Формула полной вероятности. Формула Байеса

Если событие  наступает только при условии появления одного из событий  образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события  равна сумме произведений вероятностей каждого из событий  на соответствующую условную вероятность кошелек .

При этом события  называются гипотезами, а вероятности  – априорными. Эта формула называется формулой полной вероятности.

Формула Байеса применяется при решении практических задач, когда событие , появляющееся совместно с каким-либо из событий  образующих полную группу событий произошло и требуется провести количественную переоценку вероятностей гипотез . Априорные (до опыта) вероятности известны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности, т.е. по существу нужно найти условные вероятности . Формула Байеса выглядит так:

На следующей странице рассматривается задача на наивероятнейшее число появления события.

Условие задачи 1

На фабрике станки 1,2 и 3 производят соответственно 20%, 35% и 45% всех деталей. В их продукции брак составляет соответственно 6%, 4%, 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие оказалось дефектным? Какова вероятность того, что оно было произведено: а) станком 1; б) станком 2; в) станком 3?

Решение задачи 1

Гипотезы и условные вероятности

Обозначим через  событие, состоящее в том, что стандартное изделие оказалось дефектным.

Событие  может произойти только при условии наступления одного из трех событий:

 -изделие произведено на станке 1; 

 - изделие произведено на станке 2; 

 - изделие произведено на станке 3; 

Запишем условные вероятности:

Формула полной вероятности

Если событие  может произойти только при выполнении одного из событий  , которые образуютполную группу несовместных событий, то вероятность события  вычисляется по формуле

По формуле полной вероятности находим вероятность события :

Формула Байеса

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

Вероятность того, что дефектное изделие изготовлено на станке 1:

 

Вероятность того, что дефектное изделие изготовлено на станке 2:

Вероятность того, что дефектное изделие изготовлено на станке 3:

 

Условие задачи 2

Группа состоит из 1 отличника, 5 хорошо успевающих студентов и 14 студентов, успевающих посредственно. Отличник отвечает на 5 и 4 с равной вероятностью, хорошист отвечает на 5, 4 и 3 с равной вероятностью, и посредственно успевающий студент отвечает на 4,3 и 2 с равной вероятностью. Случайно выбранный студент ответил на 4. Какова вероятность того, что был вызван посредственно успевающий студент?

Решение задачи 2

Гипотезы и условные вероятности

Возможны следующие гипотезы:

 -отвечал отличник;

 -отвечал хорошист;

 –отвечал посредственно занимающийся студент;

Пусть событие  -студент получит 4.

Условные вероятности:

Формула полной вероятности

По формуле полной вероятности, вероятность события :

Формула Байеса

По формуле Байеса найдем вероятность того, что был вызван посредственно успевающий студент:

Ответ:

К оглавлению решебника по теории вероятностей и математической статистике ⟩