Равномерное случайное распределение

Краткая теория


Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , если на интервале , которому принадлежат все возможные значения , плотность сохраняет постоянное значение.

Функция распределения равномерного закона:

Числовые характеристики равномерного распределения

Математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины:

Дисперсия равномерного случайного распределения:

Среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной равномерно:

Для равномерного распределения коэффициент асимметрии:

Коэффициент эксцесса

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин.

Кроме равномерного, основные законы распределения непрерывных случайных величин:

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

Все значения равномерно распределенной случайной величины X лежат на отрезке [2;8]. Найти вероятность попадания случайной величины X в промежуток (1;5).

Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:

Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси

Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.

Решение

Плотность вероятности равномерного распределения на интервале :

 

Искомая вероятность:

Ответ: .


Пример 2

Случайная величина X равномерно распределена на интервале (2;7). Составить f(x), F(x), построить графики. Найти M(X), D(X).

Решение

Плотность вероятности случайной величины, распределенной равномерно на интервале

В нашем случае

Получаем:

Функцию распределения  найдем из формулы:

Учитывая свойства ,  сразу можем отметить, что:

Остается найти выражение для , когда х принадлежит интервалу :

Получаем:  

Построим графики:

График плотности распределения

 

График функции распределения

 

Математическое ожидание величины, распределенной равномерно:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:


Пример 3

Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с.

Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:

Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси

Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.

Решение

Плотность равномерного распределения:

Вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с:

 

Ответ:


Пример 4

Пассажир метро в случайный момент времени приходит на платформу. Известно, что среднее квадратическое отклонение времени ожидания поезда равно 0,8 мин. Найти интервал времени следования поездов в метро.

Решение

Дисперсия равномерного распределения:

при начале интервала :

Искомый интервал времени:

Ответ:  .

 

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Случайные величины X2, X3, X4 имеют равномерное, показательное и нормальное распределения соответственно. Найти вероятности P(3<Xi<6), если у этих случайных величин математические ожидания и средние квадратические отклонения равны 3.


Задача 2

Постройте интегральную и дифференциальную функции распределения случайной величины X. Найдите M(X), D(X),σ, xmod, xmed, если известно, что случайная величина X имеет равномерное распределение с параметрами a=2 и b=4.


Задача 3

Найти: M(X) НСВ X, распределенной равномерно в интервале (1;9); функцию распределения F(x) и функцию плотности вероятности f(x); вероятность попадания НСВ X в интервал (2;7).

Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:

Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси

Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.


Задача 4

Непрерывная случайная величина X равномерно распределена на сегменте [1; 8.5].

Найти:

1) дифференциальную и интегральную функцию распределения, а также построить их графики.

2) математическое ожидание и дисперсию;

2) вероятность того, что X примет какое-нибудь значение из интервала (1;20).


Задача 5

Интервал движения парома 3 часа. Найти: а) числовые характеристики времени ожидания для случайного пассажира; б) вероятность времени ожидания менее 40 минут.


Задача 6

Равномерно распределенная случайная величина  задана плотностью распределения f(x)=0.125 в интервале (1;9) и f(x)=0 вне его. Найти M(X), D(X), σ(X).


Задача 7

Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [5;11]. Найдите математическое ожидание X, дисперсию X, медиану, P(7<X<15), x0.2.


Задача 8

Случайная величина  равномерно распределена на отрезке [-1;9]. Запишите функцию плотности распределения, изобразите ее график. Найдите вероятность того, что X примет значение в интервале (-3;2). Найдите математическое ожидание X и медиану. Укажите найденные значения на графике f(x).


Задача 9

Вычислить вероятность того, что при 10 испытаниях значение X три раза попадет в интервал [-1;1], если случайная величина X распределена по равномерному закону на интервале [0;4].


Задача 10

Трамваи данного маршрута идут с интервалом в 5 мин. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее чем через 1 мин после ухода предыдущего трамвая, но не позднее чем за 2 мин до отхода следующего трамвая?

 


Задача 11

Найти функцию распределения, плотность, математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной равномерно на отрезке [2,4].


Задача 12

Цена деления шкалы прибора равна 0,4. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка округления, большая 0,05.


Задача 13

СВ X распределена равномерно в промежутке [1∕3,5∕4]. Найти функцию плотности распределения f(x), функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(X). Построить графики функций f(x) и F(x). Найти вероятность того, что x∈[1,5∕4].

Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:

Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси

Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.


Задача 14

Шкала рычажных весов, установленных в лаборатории, имеет цену делений 1 г. При измерении массы химических компонентов смеси отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Какова вероятность, что абсолютная ошибка определения массы будет заключена между значениями σ  и 2σ.


Задача 15

Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию с интервалом 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке будет ждать очередного автобуса меньше трех минут.


Задача 16

Все значения равномерно распределенной случайной величины Х принадлежат отрезку [2,8]. Найти вероятность попадания случайной величины X в отрезок [3,5].


Задача 17

Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [1,6]. Найти дисперсию D(X) и вероятность попадания случайной величины X в интервал (2,4).


Задача 18

По маршруту независимо друг от друга ходит два автобуса: №20 –через 10 и №15 –через 7 минут. Студент приходит на остановку в случайный момент. Какова вероятность того, что ему придется ждать автобус менее трех минут.


Задача 19

Автобусы идут с интервалом 5 минут. Считая, что случайная величина X – время ожидания автобуса на остановке, распределена равномерно на указанном интервале, найти среднее время ожидания и дисперсию времени ожидания.


Задача 20

Шкала секундомера имеет цену деления 0,2 с. Какова вероятность сделать по этому секундомеру отсчет времени с ошибкой менее 0,05 с, если отсчет делается наудачу с округлением в ближайшую сторону, до целого деления?