Вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла
Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями в точках и , и отрезком оси абсцисс определяется формулой:
То есть определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры.
На основании геометрического смысла определенного интеграла покоится целый класс задач на нахождение площадей фигур, ограниченных линиями.
В более общем случае, если площадь ограничена непрерывными кривыми и и двумя вертикалями и , где при , то будем иметь:
Если кривая задана уравнениями в параметрической форме , , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями, соответствующими и , и отрезком оси , выражается интегралом:
где и определяются из уравнений:
на отрезке
Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением , то площадь сектора , ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами и , соответствующими значениям и , выразится интегралом
Задача 1
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями;
Решение
Сделаем чертеж:
Искомую площадь можно найти по формуле:
В этом примере для вычисления неопределенного интеграла используется непосредственное табличное интегрирование
Ответ:
Задача 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
и осью
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Площадь криволинейной трапеции, заданной параметрически, выражается интегралом:
Ответ:
Задача 3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой
Решение
Сделаем чертеж:
Площадь фигуры, заданной в полярных координатах:
Найдем площадь одного лепестка. В этом случае:
Искомая площадь трехлепестковой розы:
Ответ: