Формула полной вероятности.
Формула Байеса

Краткая теория


Следствием двух основных теорем теории вероятностей - теоремы сложения и теоремы умножения - являются формула полной вероятности и формула Байеса.

Формула полной вероятности

Если событие  наступает только при условии появления одного из событий  образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события  равна сумме произведений вероятностей каждого из событий  на соответствующую условную вероятность кошелек .

При этом события  называются гипотезами, а вероятности  – априорными. Эта формула называется формулой полной вероятности.

Формула Байеса

Формула Байеса применяется при решении практических задач, когда событие , появляющееся совместно с каким-либо из событий  образующих полную группу событий произошло и требуется провести количественную переоценку вероятностей гипотез . Априорные (до опыта) вероятности известны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности, т.е. по существу нужно найти условные вероятности . Формула Байеса выглядит так:

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

На фабрике станки 1,2 и 3 производят соответственно 20%, 35% и 45% всех деталей. В их продукции брак составляет соответственно 6%, 4%, 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие оказалось дефектным? Какова вероятность того, что оно было произведено: а) станком 1; б) станком 2; в) станком 3?

Решение

Обозначим через  событие, состоящее в том, что стандартное изделие оказалось дефектным.

Событие  может произойти только при условии наступления одного из трех событий:

 -изделие произведено на станке 1; 

 - изделие произведено на станке 2; 

 - изделие произведено на станке 3; 

Запишем условные вероятности:

Если событие  может произойти только при выполнении одного из событий  , которые образуютполную группу несовместных событий, то вероятность события  вычисляется по формуле

По формуле полной вероятности находим вероятность события :

Вероятность того, что дефектное изделие изготовлено на станке 1:

 

Вероятность того, что дефектное изделие изготовлено на станке 2:

Вероятность того, что дефектное изделие изготовлено на станке 3:


Пример 2

Группа состоит из 1 отличника, 5 хорошо успевающих студентов и 14 студентов, успевающих посредственно. Отличник отвечает на 5 и 4 с равной вероятностью, хорошист отвечает на 5, 4 и 3 с равной вероятностью, и посредственно успевающий студент отвечает на 4,3 и 2 с равной вероятностью. Случайно выбранный студент ответил на 4. Какова вероятность того, что был вызван посредственно успевающий студент?

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Возможны следующие гипотезы:

 -отвечал отличник;

 -отвечал хорошист;

 –отвечал посредственно занимающийся студент;

Пусть событие  -студент получит 4.

Условные вероятности:

По формуле полной вероятности, вероятность события :

По формуле Байеса найдем вероятность того, что был вызван посредственно успевающий студент:

Ответ:

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

На отборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве:  с первого завода;  со второго завода;  с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе , на втором , на третьем . 1) Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным? 2) Взятое наугад изделие оказалось качественным. Какова вероятность того, что это изделие завода с номером .


Задача 2

В пирамиде 15 винтовок, 12 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелом поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 12/25; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 2/25. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.


Задача 3

На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит в среднем 3/4 продукции с процентом брака 4%, вторая – 1/4 продукции с процентом брака 6%. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие:

а) окажется бракованным;

б) изготовлено второй бригадой при условии, что изделие оказалось бракованным.


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 4

В одном сосуде находятся  белых и  черных шаров. Во втором –  белых и  черных. Бросают два кубика. Если сумма очков, выпавших на верхних гранях, меньше 10, берут шар из первого сосуда, если больше или равна 10 – из второго. Вынут белый шар. Какова вероятность того, что сумма очков была не меньше 10?


Задача 5

Вероятность того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятность обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равна 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.


Задача 6

Имеется пять урн. В первой, второй и третьей урнах находится по 2 белых и 3 черных шара, в четвертой и пятой урнах - по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова условная вероятность того, что выбрана четвертая или пятая урна, если извлеченный шар оказался белым?


Задача 7

В двух пакетах находятся конфеты. В первом пакете 16 штук сорта «Белочка» и 8 штук сорта «Жар-птица», во втором 15 сорта «Белочка» и 5 сорта «Жар-птица». Из первого пакета во второй переложили две конфеты, взятые случайным образом, содержимое второго пакета перемешали и вытащили оттуда одну конфету, которая оказалась «Жар-птицей».

