Таблица интегралов.
Непосредственное интегрирование
- Краткая теория
- Примеры интегрирования
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
- Решение тестов онлайн по высшей математике на заказ
Краткая теория
Функция
называется первообразной на интервале
для функции
, если выполняется
равенство
для всех
Функции
, где
– произвольная постоянная, также являются
первообразными для функции
, так как
. Таким образом, функция
имеет бесконечное множество первообразных,
отличающихся друг от друга на константу.
Совокупность
всех первообразных
называется неопределенным интегралом от
функции
и обозначается
Таблица основных интегралов
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
|
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
Непосредственное интегрирование осуществляется с помощью таблицы неопределенных интегралов и свойств неопределенного интеграла после преобразований подынтегрального выражения, если они требуются.
Инвариантность формы записи интеграла
Форма
записи любого из приведенных в таблице интегралов не меняется при замене
на любую дифференцированную функцию от
, то есть если
то
где
– дифференцируемая функция
Например, зная, что
имеем
Аналогично, используя
получим:
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Таблица интегралов от рациональных функций
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Интегралы от трансцендентных функций
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
Интегралы от иррациональных функций
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Интегралы от тригонометрических функций
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|
31. |
|
Основные правила интегрирования
1) Если
, то
где
– произвольная
постоянная
2)
где
– постоянная
величина
3)
Интегрирование путем подведения под знак дифференциала
Если
Это правило значительно расширяет таблицу простейших интегралов. А именно, в силу этого правила таблица интегралов оказывается справедливой, независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или дифференцируемой функцией.
Прежде чем использовать тот или иной табличный интеграл, приводим данный интеграл к виду:
Смежные темы решебника:
Примеры интегрирования
Пример 1
Найти интеграл:
Решение
Чтобы
сделать интеграл табличным,
под дифференциалом делим и умножаем на 2.
Выносим компенсирующий множитель 2 за знак дифференциала и интеграла, вычитаем
под знаком дифференциала из
число 6. В результате получаем:
Пример 2
Найти интеграл:
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Заметим,
что если сделать замену
, тогда
Модуль был снят со знаком плюс, так как в выбранном интеграле
Далее находим
и
Делая обратную подстановку, получим:
Пример 3
Найти интеграл:
Решение
Выносим
константу
за знак интеграла и применяем формулу таблицы
интегралов:
Пример 4
Найти интеграл:
Решение
Вынося
под знак дифференциала
, получим:
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Показать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x):
а)
б)
Задача 2
Дана функция f(x). Пользуясь определением первообразной, подобрать для нее две первообразные функции:
а)
б)
Задача 3
Используя инвариантность формы интеграла, найти следующие интегралы:
а)
б)
в)
Задача 4
Вынести функции под знак дифференциала:
а)
б)
Задача 5
Используя метод разложения, найти интегралы:
а)
б)