Вычисление пределов функции.
Первый и второй замечательные пределы

Краткая теория

Число  называется пределом функции  в точке , если для всех значений , достаточно близких к  и отличных от  значения функции  сколь угодно мало отличаются от числа .

Пишут:

Правила вычисления пределов

Пусть существуют пределы

Тогда:

1. Предел константы равен самой константе:

2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

4. Постоянный множитель выносится за знак предела:

5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций:

6. Показатель степени можно выносить за знак предела:

Универсальный метод, устраняющий неопределенности и носит название правила Лопиталя и рассматривается на соседней странице.

 

Примеры решения задач

Пример 1

Если  и  – целые многочлены и  или 0, то предел рациональной дроби:

находится непосредственно.

Например:


Пример 2

Если же , то дробь  рекомендуется сократить один или несколько раз на бином

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Например:


Пример 3

При отыскании предела отношения двух целых многочленов относительно  при  оба члена отношения полезно предварительно разделить на , где  – наивысшая степень этих многочленов.

Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей,  содержащих иррациональности.

Например:

1)

2)


Пример 4

Выражения, содержащие иррациональности, приводятся к рациональному виду во многих случаях путем введения новой переменной.

Например:

Полагая

получаем:

 


Пример 5

Другим приемом вычисления предела от иррационального выражения является перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наоборот, из знаменателя в числитель.

Например:


Пример 6

Первый замечательный предел

При вычислении пределов во многих случаях используется формула первого замечательного предела:

Например:


Пример 7

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел:

 

При вычислении пределов вида

следует иметь ввиду, что:

1) если существуют конечные пределы

то

2) если

то вопрос о решении предела

решается непосредственно

3) если

то полагают , где  при , и следовательно

где  - неперово число

Например:

Пример 8

Предел логарифма

При вычислении некоторых пределов полезно знать, что если существует и положителен

то

Например: