Начальные и центральные моменты случайной величины
Краткая теория
Начальные моменты
Начальным моментом порядка
случайной величины
называют математическое ожидание величины
:
В частности:
Пользуясь
этими моментами, формулу для вычисления дисперсии
можно записать так:
Центральные моменты
Кроме
моментов случайной величины
целесообразно рассматривать моменты отклонения
.
Центральным моментом порядка
случайной величины
называют математическое ожидание величины
:
В частности,
Взаимосвязь центральных и начальных моментов
Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты:
Моменты более высоких порядков применяются редко.
Формулы для вычисления моментов дискретных и непрерывных случайных величин
Момент | Случайная величина | |
Дискретная | Непрерывная | |
Начальный |
|
|
Центральный |
|
|
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Нетрудно
заметить, что при
первый
начальный момент случайной величины
есть ее
математическое ожидание, то есть
, при
второй
центральный момент – дисперсия, то есть
.
Асимметрия и эксцесс случайной величины
Третий центральный момент
служит для
характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Он имеет размерность
куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на
, где
– среднее
квадратическое отклонение случайной величины
. Полученная величина
называется
коэффициентом асимметрии случайной величины:
Если распределение симметрично относительно
математического ожидания, то коэффициент асимметрии
.
Четвертый центральный момент
служит для
характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.
Эксцессом (или коэффициентом эксцесса) случайной величины называется число
Число 3 вычитается из отношения
потому, что для
наиболее часто встречающегося нормального распределения отношение
. Кривые, более островершинные, чем нормальная,
обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным
эксцессом.
Смежные темы решебника:
Примеры решения задач
Пример 1
Скачать пример 1 в формате pdf
Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
|
1 | 3 | 4 | 5 |
|
0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,4 |
Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков.
Решение
Найдем начальный момент 1-го порядка:
Начальный момент 2-го порядка:
Начальный момент 3-го порядка:
Ответ:
.
Пример 2
Скачать пример 2 в формате pdf
Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
|
0 | 3 | 5 | 6 |
|
0,3 | 0,2 | 0,3 | 0,2 |
Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Центральный момент первого порядка равен нулю:
Для вычисления центральных моментов удобно воспользоваться формулами, выражающими центральные моменты через начальные, поэтому предварительно найдем начальные моменты:
Начальный момент 2-го порядка:
Начальный момент 3-го порядка:
Начальный момент 4-го порядка:
Найдем центральные моменты:
Ответ:
.
Пример 3
Скачать пример 3 в формате pdf
Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения:
Найти математическое ожидание, дисперсию, асимметрию и эксцесс.
Решение
Математическое ожидание (начальный момент первого порядка):
Начальный момент второго порядка:
Дисперсия (центральный момент второго порядка):
Среднее квадратическое отклонение:
Начальный момент третьего порядка:
Начальный момент четвертого порядка:
Вычисляем центральные моменты третьего и четвертого порядков:
Коэффициент асимметрии:
Эксцесс:
Ответ: