Теорема умножения вероятностей

Краткая теория

Произведением двух событий  и  называют событие , состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если  – деталь годная,  – деталь окрашенная, то  – деталь годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если  – появление герба соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то  – выпадение герба во всех трех испытаниях.

Условной вероятностью  называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие  уже наступило.

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Пусть вероятность события  не зависит от появления события .

Событие  называют независимым от события , если появление события  не изменяет вероятности события , то есть если условная вероятность события  равна его безусловной вероятности:

Если событие  не зависит от события , то и событие  не зависит от события  – это означает, что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения вероятностей имеет вид:

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Примеры решения задач


Пример 1

В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие ), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие .

Решение

После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых.

Искомая условная вероятность:

Этот же результат можно получить по формуле:

Вероятность появления белого шара при первом испытании:

Найдем вероятность  того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором – белый. Общее число исходов, совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений:

Из этого числа исходов событию  благоприятствует  исходов.

Следовательно:

Искомая условная вероятность:

Ответ: .


Пример 2

У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический.

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие ):

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие ), вычисленная в предположении, что первый валик – конусный, то есть условная вероятность:

По теореме умножения вероятностей, искомая вероятность:

Ответ: .


Пример 3

Слово «арифметика» разрезали на буквы, 5 из них выложили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «фирма»?

Решение

Вероятность вытащить первой букву Ф из 10  равна 1/10

Вероятность вытащить букву И из оставшихся 9 букв, две из которых И,  равна 2/9

Вероятность вытащить букву Р из оставшихся 8 букв  равна 1/8

Вероятность вытащить букву М из оставшихся 7 букв равна 1/7

Вероятность вытащить букву А из оставшихся 6 букв, две из которых А, равна 2/6

Воспользуемся теоремой умножения вероятностей.  Так как имеем независимые события, то искомая вероятность:

Ответ:


Пример 4

Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих сигнализатора. Два из них срабатывают с вероятностью 0,8, а 1 – с вероятностью 0,95. Найти вероятность того, что при аварии сигнализация сработает.

Решение

События:

 – сработал 1-й сигнализатор;

 – сработал 2-й сигнализатор;

 – сработал 3-й сигнализатор;

Для того, чтобы сработала сигнализация, необходимо, чтобы сработал хотя ба один сигнализатор

Пусть событие  – сработал хотя бы один сигнализатор

Противоположное событие  – не сработал ни один сигнализатор

Ответ:


Пример 5

Две фотомодели снимаются для журнала мод, первая – с вероятностью 0,9, вторая – с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что в следующем номере журнала появятся снимки: а) обеих девушек; б) только первой; в) хотя бы одной из них?

Решение

Пусть события:

 – первая фотомодель появилась в журнале;

 – вторая фотомодель появилась в журнале;

 

а) Пусть событие  – в журнале появились обе девушки

 

б) Пусть событие  – в журнале появилось фото только первой девушки

в) Пусть событие  – в журнале появилось фото хотя бы одной девушки. Противоположное событие  – в журнале фото обеих девушек не напечатали

Тогда искомая вероятность:

Ответ: а) ; б) ;  в) .


Пример 6

В задаче приведены схемы элементов, образующих цепь с одноим входом и одним выходом.

Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны ; ; ; ; . Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Решение

Все элементы цепи соединены последовательно. Сигнал пройдет со входа на выход только в том случае, если безотказно работают все 5 элементов. Найдем вероятность безотказной работы для каждого элемента.

Вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход:

Ответ: .


Пример 7

Приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны ; ; ; ; . Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Решение

Пусть событие  -сигнал пройдет со входа на выход.  -сигнал не пройдет со входа на выход. Это произойдет в том случае, если откажут все 5 элементов.

Тогда:

Так как события  и  образуют полную группу событий, то:

Ответ: .


Пример 8

Приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны ; ; ; ; . Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Решение

Пусть событие  -сигнал пройдет со входа на выход

 -сигнал не пройдет со входа на выход

 -сигнал не пройдет участок из элементов 1,2,3

 -сигнал не пройдет участок из элементов 4,5

Вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход:

Ответ: .