Метод интегрирования по частям.
Интегрирование методом подстановки

Интегрирование методом подстановки (замены переменной)


При интегрировании в отдельных случаях под знаком интеграла может оказаться функция, для которой не существует табличного интеграла. В то же время интегрирование методом подстановки (замены переменной) позволяет свести данный интеграл к табличному.

Полагая

где  – новая переменная и  – непрерывно дифференцируемая функция, будем иметь:

Функцию  стараются подобрать таким образом, чтобы правая часть последней формулы приобрела бы более удобный для интегрирования вид.


Пример 1


Пример 2

Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала).

Метод интегрирования по частям


Метод интегрирования по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации.

Если  и  – дифференцируемые функции, то

Иногда, чтобы свести интеграл к табличному, приходится применять формулу интегрирования по частям несколько раз. В некоторых случаях с помощью интегрирования по частям получают уравнение, из которого определяется искомый интеграл.

Интегрирование по частям можно считать результативным, если получающийся интеграл проще исходного.

Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:

Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси

Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.


Пример 3


Пример 4

Следовательно:

Искомый интеграл: