Таблица интегралов.
Непосредственное интегрирование

Краткая теория
Примеры интегрирования
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Функция называется первообразной на интервале для функции , если выполняется равенство для всех

Функции , где – произвольная постоянная, также являются первообразными для функции , так как . Таким образом, функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на константу.

Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от функции и обозначается

Таблица основных интегралов

1.
2.
3.
4.

5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.

Непосредственное интегрирование осуществляется с помощью таблицы неопределенных интегралов и свойств неопределенного интеграла после преобразований подынтегрального выражения, если они требуются.

Инвариантность формы записи интеграла

Форма записи любого из приведенных в таблице интегралов не меняется при замене на любую дифференцированную функцию от , то есть если

то

где – дифференцируемая функция

Например, зная, что

имеем

Аналогично, используя

получим:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Таблица интегралов от рациональных функций

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Интегралы от трансцендентных функций

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Интегралы от иррациональных функций

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Интегралы от тригонометрических функций

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Основные правила интегрирования

1) Если , то

где – произвольная постоянная

где – постоянная величина

Интегрирование путем подведения под знак дифференциала

Если

Это правило значительно расширяет таблицу простейших интегралов. А именно, в силу этого правила таблица интегралов оказывается справедливой, независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или дифференцируемой функцией.

Прежде чем использовать тот или иной табличный интеграл, приводим данный интеграл к виду:

Смежные темы решебника:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Примеры интегрирования

Пример 1

Найти интеграл:

Решение

Чтобы сделать интеграл табличным, под дифференциалом делим и умножаем на 2. Выносим компенсирующий множитель 2 за знак дифференциала и интеграла, вычитаем под знаком дифференциала из число 6. В результате получаем:

Пример 2

Найти интеграл:

Решение

Заметим, что если сделать замену , тогда

Модуль был снят со знаком плюс, так как в выбранном интеграле

Далее находим

Делая обратную подстановку, получим:

Пример 3

Найти интеграл:

Решение

Выносим константу за знак интеграла и применяем формулу таблицы интегралов:

Пример 4

Найти интеграл:

Решение

Вынося под знак дифференциала , получим:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Показать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x):

а)

б)

Задача 2

Дана функция f(x). Пользуясь определением первообразной, подобрать для нее две первообразные функции:

а)

б)

Задача 3

Используя инвариантность формы интеграла, найти следующие интегралы:

а)

б)

в)

Задача 4

Вынести функции под знак дифференциала:

а)

б)

Задача 5

Используя метод разложения, найти интегралы:

а)

б)

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.

Таблица интегралов.Непосредственное интегрирование

Краткая теория

Таблица основных интегралов

Инвариантность формы записи интеграла

Таблица интегралов от рациональных функций

Интегралы от трансцендентных функций

Интегралы от иррациональных функций

Интегралы от тригонометрических функций

Основные правила интегрирования

Интегрирование путем подведения под знак дифференциала

Примеры интегрирования

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Таблица интегралов.
Непосредственное интегрирование

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.