Показательное распределение

Краткая теория


Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , которое описывается плотностью:

где  – постоянная положительная величина.

Показательное распределение определяется одним параметром . Эта особенность распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значения); разумеется,  проще оценить один параметр, чем два или три. Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.

Функция распределения показательного закона:

Графики плотности и функции распределения показательного закона изображены на рисунке.

Вероятность попадания в интервал  непрерывной случайной величины , распределенной по показательному закону:

Числовые характеристики показательного (экспоненциального) распределения

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону:

Дисперсия случайной величины, распределенной по показательному закону:

Среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по показательному закону:

Коэффициенты асимметрии и эксцесса для показательного распределения:

Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение экспоненциального распределения равны между собой.

Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности. Так, например, интервал времени  между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром  – интенсивностью потока.

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин.

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

Случайная величина  задана функцией распределения

Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этого распределения.

Найдите вероятность того, что случайная величина примет значение от 0,2 до 1.

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Решение

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону:

Среднее квадратическое отлонение:

Вероятность того, что случайная величина примет значение от 0,2 до 1

 

Ответ

.


Пример 2

На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины T – время ожидания очередной машины контролером, если поток машин простейший и время (в часах) между прохождениями машин через контрольный пункт распределено по показательному закону f(t)=5e-5t.

Указание: Время ожидания машины контролером и время прохождения машин через контрольный пункт распределены одинаково.

Решение

В нашем случае параметр показательного распределения

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Ответ:


Пример 3

Постройте интегральную и дифференциальную функции распределения случайной величины X. Найдите математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение σ(X), моду xmod, медиану xmed , если известно, что случайная величина X имеет показательное распределение с параметром λ=1.

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Решение

Плотность распределения случайной величины , распределенной по показательному закону:

 

Функция распределения:

Построим графики дифференциальной и интегральной функций распределения:

График дифференциальной функции распределения

График интегральной функции распределения

Математическое ожидание показательно распределенной случайной величины :

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

 найдем, исходя из условия: 

 


Пример 4

Случайная величина  распределена показательно с дисперсией 0,25. Найти математическое ожидание и вероятность попадания  в интервал (0,5;1).

Решение

Дисперсия случайной величины, распределенной по показательному закону:

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону:

Вероятность попадания в интервал  непрерывной случайной величины , распределенной по показательному закону:

В нашем случае:

Ответ:

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Время безотказной работы двигателя автомобиля распределено по показательному закону. Известно, что среднее время наработки двигателя на отказ между техническим обслуживанием 100 ч. Определить вероятность безотказной работы двигателя за 80 ч.

 

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.


Задача 2

Среднее время работы элемента, входящего в пожарно-техническое устройство, равно 1000 часов. Определить вероятность того, что элемент будет работать от 950 до 1150 часов, если время работы элемента распределено по показательному закону.


Задача 3

Вероятность безотказной работы элемента распределена по экспоненциальному закону

f(t)=e-0.05t

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал (11;35). Найти характеристики данного распределения случайной величины.


Задача 4

Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения

Найти постоянную C, математическое ожидание случайной величины X, вероятность попадания случайной величины в интервал [2;4].


Задача 5

Время между отказами прибора распределено по показательному закону со средним значением 25 часов. Определить математическое ожидание и дисперсию времени безотказной работы автомобиля. Найти вероятность того, что очередной отказ произойдет не позднее 15 часов.


Задача 6

Время безотказной работы телевизора определенной модели описывается показательным (экспоненциальным) законом распределения с постоянной λ. Что вероятнее, его безотказная работа в промежутке времени [x1,x2]  или [x3,x4]? Записать функции f(x),F(x) и построить их графики.

λ=1/10, x1=3, x2=5, x3=4, x4=8

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.


Задача 7

Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени t безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение с параметром 0,02, второго -показательное распределение с параметром 0,06. Найдите вероятность того, что за время длительностью t=6 ч откажет только один элемент.


Задача 8

Среднее время работы каждого из трех элементов, входящих в техническое устройство, равно T=850 часов. Для безотказной работы устройства необходима безотказная работа хотя бы одного из трех этих элементов. Определить вероятность, что устройство будет работать от t1=750 до t2=820 часов, если время работы каждого из трех элементов независимо и распределено по показательному закону.


Задача 9

Время устранения повреждения на канале связи T -случайная величина, распределенная по закону f(t)=λe-λt (t≥0). Среднее время восстановления канала - 10 минут. Определить вероятность того, что на восстановление канала потребуется от 5 до 10 минут.


Задача 10

Дана плотность распределения случайной величины X.

По какому закону распределения случайная величина? Найти математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения?


Задача 11

Время безотказной работы механизма подчинено показательному закону с плотностью распределения вероятностей f(t)=0.04e-0.04t при t > 0 (t – время в часах). Найти вероятность того, что механизм проработает безотказно не менее 100 часов.


Задача 12

Длительность телефонного разговора является случайной величиной, распределенной по показательному закону. Известно, что средняя длительность телефонного разговора равна 9 минутам. Найти вероятность того, что разговор будет длиться:

а) не более 5 минут.

б) более 5 минут.

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.


Задача 13

Случайная величина ξ подчинена показательному закону с параметром λ=5:

Найдите вероятность того, что случайная величина ξ примет значение меньшее, чем ее математическое ожидание.


Задача 14

Случайная величина ξ имеет плотность вероятностей (показательное распределение)

Найдите вероятность P{ξ>Mξ}


Задача 15

Время T (минут), затрачиваемое клиентами парикмахерской в ожидании своей очереди, удовлетворяет показательному распределению с параметром λ=0,05. Какова вероятность того, что время ожидания превысит 25 минут и каково среднее время ожидания.


Задача 16

Время T (час), необходимое на ремонт легкового автомобиля удовлетворяет показательному распределению с параметром λ=0,2. Какова вероятность того, что время ремонта одного автомобиля не превысит 6 часов, и сколько часов в среднем затрачивается на ремонт одного автомобиля.


Задача 17

Время ожидания у бензоколонки автозаправочной станции является случайной величиной X, распределенной по показательному закону, со средним временем ожидания, равным t0. Найти вероятности следующих событий:


Задача 18

Случайная величина X задана показательным законом распределения и числовыми значениями параметров M(X)=3 и σx=3.

Требуется:

1) найти функцию плотности f(x).

2) найти вероятность попадания СВ X в указанный интервал [a,b]=[2,4].


Задача 19

Случайная величина ξ задана функцией распределения

Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этого распределения.


Задача 20

Случайная величина ξ распределена по показательному закону с параметром λ=0,3. Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.