Теорема сложения вероятностей

Краткая теория

Суммой двух событий  и  называется событие , состоящее в появлении хотя бы одного из событий  или .

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий  и  называется событие , состоящее в совместном появлении события  и события .

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

 

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

В случае, когда события  и  совместны, вероятность их суммы выражается формулой:

где  – произведение событий  и

 

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий:

 

Если события  несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:

Событие  называется противоположным событию , если оно состоит в непоявлении события .

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

 

Примеры решения задач


Пример 1

В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение

Вероятность появления красного шара (событие ):

Вероятность появления синего шара (событие :

События  и  несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность:

Ответ: .


Пример 2

Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение

Событие  – стрелок попал в первую область

Событие  – стрелок попал во вторую область

События  и  несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность:

Ответ:


Пример 3

Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны . Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события  (попадание первого орудия) и  (попадание второго орудия) независимы.

Вероятность события  (оба орудия дали попадание):

 

Искомая вероятность:

Ответ: .


Пример 4

Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов  и . Вероятность получения пакета из города  равна 0,7, из города  – 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города .

Решение

События «пакет получен из города », «пакет получен из города », «пакет получен из города » образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:

Отсюда искомая вероятность:

Ответ:


Пример 5

В ящике имеется 10 деталей, из которых 4 стандартных. Найти вероятность того, что среди трех наудачу извлеченных деталей имеется хотя бы одна стандартная.

Решение

События «среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная» и «среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной» - противоположные.

Обозначим первое событие через , а второе через .

Очевидно, что

Найдем .

Общее число способов, которыми можно извлечь три детали из десяти:

Число благоприятных событию  способов:

Искомая вероятность:

Ответ: .