Вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла

Краткая теория

Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением   , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями в точках  и , и отрезком оси абсцисс  определяется формулой:

То есть определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры.

На основании геометрического смысла определенного интеграла покоится целый класс задач на нахождение площадей фигур, ограниченных линиями.

В более общем случае, если площадь  ограничена непрерывными кривыми  и  и двумя вертикалями  и , где  при , то будем иметь:

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме , , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями, соответствующими  и , и отрезком оси , выражается интегралом:

где  и  определяются из уравнений:

 на отрезке

 

Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением , то площадь сектора , ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами  и , соответствующими значениям  и , выразится интегралом

Примеры решения задач

Задача 1

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями;

Решение

Сделаем чертеж:

Искомую площадь можно найти по формуле:

В этом примере для вычисления неопределенного интеграла используется непосредственное табличное интегрирование

Ответ:


Задача 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды

и осью

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Площадь криволинейной трапеции, заданной параметрически, выражается интегралом:

Ответ:


Задача 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой

Решение

Сделаем чертеж:

Untitled-1.emf

Площадь фигуры, заданной в полярных координатах:

Найдем площадь одного лепестка. В этом случае:

Искомая площадь трехлепестковой розы:

Ответ: