Начальные и центральные моменты случайной величины

Краткая теория
Примеры решения задач

Краткая теория

Начальные моменты

Начальным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины :

В частности:

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии можно записать так:

Центральные моменты

Кроме моментов случайной величины целесообразно рассматривать моменты отклонения .

Центральным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины :

В частности,

Взаимосвязь центральных и начальных моментов

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты:

Моменты более высоких порядков применяются редко.

Формулы для вычисления моментов дискретных и непрерывных случайных величин

Момент	Случайная величина
Момент	Дискретная	Непрерывная
Начальный
Центральный

Нетрудно заметить, что при первый начальный момент случайной величины есть ее математическое ожидание, то есть , при второй центральный момент – дисперсия, то есть .

Асимметрия и эксцесс случайной величины

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на , где – среднее квадратическое отклонение случайной величины . Полученная величина называется коэффициентом асимметрии случайной величины:

Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии .

Четвертый центральный момент служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессом (или коэффициентом эксцесса) случайной величины называется число

Число 3 вычитается из отношения потому, что для наиболее часто встречающегося нормального распределения отношение . Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.

Смежные темы решебника:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Примеры решения задач

Пример 1

Скачать пример 1 в формате pdf

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

	1	3	4	5
	0,2	0,3	0,1	0,4

Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков.

Решение

Найдем начальный момент 1-го порядка:

Начальный момент 2-го порядка:

Начальный момент 3-го порядка:

Ответ: .

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Пример 2

Скачать пример 2 в формате pdf

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

	0	3	5	6
	0,3	0,2	0,3	0,2

Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Решение

Центральный момент первого порядка равен нулю:

Для вычисления центральных моментов удобно воспользоваться формулами, выражающими центральные моменты через начальные, поэтому предварительно найдем начальные моменты:

Начальный момент 2-го порядка:

Начальный момент 3-го порядка:

Начальный момент 4-го порядка:

Найдем центральные моменты:

Ответ: .

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Пример 3

Скачать пример 3 в формате pdf

Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения:

Найти математическое ожидание, дисперсию, асимметрию и эксцесс.

Решение

Математическое ожидание (начальный момент первого порядка):

Начальный момент второго порядка:

Дисперсия (центральный момент второго порядка):

Среднее квадратическое отклонение:

Начальный момент третьего порядка:

Начальный момент четвертого порядка:

Вычисляем центральные моменты третьего и четвертого порядков:

Коэффициент асимметрии:

Эксцесс:

Ответ:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Краткая теория
Примеры решения задач