Теорема умножения вероятностей
Краткая теория
Произведение событий
Произведением
двух событий
и
называют событие
, состоящее в совместном
появлении (совмещении) этих событий. Например, если
– деталь годная,
– деталь окрашенная, то
– деталь годна и окрашена.
Произведением
нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих
событий. Например, если
– появление герба соответственно в первом,
втором и третьем бросаниях монеты, то
– выпадение герба во всех трех испытаниях.
Условная вероятность
Случайное событие определено как
событие, которое при осуществлении совокупности условий
может произойти или не произойти.
Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме
условий
, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если
же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.
Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном
условии, что произошло событие А. Заметим, что и безусловная
вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается
осуществление условий
.
Условной
вероятностью
называют вероятность события
, вычисленную в
предположении, что событие
уже наступило.
Теорема умножения вероятностей
Рассмотрим два события:
и
; пусть вероятности
и
известны. Как
найти вероятность совмещения этих событий, т.
е. вероятность того, что появится и событие
и событие
? Ответ на этот вопрос
дает теорема умножения.
Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Независимые события.
Теорема умножения вероятностей для независимых событий
Пусть вероятность события
не зависит от появления события
.
Событие
называют независимым от события
,
если появление события
не изменяет вероятности события
,
то есть если условная вероятность события
равна его безусловной вероятности:
Если событие
не зависит от события
,
то и событие
не зависит от события
– это означает, что свойство независимости
событий взаимно.
Для независимых событий теорема умножения вероятностей имеет вид:
Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
Смежные темы решебника:
Примеры решения задач
Пример 1
В урне 3
белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их
обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие
), если при первом
испытании был извлечен черный шар (событие
.
Решение
После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых.
Искомая условная вероятность:
Этот же результат можно получить по формуле:
Вероятность появления белого шара при первом испытании:
Найдем
вероятность
того, что в первом испытании появится черный
шар, а во втором – белый. Общее число исходов, совместного появления двух
шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений:
Из этого
числа исходов событию
благоприятствует
исходов.
Следовательно:
Искомая условная вероятность:
Ответ:
.
Пример 2
У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Вероятность
того, что первый валик окажется конусным (событие
):
Вероятность
того, что второй валик окажется эллиптическим (событие
), вычисленная в
предположении, что первый валик – конусный, то есть условная вероятность:
По теореме умножения вероятностей, искомая вероятность:
Ответ:
.
Пример 3
Слово «арифметика» разрезали на буквы, 5 из них выложили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «фирма»?
Решение
Вероятность вытащить первой букву Ф из 10 равна 1/10
Вероятность вытащить букву И из оставшихся 9 букв, две из которых И, равна 2/9
Вероятность вытащить букву Р из оставшихся 8 букв равна 1/8
Вероятность вытащить букву М из оставшихся 7 букв равна 1/7
Вероятность вытащить букву А из оставшихся 6 букв, две из которых А, равна 2/6
Воспользуемся теоремой умножения вероятностей. Так как имеем независимые события, то искомая вероятность:
Ответ:
Пример 4
Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих сигнализатора. Два из них срабатывают с вероятностью 0,8, а 1 – с вероятностью 0,95. Найти вероятность того, что при аварии сигнализация сработает.
Решение
События:
– сработал 1-й сигнализатор;
– сработал 2-й сигнализатор;
– сработал 3-й сигнализатор;
Для того, чтобы сработала сигнализация, необходимо, чтобы сработал хотя ба один сигнализатор
Пусть
событие
– сработал хотя бы один сигнализатор
Противоположное
событие
– не сработал ни один сигнализатор
Ответ:
Пример 5
Две фотомодели снимаются для журнала мод, первая – с вероятностью 0,9, вторая – с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что в следующем номере журнала появятся снимки: а) обеих девушек; б) только первой; в) хотя бы одной из них?
