Вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла
Краткая теория
Если непрерывная кривая задана в
прямоугольных координатах уравнением
, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой
кривой, двумя вертикалями в точках
и
, и отрезком оси абсцисс
определяется
формулой:
То есть определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры.
На основании геометрического смысла определенного интеграла покоится целый класс задач на нахождение площадей фигур, ограниченных линиями.
В более общем случае, если площадь
ограничена
непрерывными кривыми
и
и двумя
вертикалями
и
, где
при
, то будем иметь:
Если кривая задана уравнениями в
параметрической форме
,
, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой
кривой, двумя вертикалями, соответствующими
и
, и отрезком оси
, выражается интегралом:
где
и
определяются из
уравнений:
на отрезке
Если непрерывная кривая задана в
полярных координатах уравнением
, то площадь сектора
, ограниченного дугой кривой и двумя полярными
радиусами
и
, соответствующими значениям
и
, выразится интегралом
Смежные темы решебника:
Заказать решение задач, узнать цену: 
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты: 
Примеры решения задач
Пример 1
Скачать пример 1 в формате pdf
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями;
Решение
Сделаем чертеж:
Искомую площадь можно найти по формуле:
Ответ:
Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:
Пример 2
Скачать пример 2 в формате pdf
Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
и осью
Решение
Площадь криволинейной трапеции, заданной параметрически, выражается интегралом:
Ответ:
Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:
Пример 3
Скачать пример 3 в формате pdf
Вычислить
площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой
Решение
Сделаем чертеж:
Площадь фигуры, заданной в полярных координатах:
Найдем
площадь одного лепестка. В этом случае:
Искомая площадь трехлепестковой розы:
Ответ:
Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты: