Гипергеометрическое распределение дискретной случайной величины

Краткая теория


Дискретная случайная величина  имеет гипергеометрическое распределение с параметрами , если она принимает значения 0,1,2,…m, …,  с вероятностями:

где ;  – натуральные числа

Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина  – число объектов, обладающих заданным свойством, среди  объектов, случайно извлеченных (без возврата) из совокупности  объектов,  из которых обладают этим свойством.

Математическое ожидание случайной величины , имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами  есть

а ее дисперсия

Случайную величину, распределенную по биномиальному закону , можно интерпретировать как число  объектов, обладающих данным свойством, из общего числа  объектов, случайно извлеченных из некой воображаемой бесконечной совокупности, доля  объектов которой обладает этим свойством. Поэтому гипергеометрическое распределение можно рассматривать как модификацию биномиального распределения для случая конечной совокупности, состоящей из  объектов,  из которых обладают этим свойством.

Можно показать, что при  функция вероятностей гипергеометрического распределения стремится к соответствующей функции биномиального закона.

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

Из  партии в 10 изделий, среди которых 3 бракованных, выбраны случайно 3 изделия. СВ  - число бракованных изделий среди выбранных.

1) Составить закон распределения СВ;

2) Найти математическое ожидание  и дисперсию ;

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Случайная величина  (число бракованных изделий) может принимать значения  0, 1, 2, 3 и распределена по гипергеометрическому закону с параметрами

Найдем вероятности этих значений:

Проверка:

Закон распределения СВ

0 1 2 3
0.2917 0.525 0.175 0.0083

2) Найдем характеристики этого распределения.

Так как случайная величина распределена по гипергеометрическому закону, для вычисления характеристик используем соответствующие формулы.

Математическое ожидание:

Дисперсия:


Пример 2

В коробке имеются 7 карандашей, из которых 4 красные. Из этой коробки наудачу извлекаются 3 карандаша. а) Найдите закон распределения случайной величины X, равной числу красных карандашей в выборке. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятность события 0<x≤2.

Решение

Случайная величина  – число красных карандашей, может приобретать значения 0,1,2,3

Найдем вероятности этих значений:

Проверка:

Закон распределения

0 1 2 3
0.0286 0.3429 0.5143 0.1142

Многоугольник распределения

Вероятность:

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Среди 14 изделий 10 изделий первого сорта. Наудачу выбрали три изделия. Случайная величина X – число первосортных изделий среди выбранных трех изделий.

1. Составить закон распределения случайной величины X.

2. Найти функцию распределения F(x) случайной величины X, построить ее график.

3. Найти характеристики случайной величины X:

а) математическое ожидание M(X);

б) дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение σ(X);

в) моду Mo.

 


Задача 2

В партии имеется 13 новых детали и две бывшие в употреблении. Наудачу отобраны две детали: составить закон распределения случайной величины – числа новых деталей среди отобранных, вычислить числовые характеристики рассматриваемой случайной величины.

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.


Задача 3

В коробке находятся 11 карандашей, из которых 2 – красные. Наудачу извлекают 3 карандаша. Какой закон распределения имеет случайная величина, означающая число извлеченных красных карандашей? Посчитайте ее дисперсию.

 


Задача 4

Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов имеется 2 неисправных. Из партии выбрано 3 аппарата. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа неисправных аппаратов среди отобранных. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число неисправных аппаратов среди отобранных будет не более двух.


Задача 5

В партии из 14 деталей имеется 10 стандартных. Из этой партии наудачу взято 4 детали. Найти закон распределения случайной величины Х, равный числу стандартных деталей в выборке. Построить многоугольник распределения.


Задача 6

В урне 30 шаров: 10 белых и 20 черных шаров. Вынули 5 шаров. Случайная величина X - число вынутых белых шаров. Построить ряд распределения величины X.

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.


Задача 7

Из 29 контрольных работ, среди которых 9 оценены на «отлично» наугад извлекаются 4 работы. Найти закон распределения ДСВ X, если X - число работ оцененных на «отлично» среди извлеченных. Построить многоугольник распределения. Чему равна вероятность событий X>0.


Задача 8

Из партии в 20 изделий, среди которых имеются 4 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения случайного числа X бракованных изделий, содержащихся в выборке.


Задача 9

Из 10 книг, среди которых 6 справочников, наудачу отобраны 3. Составить закон распределения случайной величины X - числа справочников среди отобранных. Найти интегральную функцию F(x) и математическое ожидание M(X)


Задача 10

В коробке 20 конфет, из которых 4 с вареньем. Х – число конфет с вареньем среди двух случайно выбранных. Найти дисперсию случайной величины Х.


Задача 11

В команде 9 спортсменов, из них 4 - первого разряда и 5 - второго. Наудачу отобраны 3 спортсмена. Найти ряд распределения дискретной случайной величины Х - числа спортсменов второго разряда среди отобранных.


Задача 12

В стопке из 6 книг 3 книги по математике и 3 по информатике. Выбирают наудачу три книги.

Составить закон распределения числа книг по математике среди отобранных.

Найти ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить функцию распределения.


Задача 13

Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, случайным образом и без возвращения извлекают 3. Составить функцию распределения случайной величины – числа черных шаров среди извлеченных и найти ее математическое ожидание.


Задача 14

На полке стоит 6 книг, из которых 2 – по математике. Случайным образом берут 2 книги. Составить закон распределения случайной величины X – числа книг по математике. Найти: 1) функцию распределения F(x), 2) математическое ожидание M(X). 3) Дисперсию D(X).  4) среднее квадратическое отклонение σ(X). Построить график функции F(x).


Задача 15

В коробке находятся 6 деталей 1-го сорта и 4 детали 2-го сорта. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X - числа деталей первого сорта среди отобранных.