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Пусть события:
– первая фотомодель появилась в журнале;
– вторая фотомодель появилась
в журнале;
а) Пусть
событие
– в журнале появились обе девушки
б) Пусть
событие
– в журнале появилось фото только первой
девушки
в) Пусть
событие
– в журнале появилось фото хотя бы одной
девушки. Противоположное событие
– в журнале фото обеих девушек не напечатали
Тогда искомая вероятность:
Ответ: а)
; б)
; в)
.
Пример 6
В задаче приведены схемы элементов, образующих цепь с одноим входом и одним выходом.
Предполагается, что
отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого
из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится
данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны
;
;
;
;
. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа
на выход.
Решение
Все элементы цепи соединены последовательно. Сигнал пройдет со входа на выход только в том случае, если безотказно работают все 5 элементов. Найдем вероятность безотказной работы для каждого элемента.
Вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход:
Ответ:
.
Пример 7
Приведены схемы
соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом.
Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности
событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви
цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5
соответственно равны
;
;
;
;
. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа
на выход.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Пусть событие
-сигнал пройдет
со входа на выход.
-сигнал не
пройдет со входа на выход. Это произойдет в том случае, если откажут все 5
элементов.
Тогда:
Так как
события
и
образуют полную группу событий, то:
Ответ:
.
Пример 8
Приведены схемы
соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом.
Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности
событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви
цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5
соответственно равны
;
;
;
;
. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа
на выход.
Решение
Пусть
событие
-сигнал пройдет со входа на выход
-сигнал не пройдет со входа на выход
-сигнал не пройдет участок из элементов 1,2,3
-сигнал не пройдет участок из элементов 4,5
Вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход:
Ответ:
.
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Клиент выбирает банк для получения ипотечного кредита по нескольким показателям: стабильность банка, процентная ставка, условия досрочного погашения кредита. Статистика показывает, что клиенты данного банка удовлетворены первым показателем с вероятностью 0.7, вторым – с вероятностью 0.6, третьим – с вероятностью 0.8. Какова вероятность того, что клиент, обратившись в банк, будет удовлетворен:
а) всеми тремя показателями;
б) только двумя показателями;
в) хотя бы одним из показателей?
Задача 2
Найти вероятности указанных событий, пользуясь правилами сложения и умножения вероятностей.
В ящике находятся 15 деталей, 5 из которых бракованные. Наудачу отобраны 3 детали. Какова вероятность, что все они не окажутся бракованными.
Задача 3
Каждую букву слова написали на одной карточке. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Какова вероятность, что карточки будут вынуты в порядке следования букв в слове «теория»?
Задача 4
Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятность безотказной работы (за время t) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что за время t безотказно будут работать: а)только один элемент, б)только два элемента, в) все три элемента.
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 5
Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньше 0,3, можно было ожидать, что ни одной из выпавших граней не появится шесть очков?
Задача 6
При изготовлении детали заготовка должна пройти три операции. Предполагая появление брака на отдельных операциях событиями независимыми, найти вероятность изготовления стандартной детали, если вероятность брака на первой операции равна 0,02, на второй 0,01, на третьей 0,03.
Задача 7
Слово «СТАТИСТИКА» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке слова «ТИСКИ».
Задача 8
В схеме, изображенной на рисунке, элементы k1, k2, k3, k4, k5 работают независимо друг от друга и пропускают электрический ток с вероятностями p1=0.9; p2=0.8; p3=0.7; p4=0.6; p5=0.5 соответственно. С какой вероятностью ток пройдет от A к B?
Задача 9
Решить задачу, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.
Вычислительный
центр, который должен производить непрерывную обработку информации, располагает
двумя вычислительными устройствами. Известно, что вероятность отказа каждого из
них за время
равна 0,1. Найти вероятность безотказной
работы за время
: а) каждого устройства; б)
хотя бы одного устройства; в) одного устройства.
Задача 10
Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются 3 карты. Найти вероятность того, что все извлеченные карты разных мастей.
Задача 11
В урне имеется 5 шаров с номерами от 1 до 5. Извлекают по одному без возвращения 3 шара. Найти вероятность последовательно появляются шары с номерами 1,2,3.