметром , если она принимает значения  (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями:

где

Ряд геометрического распределения случайной величины имеет вид:

Случайная величина , имеющая геометрическое распределение, представляет собой число   испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью  наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

Геометрическое распределение дискретной случайной величины не следует путать с геометрическим определением вероятности.

Вероятности  образуют собой геометрическую прогрессию с первым членом  и знаменателем .

Определение геометрического распределения корректно, так как сумма ряда:

 Так как

есть сумма геометрического ряда

при .

Математическое ожидание случайной величины , имеющей геометрическое распределение с параметром :

Дисперсия случайной величины , имеющей геометрическое распределение:

Для геометрического распределения асимметрия и эксцесс:

Основные законы распределения дискретных случайных величин, кроме геометрического:

• Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины
• Гипергеометрический закон распределения дискретной случайной величины
• Закон распределения Пуассона

Условие задачи

Производится ряд попыток завести двигатель, каждая попытка длительностью 10 с заканчивается запуском двигателя независимо от других с вероятностью . Найти распределение количества попыток запуска двигателя. Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Решение

Вероятность завести двигатель с 1-й попытки:

Вероятность завести двигатель со 2-й попытки:

Вероятность завести двигатель с 3-й попытки:

……

Вероятность завести двигатель с m-й попытки:

Получаем следующий ряд распределения количества попыток запуска двигателя:

 

Общее число попыток запуска двигателя подчинено закону геометрического распределения.

В нашем случае

 

Математическое ожидание в этом случае:

Дисперсия:

К оглавлению решебника по теории вероятностей и математической статистике ⟩