Гипергеометрическое распределение дискретной случайной величины

Краткая теория

Дискретная случайная величина  имеет гипергеометрическое распределение с параметрами , если она принимает значения 0,1,2,…m, …,  с вероятностями:

где ;  – натуральные числа

Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина  – число объектов, обладающих заданным свойством, среди  объектов, случайно извлеченных (без возврата) из совокупности  объектов,  из которых обладают этим свойством.

Математическое ожидание случайной величины , имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами  есть

а ее дисперсия

Случайную величину, распределенную по биномиальному закону , можно интерпретировать как число  объектов, обладающих данным свойством, из общего числа  объектов, случайно извлеченных из некой воображаемой бесконечной совокупности, доля  объектов которой обладает этим свойством. Поэтому гипергеометрическое распределение можно рассматривать как модификацию биномиального распределения для случая конечной совокупности, состоящей из  объектов,  из которых обладают этим свойством.

Можно показать, что при  функция вероятностей гипергеометрического распределения стремится к соответствующей функции биномиального закона.

Основные законы распределения дискретных случайных величин, кроме гипергеометрического:

Пример решения задачи

Задача

Из  партии в 10 изделий, среди которых 3 бракованных, выбраны случайно 3 изделия. СВ  - число бракованных изделий среди выбранных.

1) Составить закон распределения СВ;

2) Найти математическое ожидание  и дисперсию ;

Решение

Случайная величина  (число бракованных изделий) может принимать значения  0, 1, 2, 3 и распределена по гипергеометрическому закону с параметрами

Найдем вероятности этих значений:

Проверка:

Итак, искомое распределение имеет вид:  

0 1 2 3
0.2917 0.525 0.175 0.0083

2) Найдем характеристики этого распределения.

Так как случайная величина распределена по гипергеометрическому закону, для вычисления характеристик используем соответствующие формулы.

Математическое ожидание:

Дисперсия:

К оглавлению решебника по теории вероятностей и математической статистике