Платная помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач и контрольных вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Viber или электроннной почтой.
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Высшая математика и физика, теория вероятностей, линейное программирование, статистика, эконометрика, финансовая математика, методы и модели, оптимальные решения.
На цену сильно влияет срочность решения. Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Коэффициент асимметрии. Эксцесс распределения

Краткая теория

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики, в частности асимметрию и эксцесс. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному. Наоборот, большие значения асимметрии и эксцесса указывают на значительное отклонение от нормального.

Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

Коэффициент асимметрии характеризует скошенность распределения по отношению к математическому ожиданию. Асимметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой расположена слева от математического ожидания.

На рисунке показаны две кривые распределения: I и II. Кривая I имеет положительную (правостороннюю) асимметрию , а кривая II – отрицательную (левостороннюю) .

Кроме вышеописанного коэффициента, для характеристики асимметрии рассчитывают также показатель асимметрии Пирсона:

Коэффициент асимметрии Пирсона характеризует асимметрию только в центральной части распределения, поэтому более распространенным и более точным является коэффициент асимметрии, рассчитанный на основе центрального момента третьего порядка.

Для оценки «крутости», т. е. большего или меньшего подъема кривой теоретического распределения по сравнению с нормальной кривой, пользуются характеристикой - эксцессом.

Эксцессом (или коэффициентом эксцесса) случайной величины называется число:

Число 3 вычитается из отношения  потому, что для наиболее часто встречающегося нормального распределения отношение .

Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные - отрицательным эксцессом.

Пример решения задачи

Задача 1

Для заданного вариационного ряда вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса.

0-0.4 0.4-0.8 0.8-1.2 1.2-1.6 1.6-2.0 2.0-2.4 Итого
3 17 21 25 24 10 100

Решение

Задали объемную контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение задач, контрольных или онлайн-помощь на зачете/экзамене ⟩⟩

Если вам сейчас не требуется помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.

Составим расчетную таблицу

Интервалы Середина интервала,
0 – 0.4 0.2 3 0.6 3.763 -4.215 4.721
0.4 – 0.8 0.6 17 10.2 8.813 -6.345 4.569
0.8 – 1.2 1.0 21 21.0 2.150 -0.688 0.220
1.2 – 1.6 1.4 25 35.0 0.160 0.013 0.001
1.6 – 2 1.8 24 43.2 5.530 2.654 1.274
2 – 2.4 2.2 10 22.0 7.744 6.815 5.997
Итого -- 100 132.0 28.160 -1.766 16.782

 

Средняя:

Найдем моду - варианту, которой соответствует наибольшая частота.

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент асимметрии Пирсона:

 

Коэффициент асимметрии можно найти по формуле:

Центральный момент 3-го порядка:

Получаем:

 

Эксцесс можно найти по формуле:

Центральный момент 4-го порядка:

Получаем:

 

Задача 2

Для заданного вариационного ряда (см. условие задачи 1) вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса методом произведений, используя условные моменты.

0-0.4 0.4-0.8 0.8-1.2 1.2-1.6 1.6-2.0 2.0-2.4 Итого
3 17 21 25 24 10 100

Решение

Составим расчетную таблицу

Перейдем к условным вариантам

В качестве ложного нуля возьмем 3-ю варианту 0

Условные варианты вычислим по формуле:

где 4 (разность между соседними вариантами)

Интервалы Середина интервала,
0 – 0.4 0.2 -2 3 -6 12 -24 48
0.4 – 0.8 0.6 -1 17 -17 17 -17 17
0.8 – 1.2 1.0 0 21 0 0 0 0
1.2 – 1.6 1.4 1 25 25 25 25 25
1.6 – 2 1.8 2 24 48 96 192 384
2 – 2.4 2.2 3 10 30 90 270 810
Итого -- -- 100 80 240 446 1284

 

Условный момент 1-го порядка:

Средняя:

 

Условный момент 2-го порядка:

Дисперсия:

 

Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент асимметрии можно найти по формуле:

Условный момент 3-го порядка:

Центральный момент 3-го порядка:

Получаем:

Эксцесс можно найти по формуле:

Условный момент 4-го порядка:

Центральный момент 4-го порядка:

Получаем: