Закон распределения Пуассона

Краткая теория


Дискретная случайная величина  имеет закон распределения Пуассона с параметром , если она принимает значения 0,1,2,...,k,… (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

0 1 2

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого закона, т.е.

По закону Пуассона распределены, например, число рождений тройни, число сбоев на автоматической линии, число отказов сложной системы в нормальном режиме, число требований на обслуживания, поступивших в единицу времени в системах массового обслуживания и тому подобное.

Если СВ представляет собой сумму двух независимых СВ, распределенных каждая по закону Пуассона, то она также распределена по закону Пуассона.

Распределение Пуассона также называют законом «редких» событий, так как оно всегда проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит «редкое» событие.

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

На предприятии 1000 единиц оборудования определенного вида. Вероятность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,001. Составить закон распределения числа отказов оборудования в течение часа. Найти числовые характеристики.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Случайная величина  – число отказов оборудования, может принимать значения

Воспользуемся законом Пуассона:

где

Найдем эти вероятности:

Найдем вероятность того, что откажет более 5 единиц оборудования:

Искомый закон распределения числа отказов оборудования в течение часа:

0 1 2 3 4 5 более 5
0.3679 0.3679 0.184 0.0613 0.0153 0.031 0.0005

Проверка гипотезы о распределении выборки по закону Пуассона.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона равна параметру  этого распределения:

Среднее квадратическое отклонение:


Пример 2

Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,001 Найти вероятность того, что среди 350 деталей   окажется ровно 3 бракованных. Определить закон распределения СВ X и её числовые характеристики.

Решение

Вероятность события, состоящее в том, что деталь окажется бракованной мало, а число  велико. Поэтому воспользуемся распределением Пуассона:

Искомая вероятность:

Закон распределения СВ :

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:


Пример 3

Найти среднее число бракованных изделий в партии изделий, если вероятность того, что в этой партии содержится хотя бы одно бракованное изделие, равна 0,92. Предполагается, что число бракованных изделий в рассматриваемой партии распределено по закону Пуассона.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Распределение Пуассона:

Среднее число бракованных изделий:

Пусть событие  –в партии содержится хотя бы одно бракованное изделие

Тогда противоположное событие  – в партии нет ни одного бракованного изделия

Решая уравнение, получаем:

Ответ:


Пример 4

Случайная величина ξ распределена по закону Пуассона с параметром λ=0,2. Найти:

а) ;

б) ;

в)

Решение

Закон Пуассона:

Для закона Пуассона математическое ожидание:

Дисперсия:

а)

 

б)

 

в)

 

Ответ: а) ;  б) ; в) .


Пример 5

Случайные величины  распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным 6. Найдите математическое ожидание

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Поскольку случайные величины распределены по закону Пуассона и известны их математические ожидания, соответствующие дисперсии равны:

 

 

Искомая величина:

Ответ: 504

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Для пуассоновой случайной величины X имеем

Найдите M(X)


Задача 2

Случайные величины X,Y распределены по закону Пуассона. Найдите , если M(X)=40 и M(Y)=70, а коэффициент корреляции X и Y равен 0,8.


Задача 3

В некоторой системе 810 приборов. Вероятность отказа каждого прибора в течение заданного промежутка времени 0.001. Найти вероятность отказа не менее 3 приборов за данный промежуток времени. Найти характеристики данного распределения случайной величины.


Задача 4

В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, взятых наудачу из этой партии, ровно три окажутся дефектными.


Задача 5

Радиостанция ведет передачу информации в течение 10 мкс. Работа ее происходит при наличии хаотической импульсной помехи, среднее число импульсов которой в секунду составляет . Для срыва передачи достаточно попадания одного импульса помехи в период работы станции. Считая, что число импульсов помехи, попадающих в данный интервал времени, распределено по закону Пуассона, найти вероятность срыва передачи информации.


Задача 6

Среди семян пшеницы 0,6% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить не менее трех семян сорняков?

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.


Задача 7

На телефонную станцию поступает в среднем 5 заявок на переговоры в минуту. Поток заявок описывается распределением Пуассона. Рассчитать вероятность того, что за минуту на станцию придут ровно две заявки.


Задача 8

Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель ровно 100 раз, если было произведено 2000 выстрелов.


Задача 9

Вероятность изготовления нестандартной детали p=0.003. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 4 нестандартных.


Задача 10

Вероятность сбоя в работе банкомата при каждом запросе равна 0,0016. Банкомат обслуживает 2000 клиентов в неделю. Определить вероятность того, что при этом число сбоев не превзойдет 3.


Задача 11

Прядильщица обслуживает 800 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты 0,003. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на трех веретенах.


Задача 12

Телефонный кабель состоит из 400 жил. С какой вероятностью этим кабелем можно подключить к телефонной сети не менее 395 абонентов, если для подключения каждого из них нужна одна жила, а вероятность того, что она повреждена – 0,0125.


Задача 13

Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0.05. Поступило 100 вызовов. Определить вероятность того, что произойдет не более 3 сбоев.


Задача 14

На базе получено 10000 электроламп. Вероятность того, что в пути лампа разобьется, равна 0,0003. Найдите вероятность того, что среди полученных ламп будет пять ламп разбито.


Задача 15

Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения в пути равна 0.002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено ровно три изделия.