Несобственные интегралы

Краткая теория

Понятие несобственного интеграла является обобщением понятия определенного интеграла на случай, когда либо промежуток интегрирования бесконечен (интеграл имеет бесконечные пределы интегрирования), либо подынтегральная функция в некоторых точках обращается в бесконечность.

Несобственные интегралы 1-го рода

Рассмотрим несобственные интегралы первого рода.

Если функция  определена на промежутке  и при любом  существует определенный интеграл

то можно рассматривать

этот предел и называют несобственным интегралом от функции  на промежутке . Его обозначают

примем, если предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция  интегрируема на промежутке ; если же предел бесконечен или вовсе не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится, а функция  не интегрируема на .

Таким образом, по определению, если существует

то

Подобным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных промежутков:

Так как несобственные интегралы с бесконечными пределами получаются предельным переходом из соответствующих определенных (собственных) интегралов, то на первые переносятся все те свойства последних, которые сохраняются при этом предельном переходе.

Несобственные интегралы 2-го рода

Перейдем теперь к рассмотрению несобственного интеграла от неограниченной функции (несобственного интеграла второго рода). Пусть функция  определена на отрезке , за исключением точки , в окрестности которой она не ограничена. Если существует определенный интеграл

при любом , то можно рассматривать

Этот предел называется несобственным интегралом второго рода на  от неограниченной на нем функции  и обозначается

При этом, если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, а неограниченная функция  – интегрируемой на . Если же предел бесконечен или вовсе не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся, а функция  – не интегрируемой на .

Аналогично определяется несобственный интеграл для случая, когда функция  определена на отрезке , за исключением точки , в окрестности которой она не ограничена.

В случае, если точка разрыва функции  – точка  – лежит между точками  и  и несобственные интегралы на отрезках  и  существуют, то считают, то

Примеры решения задач

Задача 1

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Решение

В этом примере для вычисления неопределенного интеграла используется интегрирование путем подведения под знак дифференциала.

Несобственный интеграл сходится.

Ответ:


Задача 2

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

В этом примере для вычисления неопределенного интеграла применяется метод интегрирования по частям.

Несобственный интеграл сходится.

Ответ:


Задача 3

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

Решение

В этом примере для вычисления неопределенного интеграла используется интегрирование путем подведения под знак дифференциала.

Несобственный интеграл сходится.

 

Ответ:


Задача 4

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

Решение

В этом примере для вычисления неопределенного интеграла используется интегрирование путем подведения под знак дифференциала.

 

Ответ: несобственный интеграл расходится.