Условие задачи 1
На фабрике
станки 1,2 и 3 производят соответственно 20%, 35% и 45% всех деталей. В их
продукции брак составляет соответственно 6%, 4%, 2%. Какова вероятность того,
что случайно выбранное изделие оказалось дефектным? Какова вероятность того,
что оно было произведено: а) станком 1; б) станком 2; в) станком 3?
Решение задачи 1
Гипотезы и условные вероятности
Обозначим
через
событие, состоящее в том,
что стандартное изделие оказалось дефектным.
Событие
может произойти только
при условии наступления одного из трех событий:
-изделие произведено на
станке 1;

- изделие произведено на
станке 2;

- изделие произведено на
станке 3;

Запишем условные вероятности:
Формула полной вероятности
Если
событие
может произойти только при выполнении одного
из событий
, которые образуютполную группу несовместных
событий, то вероятность события
вычисляется по формуле
По
формуле полной вероятности находим вероятность события
:
Формула Байеса
Формула Байеса
позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события
вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.
Вероятность
того, что дефектное изделие изготовлено на станке 1:
Вероятность
того, что дефектное изделие изготовлено на станке 2:
Вероятность
того, что дефектное изделие изготовлено на станке 3:
Условие задачи 2
Группа состоит из 1 отличника, 5 хорошо успевающих студентов и 14
студентов, успевающих посредственно. Отличник отвечает на 5 и 4 с равной
вероятностью, хорошист отвечает на 5, 4 и 3 с равной вероятностью, и
посредственно успевающий студент отвечает на 4,3 и 2 с равной вероятностью.
Случайно выбранный студент ответил на 4. Какова вероятность того, что был
вызван посредственно успевающий студент?
Решение задачи 2
Гипотезы и условные вероятности
Возможны следующие гипотезы:
-отвечал отличник;
-отвечал хорошист;
–отвечал посредственно занимающийся студент;
Пусть событие
-студент получит 4.
Условные вероятности:
Формула полной вероятности
По формуле полной вероятности, вероятность события
:
Формула Байеса
По формуле Байеса найдем вероятность того, что был вызван
посредственно успевающий студент:
Ответ:

К оглавлению решебника по теории вероятностей и математической статистике 〉