Теорема сложения вероятностей

Краткая теория


Сумма и произведение событий

Суммой двух событий  и  называется событие , состоящее в появлении хотя бы одного из событий  или .

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий  и  называется событие , состоящее в совместном появлении события  и события .

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

 

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

В случае, когда события  и  совместны, вероятность их суммы выражается формулой:

где  – произведение событий  и

 

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий:

 

Полная группа событий

Если события  несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:

Противоположное событие

Событие  называется противоположным событию , если оно состоит в непоявлении события .

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение

Вероятность появления красного шара (событие ):

Вероятность появления синего шара (событие :

События  и  несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность:

Ответ: .


Пример 2

Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение

Событие  – стрелок попал в первую область

Событие  – стрелок попал во вторую область

События  и  несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность:

Ответ:


Пример 3

Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны . Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события  (попадание первого орудия) и  (попадание второго орудия) независимы.

Вероятность события  (оба орудия дали попадание):

 

Искомая вероятность:

Ответ: .


Пример 4

Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов  и . Вероятность получения пакета из города  равна 0,7, из города  – 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города .

Решение

События «пакет получен из города », «пакет получен из города », «пакет получен из города » образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:

Отсюда искомая вероятность:

Ответ:


Пример 5

В ящике имеется 10 деталей, из которых 4 стандартных. Найти вероятность того, что среди трех наудачу извлеченных деталей имеется хотя бы одна стандартная.

Решение

События «среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная» и «среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной» - противоположные.

Обозначим первое событие через , а второе через .

Очевидно, что

Найдем .

Общее число способов, которыми можно извлечь три детали из десяти:

Число благоприятных событию  способов:

Искомая вероятность:

Ответ: .

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

На предприятии 25% продукции высшего сорта и 65% первого сорта. Какова вероятность того, что случайно взятое изделие окажется высшего или первого сорта?


Задача 2

В корзине находятся 5 белых и 7 черных перчаток. Найти вероятность того, что пара, которую достали наугад, окажется одноцветной.


Задача 3

В группе 5 человек учится на отлично, 7 человек – на хорошо и отлично, 15 человек имеют тройки и 3 человека – неудовлетворительные оценки. Определить вероятность того, что вызванный учащийся не имеет ни двоек, ни троек.


Задача 4

В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 5

Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% — немецкий, 42% — французский; английский и немецкий — 8%, английский и французский — 10%, немецкий и французский — 5%, все три языка — 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский, немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков.


Задача 6

В пакете с леденцами лежат 4 красных, 5 желтых и 6 зеленых конфет. Найти вероятность вынуть наудачу подряд 3 конфеты одного цвета.


Задача 7

Среди клиентов туристической фирмы 30% ездили в Турцию, 20% — в Египет, 10% — в Грецию; в Турцию и Египет — 12%, в Египет и Грецию — 5%, в Турцию и Грецию — 6%, во все три страны — 4%. Найти вероятность того, что случайно выбранный клиент: а) ездил в Турцию или Египет, б) ездил в Египет или Грецию, в) ездил в Турцию, Египет или Грецию, г) не ездил ни в одну из перечисленных стран.


Задача 8

События А, В, С и D образуют полную группу. Вероятности событий таковы: Р(Л)=0,1; Р(В)=0,4; Р(С)=0,3. Чему равна вероятность события D?


Задача 9

По статистическим данным ремонтной мастерской, в среднем на 20 остановок токарного станка приходится: 10 - для смены резца; 3 - из-за неисправности привода; 2 -из-за несвоевременной подачи заготовок. Остальные остановки происходят по другим причинам.

Найти вероятность остановки станка по другим причинам.


Задача 10

На 30 одинаковых жетонах написаны 30 чисел от 1 до 30. Жетоны помещены в пакет и тщательно перемешаны. Какова вероятность вынуть жетон с номером, кратным 2 или 3?