Классическая вероятность.
Вероятность случайного события

Краткая теория


Для количественного сравнения событий по степени возможности их появления вводится числовая мера, которая называется вероятностью события.

Определение вероятности случайного события

Вероятностью случайного события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.

Величины, определяющие, насколько значительны объективные основания рассчитывать на появление события, характеризуются вероятностью события. Необходимо подчеркнуть, что вероятность есть объективная величина, существующая независимо от познающего и обусловленная всей совокупностью условий, которые способствуют появлению события.

Объяснения, которые мы дали понятию вероятности, не являются математическим определением, так как они не определяют это понятие количественно. Существует несколько определений вероятности случайного события, которые широко применяются при решении конкретных задач (классическое, геометрическое определение вероятности, статистическое и т. д.).

Классическое определение вероятности события сводит это понятие к более элементарному понятию равновозможных событий, которое уже не подлежит определению и предполагается интуитивно ясным. Например, если игральная кость - однородный куб, то выпадения любой из граней этого куба будут равновозможными событиями.

Пусть достоверное событие  распадается на  равновозможных случаев , сумма  которых дает событие . То есть случаи из , на которые распадается , называются благоприятствующими для события , так как появление одного из них обеспечивает наступление .

Вероятность события  будем обозначать символом .

Вероятность события  равна отношению числа случаев , благоприятствующих ему, из общего числа  единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу , т. е.

Это есть классическое определение вероятности. Таким образом, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать общее их число n, число случаев m, благоприятствующих данному событию, и затем выполнить расчет по вышеприведенной формуле.

Определение классической вероятности

Вероятность события, равная отношению числа благоприятных событию исходов опыта к общему числу исходов опыта называется классической вероятностью случайного события.

Из определения вытекают следующие свойства вероятности:

Свойства вероятности

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Свойство 4. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.

Свойство 5. Вероятность наступления противоположного события  определяется так же, как и вероятность наступления события A.

 - число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события  . Отсюда вероятность наступления противоположного события  равна разнице между единицей и вероятностью наступления события A:

Важное достоинство классического определения вероятности события состоит в том, что с его помощью вероятность события можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.

При выполнении комплекса условий достоверное событие обязательно произойдет, а невозможное обязательно не произойдет. Среди событий, которые при создании комплекса условий могут произойти, а могут не произойти, на появление одних можно рассчитывать с большим основанием, на появление других с меньшим основанием. Если, например, в урне белых шаров больше, чем черных, то надеяться на появление белого шара при вынимании из урны наудачу больше оснований, чем на появление черного шара.

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

В ящике находится 8 белых, 4 черных и 7 красных шаров. Наудачу извлечены 3 шара. Найти вероятности следующих событий:  – извлечен по крайней мере 1 красный шар,  – есть по крайней мере 2 шара одного цвета,  – есть по крайней мере 1 красный и 1 белый шар.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Общее число исходов испытания найдем как число сочетаний из 19 (8+4+7) элементов по 3:

 

Найдем вероятность события  – извлечен по крайней мере 1 красный шар (1,2 или 3 красных шара)

Число исходов, благоприятствующих событию:

Искомая вероятность:

 

Пусть событие  – есть по крайней мере 2 шара одного цвета (2 или 3 белых шара, 2 или 3 черных шара и 2 или 3 красных шара)

Число исходов, благоприятствующих событию:

Искомая вероятность:

 

Пусть событие  – есть по крайней мере один красный и 1 белый шар

(1 красный, 1 белый, 1 черный или 1 красный, 2 белых или 2 красных, 1 белый)

Число исходов, благоприятствующих событию:

Искомая вероятность:

 

Ответ: P(A)=0.773;P(C)=0.7688;  P(D)=0.6068


Пример 2

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков не меньше 5.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Пусть событие  – сумма очков не меньше 5

Воспользуемся классическим определением вероятности:

 -общее число возможных исходов испытания

 -число испытаний, благоприятствующих интересующему нас событию

На выпавшей грани первого игрального кубика может появиться одно очко, два очка…, шесть очков. Аналогично шесть исходов возможны при бросании второго кубика. Каждый из исходов бросания первой кости может сочетаться с каждым из исходов второй. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу размещений с повторениями (выбор с размещениями 2 элементов из совокупности объема 6):

Найдем вероятность противоположного события  – сумма очков меньше 5

Благоприятствовать событию  будут следующие сочетания выпавших очков:

1-я кость 2-я кость
1 1 1
2 1 2
3 2 1
4 3 1
5 1 3

Число благоприятствующих случаев:

Искомая вероятность:

Ответ: p=0.8611


Пример 3

В экономической службе хозяйственного субъекта  бухгалтеров и  экономистов. Из них по табельным номерам отбирают группу из  человек для осуществления проверки финансовой деятельности подведомственного предприятия. Найти вероятность того, что:

1) в группу войдут  бухгалтеров;

2) в группу войдет хотя бы один экономист;

3) в группе не более одного экономиста.

