Начальные и центральные моменты случайной величины

Начальные моменты

Начальным моментом порядка  случайной величины  называют математическое ожидание величины :

В частности:

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии  можно записать так:

Центральные моменты

Кроме моментов случайной величины  целесообразно рассматривать моменты отклонения .

Центральным моментом порядка  случайной величины  называют математическое ожидание величины :

В частности,

Взаимосвязь центральных и начальных моментов

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты:

Моменты более высоких порядков применяются редко.

Формулы для вычисления моментов дискретных и непрерывных случайных величин

Момент	Случайная величина
	Дискретная	Непрерывная
Начальный
Центральный

Нетрудно заметить, что при  первый начальный момент случайной величины  есть ее математическое ожидание, то есть , при  второй центральный момент – дисперсия, то есть .

Асимметрия и эксцесс случайной величины

Третий центральный момент  служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на , где  – среднее квадратическое отклонение случайной величины . Полученная величина  называется коэффициентом асимметрии случайной величины:

Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии .

Четвертый центральный момент  служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессом (или коэффициентом эксцесса) случайной величины называется число

Число 3 вычитается из отношения  потому, что для наиболее часто встречающегося нормального распределения отношение . Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.

Смежные темы решебника:

• Асимметрия и эксцесс распределения
• Дискретная случайная величина
• Непрерывная случайная величина