Какова вероятность, что из первого пакета во второй переложили одну «Белочку» и одну «Жар-птицу»?


Задача 8

В городе N – 600 гостиничных номеров. Из них 100 номеров – в первой гостинице, 200 – во второй, остальные – в третьей. В турфирме известно, что наличие свободного номера нужного класса составляет вероятность 0,7; 0,5 и 0,8 соответственно в первой, второй и третьей гостиницах. Определить вероятность того, что клиентов поселили во вторую гостиницу.


Задача 9

Имеются три партии радиоламп, насчитывающих соответственно 20,30 и 50 шт. Вероятности того, что радиолампа проработает заданное время, равны 0,7; 0,8; 0,9. Какова вероятность того, что наудачу выбранная лампа из 100 данных проработает заданное время?


Задача 10

В первом ящике 2 карандаша и 4 ручки, во втором - 3 карандаша и 1 ручка. Случайным образом выбрали ящик и из него достали один предмет. Найти вероятность того, что им оказался карандаш.


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 11

Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы курса 4 студента, 6 из второй и 5 студентов из третьей. Вероятности того, что отобранный студент из первой, второй, третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0.5, 0.4 и 0.2. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой из указанных групп он вероятнее всего принадлежит?


Задача 12

Из 10 лотерейных билетов 3 выигрышных. При подготовке вечера 2 билета потеряли, и было решено добавить один выигрышный. Какой стала вероятность того, что случайно выбранным билет будет выигрышным?


Задача 13

В урне находятся 5  шаров белого цвета и 4 шара черного цвета. Три шара последовательно извлекаются из урны (без возвращения их в урну). Найти вероятность того, что третий извлеченный шар будет белым.


Задача 14

Родион Раскольников покупает себе топор. У первых трех торговцев по 15 топоров с сосновыми топорищами и по 10 топоров с дубовыми.  Имеются еще два торговца, у каждого из которых по 5 топоров с сосновыми топорищами и по 5 топоров с дубовыми. Раскольников покупает первый попавшийся топор у наугад выбранного торговца. Какова вероятность покупки топора с дубовым топорищем?


Задача 15

На базу поступили одинаковые по объему партии холодильников с двух разных заводов. Вероятность того, что холодильник проработает без поломок в течение гарантийного срока, равна 0,85, если холодильник собран на 1-ом заводе, и 0,95, если на втором. Найти вероятность того, что наугад взятый холодильник не сломается в течение гарантийного срока.


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 16

Банки закатывают два автомата с одинаковой производительностью. Доля банок с дефектом укупорки для первого автомата составляет 1%, а для второго - 0,5%. Какова вероятность того, что взятая наугад банка будет иметь дефект укупорки?


Задание 17

У рыбака есть три излюбленных места рыбалки. Эти места он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что рыба клюнет в 1-м месте – 1/3, во втором – 1/2, в 3-м – 1/4. Известно, что рыбак забросил удочку 3 раза, а вытащил только одну рыбу. Какова вероятность того, что рыбак рыбачил в первом месте?


Задача 18

В группе из 20 пациентов имеются 4 человека с заболеванием , 10 - с заболеванием  и 6 с заболеванием . Вероятность аллергической реакции при приеме витаминов для первой группы больных - 0,9, для второй - 0,7, для третьей - 0,5. Найдите вероятность того, что: а) у наудачу выбранного больного возникнет аллергическая реакция; б) у 2 наудачу выбранных больных возникнет аллергическая реакция.


Задача 19

В результате исследований, проведенных в хирургическом отделении одного лечебного учреждения, установлено, что первая группа крови встречается у 40% больных, вторая - у 30%, третья - у 20% , четвертая - у 10%. Во время операций переливание крови требуется пациентам с первой группой - 2%, второй - 1%, третьей -0,5% и четвертой -0,2%. Найдите вероятность того, что во время операции пациенту не потребуется переливание крови.


Задача 20

Покупатель пробует шестизарядный револьвер. Найти вероятность того, что при нажатии покупателем на курок раздастся выстрел, если равновозможны все предположения о количестве заряженных в револьвер патронов.