Показательное распределение

Краткая теория

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , которое описывается плотностью:

где  – постоянная положительная величина.

Показательное распределение определяется одним параметром . Эта особенность распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значения); разумеется,  проще оценить один параметр, чем два или три. Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.

Функция распределения показательного закона:

Графики плотности и функции распределения показательного закона изображены на рисунке.

Вероятность попадания в интервал  непрерывной случайной величины , распределенной по показательному закону:

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону:

Дисперсия случайной величины, распределенной по показательному закону:

Среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по показательному закону:

Коэффициенты асимметрии и эксцесса для показательного распределения:

Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение экспоненциального распределения равны между собой.

Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности. Так, например, интервал времени  между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром  – интенсивностью потока.

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин.

Основные законы распределения непрерывных случайных величин, кроме показательного:

Пример решения задачи

Случайная величина  задана функцией распределения

Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этого распределения.

Найдите вероятность того, что случайная величина примет значение от 0,2 до 1.

Решение:

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону:

Среднее квадратическое отлонение:

Вероятность того, что случайная величина примет значение от 0,2 до 1

 

Ответ:

.

К оглавлению решебника по теории вероятностей и математической статистике ⟩