Несобственные интегралы
Краткая теория
Понятие несобственного интеграла является обобщением понятия определенного интеграла на случай, когда либо промежуток интегрирования бесконечен (интеграл имеет бесконечные пределы интегрирования), либо подынтегральная функция в некоторых точках обращается в бесконечность.
Несобственные интегралы 1-го рода
Рассмотрим несобственные интегралы первого рода.
Если функция
определена
на промежутке
и при
любом
существует
определенный интеграл
то можно рассматривать
этот
предел
и называют
несобственным интегралом от функции
на
промежутке
. Его обозначают
примем, если предел
конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция
интегрируема
на промежутке
; если же предел бесконечен или вовсе не
существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится, а функция
не интегрируема
на
.
Таким образом, по определению, если существует
то
Подобным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных промежутков:
Так как несобственные интегралы с бесконечными пределами получаются предельным переходом из соответствующих определенных (собственных) интегралов, то на первые переносятся все те свойства последних, которые сохраняются при этом предельном переходе.
Несобственные интегралы 2-го рода
Перейдем теперь к
рассмотрению несобственного интеграла от неограниченной функции (несобственного
интеграла второго рода). Пусть функция
определена
на отрезке
, за исключением точки
, в окрестности которой она не ограничена.
Если существует определенный интеграл
при любом
, то можно рассматривать
Этот предел называется
несобственным интегралом второго рода на
от
неограниченной на нем функции
и
обозначается
При этом, если
предел
существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, а
неограниченная функция
– интегрируемой
на
.
Если же
предел
бесконечен или вовсе не
существует, то несобственный интеграл называется расходящимся, а функция
– не
интегрируемой на
.
Аналогично определяется
несобственный интеграл для случая, когда функция
определена
на отрезке
, за исключением точки
, в окрестности которой она не ограничена.
В случае, если точка
разрыва функции
– точка
– лежит
между точками
и
и несобственные интегралы на отрезках
и
существуют,
то считают, то
Примеры решения задач
Задача 1
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение
В этом примере для вычисления неопределенного интеграла используется интегрирование путем подведения под знак дифференциала.
Несобственный интеграл сходится.
Ответ:
Задача 2
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
В этом примере для вычисления неопределенного интеграла применяется метод интегрирования по частям.
Несобственный интеграл сходится.
Ответ:
Задача 3
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.
Решение
В этом примере для вычисления неопределенного интеграла используется интегрирование путем подведения под знак дифференциала.
Несобственный интеграл сходится.
Ответ:
Задача 4
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.
Решение
В этом примере для вычисления неопределенного интеграла используется интегрирование путем подведения под знак дифференциала.
Ответ: несобственный интеграл расходится.