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Решение

Пусть событие  состоит в том, что в группу войдут 5 бухгалтеров;  – в группу войдет хотя бы один экономист;  – в группе не более одного экономиста.

Вероятность каждого события будем находить по классической схеме:

где  – число исходов, благоприятствующих появлению события,  – число всех возможных исходов.

1) Событие  состоит в том, что в группу войдут 5 бухгалтеров. Общее число комбинаций выбора 6 человек из 13+3=16 имеющихся равно числу сочетаний из 16 по 6, то есть . Число благоприятствующих исходов  определяется как число комбинаций выбора 5 из 13 бухгалтеров и 1 из 3 экономистов, то есть . Таким образом:

 

2) Событие  состоит в том, что в группу войдет хотя бы один экономист, тогда событие  состоит в том, что в отобранной группе нет ни одного экономиста. Найдем вероятность события :

Тогда, вероятность события  найдем по формуле: . Следовательно,

 

3) Событие  состоит в том, что в группе не более одного экономиста. Событие  состоит из суммы двух несовместных событий: , где событие  состоит в том, что в отобранной группе только один экономист, событие  состоит в том, что в отобранной группе нет ни одного экономиста. Очевидно, что  и , а значит:

Тогда:

Ответ: 1) 0,4821; 2) 0,7857; 3) 0,6964.

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Из десяти первых букв русского алфавита наудачу составляется новый алфавит, состоящий из пяти букв. Найти вероятности следующих событий: в состав нового алфавита входит буква  А.


Задача 2

Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат – пара чисел, соответствующих числам очков, выпавших в первый и второй раз. События: D = {оба раза выпало одинаковое число очков}


Задача 3

В лабораторной клетке содержат 8 белых и 6 коричневых мышей. Наугад выбирают пять мышей из клетки. Найти вероятность того, что: а) три из них белые, а две коричневые; б) все одного цвета.


Задача 4

В поликлинике работают 80 человек. Из них 5 человек - администрация, 10 - технический персонал, 10 - педиатры, половина - врачи других специальностей, и 15 человек -статисты. Какова вероятность того, что наудачу выбранное лицо окажется статистом или человеком из администрации поликлиники.


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 5

Во время эпидемии гриппа из 15 человек, доставленных  в больницу с переломом, 5 оказались больны гриппом. В палату помещают по 4 человека. Найти вероятность того, что в палате хотя бы один окажется болен гриппом.


Задача 6

В партии из  изделий  имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад  изделий  будет  дефектных изделий.


Задача 7

В ящике находится 25 кондиционных и 4 бракованных однотипных деталей. Какова вероятность того, что среди трех наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?


Задача 8

Среди кандидатов в студенческий совет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают пять человек на предстоящую конференцию. Найти вероятность события C={ не будет выбрано ни одного второкурсника }


Задача 9

Устройство состоит из 6 элементов, из которых 4 изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.


Задача 10

В ящике 32 деталей, из них 8 бракованных. Наудачу извлечены 7 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей: а) нет бракованных; б) нет годных; в) ровно 2 годных.


Задача 11

В ящике находится 65 кондиционных и 12 бракованных однотипных деталей. Какова вероятность того, что среди трех наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?


Задача 12

На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность того, что среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5?


Задача 13

Изготовлена партия из 200 изделий, в которой оказалось три бракованных. Произведена выборка из пяти изделий. Найти вероятность следующих событий:

а) в выборке не будет ни одного бракованного изделия;

б) в выборке будет одно бракованное изделие?


Задача 14

Семитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что тома расположены в правильном порядке (от 1 до 7)?


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 15

Среди 20 студентов, из которых 12 девушек, разыгрываются 4 приглашения на дискотеку, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся только девушки?

Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся а) только юноши; б) две девушки и двое юношей?


Задача 16

Телефонный номер состоит из пяти цифр и не начинается с цифры ноль. Какова вероятность того, что все цифры номера а) различны; б) одинаковы?

Какова вероятность того, что все цифры номера нечетные?


Задача 17

Для получения зачета необходимо ответить не менее, чем на три вопроса из четырех. На первый вопрос студент ответил. Какова вероятность, что студент сдаст зачет, если он знает 20 вопросов из 25?

Какова вероятность, что студент не сдаст зачет (в условиях предыдущей задачи)?


Задача 18

Брошены две игральные кости. Найти вероятность следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи, б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность – четырем, в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем, г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение – четырем.


Задача 19

В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.


Задача 20

Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенные окажутся неизношенные элементы.


Задача 21

В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие, б) два окрашенных изделия, в) хотя бы одно окрашенное изделие.


Задача 22

Колода карт разделена на две части по 26 карт. Определить вероятность того, что в обеих пачках окажется равное число тузов (2).


Задача 23

На полке стоят 26 книг, из них 13 словарей, 11 справочников и два учебника. Какова вероятность того, что из пяти наудачу взятых книг окажется 2 словаря, 2 справочника и 1 учебник.