Начальные и центральные моменты случайной величины

Краткая теория


Начальные моменты

Начальным моментом порядка  случайной величины  называют математическое ожидание величины :

В частности:

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии  можно записать так:

Центральные моменты

Кроме моментов случайной величины  целесообразно рассматривать моменты отклонения .

Центральным моментом порядка  случайной величины  называют математическое ожидание величины :

В частности,

Взаимосвязь центральных и начальных моментов

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты:

Моменты более высоких порядков применяются редко.

Формулы для вычисления моментов дискретных и непрерывных случайных величин

Момент Случайная величина
Дискретная Непрерывная
Начальный
Центральный

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Нетрудно заметить, что при  первый начальный момент случайной величины  есть ее математическое ожидание, то есть , при  второй центральный момент – дисперсия, то есть .

Асимметрия и эксцесс случайной величины

Третий центральный момент  служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на , где  – среднее квадратическое отклонение случайной величины . Полученная величина  называется коэффициентом асимметрии случайной величины:

Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии .

Четвертый центральный момент  служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессом (или коэффициентом эксцесса) случайной величины называется число

Число 3 вычитается из отношения  потому, что для наиболее часто встречающегося нормального распределения отношение . Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

1 3 4 5
0,2 0,3 0,1 0,4

Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков.

Решение

Найдем начальный момент 1-го порядка:

Начальный момент 2-го порядка:

 

Начальный момент 3-го порядка:

Ответ: .


Пример 2

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

0 3 5 6
0,3 0,2 0,3 0,2

Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Центральный момент первого порядка равен нулю:

Для вычисления центральных моментов удобно воспользоваться формулами, выражающими центральные моменты через начальные, поэтому предварительно найдем начальные моменты:

Начальный момент 2-го порядка:

Начальный момент 3-го порядка:

Начальный момент 4-го порядка:

Найдем центральные моменты:

Ответ: .


Пример 3

Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения:

Найти математическое ожидание, дисперсию, асимметрию и эксцесс.

Решение

Математическое ожидание (начальный момент первого порядка):

Начальный момент второго порядка:

Дисперсия (центральный момент второго порядка):

Среднее квадратическое отклонение:

 

Начальный момент третьего порядка:

 

Начальный момент четвертого порядка:

 

Вычисляем центральные моменты третьего и четвертого порядков:

 

Коэффициент асимметрии:

 

Эксцесс:

Ответ:

.