Теорема сложения вероятностей
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
- Решение задач по теории вероятностей на заказ
Краткая теория
Сумма и произведение событий
Суммой
двух событий
и
называется событие
, состоящее в появлении
хотя бы одного из событий
или
.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Произведением
двух событий
и
называется событие
, состоящее в совместном
появлении события
и события
.
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Теорема сложения вероятностей
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
В случае,
когда события
и
совместны, вероятность их суммы выражается
формулой:
где
– произведение событий
и
Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий:
Полная группа событий
Если
события
несовместны и образуют полную группу, то сумма
их вероятностей равна единице:
Противоположное событие
Событие
называется противоположным событию
, если оно состоит в
непоявлении события
.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Смежные темы решебника:
Примеры решения задач
Пример 1
Скачать пример 1 в формате pdf
В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
Решение
Вероятность
появления красного шара (событие
):
Вероятность
появления синего шара (событие
:
События
и
несовместны (появление шара одного цвета
исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.
Искомая вероятность:
Ответ:
.
Пример 2
Скачать пример 2 в формате pdf
Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.
Решение
Событие
– стрелок попал в первую область
Событие
– стрелок попал во вторую область
События
и
несовместны (попадание в одну область
исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.
Искомая вероятность:
Ответ:
Пример 3
Скачать пример 3 в формате pdf
Вероятности
попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны
. Найти вероятность
попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Вероятность
попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого
орудия, поэтому события
(попадание первого орудия) и
(попадание второго орудия) независимы.
Вероятность
события
(оба орудия дали попадание):
Искомая вероятность:
Ответ:
.
Пример 4
Скачать пример 4 в формате pdf
Консультационный
пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов
и
. Вероятность получения
пакета из города
равна 0,7, из города
– 0,2. Найти вероятность того, что очередной
пакет будет получен из города
.
Решение
События
«пакет получен из города
», «пакет получен из города
», «пакет получен из города
» образуют полную группу,
поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:
Отсюда искомая вероятность:
Ответ:
Пример 5
Скачать пример 5 в формате pdf
В ящике имеется 10 деталей, из которых 4 стандартных. Найти вероятность того, что среди трех наудачу извлеченных деталей имеется хотя бы одна стандартная.
Решение
События «среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная» и «среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной» - противоположные.
Обозначим
первое событие через
, а второе через
.
Очевидно, что
Найдем
.
Общее число способов, которыми можно извлечь три детали из десяти:
Число
благоприятных событию
способов:
Искомая вероятность:
Ответ:
.
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
На предприятии 25% продукции высшего сорта и 65% первого сорта. Какова вероятность того, что случайно взятое изделие окажется высшего или первого сорта?
Задача 2
В корзине находятся 5 белых и 7 черных перчаток. Найти вероятность того, что пара, которую достали наугад, окажется одноцветной.
Задача 3
В группе 5 человек учится на отлично, 7 человек – на хорошо и отлично, 15 человек имеют тройки и 3 человека – неудовлетворительные оценки. Определить вероятность того, что вызванный учащийся не имеет ни двоек, ни троек.
Задача 4
В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Задача 5
Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% — немецкий, 42% — французский; английский и немецкий — 8%, английский и французский — 10%, немецкий и французский — 5%, все три языка — 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский, немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков.
Задача 6
В пакете с леденцами лежат 4 красных, 5 желтых и 6 зеленых конфет. Найти вероятность вынуть наудачу подряд 3 конфеты одного цвета.
Задача 7
Среди клиентов туристической фирмы 30% ездили в Турцию, 20% — в Египет, 10% — в Грецию; в Турцию и Египет — 12%, в Египет и Грецию — 5%, в Турцию и Грецию — 6%, во все три страны — 4%. Найти вероятность того, что случайно выбранный клиент: а) ездил в Турцию или Египет, б) ездил в Египет или Грецию, в) ездил в Турцию, Египет или Грецию, г) не ездил ни в одну из перечисленных стран.
Задача 8
События А, В, С и D образуют полную группу. Вероятности событий таковы: Р(Л)=0,1; Р(В)=0,4; Р(С)=0,3. Чему равна вероятность события D?
Задача 9
По статистическим данным ремонтной мастерской, в среднем на 20 остановок токарного станка приходится: 10 - для смены резца; 3 - из-за неисправности привода; 2 -из-за несвоевременной подачи заготовок. Остальные остановки происходят по другим причинам.
Найти вероятность остановки станка по другим причинам.
Задача 10
На 30 одинаковых жетонах написаны 30 чисел от 1 до 30. Жетоны помещены в пакет и тщательно перемешаны. Какова вероятность вынуть жетон с номером, кратным 2 или 3?