Платная помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач, домашних работ и контрольных вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Telegram или электроннной почтой, сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие.
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Высшая математика и физика, теория вероятностей, линейное программирование, статистика, эконометрика, финансовая математика, методы и модели, оптимальные решения.
На цену сильно влияет срочность решения. Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла

Краткая теория

Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением   , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями в точках  и , и отрезком оси абсцисс  определяется формулой:

То есть определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры.

На основании геометрического смысла определенного интеграла покоится целый класс задач на нахождение площадей фигур, ограниченных линиями.

В более общем случае, если площадь  ограничена непрерывными кривыми  и  и двумя вертикалями  и , где  при , то будем иметь:

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме , , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями, соответствующими  и , и отрезком оси , выражается интегралом:

где  и  определяются из уравнений:

 на отрезке

 

Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением , то площадь сектора , ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами  и , соответствующими значениям  и , выразится интегралом

Примеры решения задач

Пример 1

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями;

Решение:

Сделаем чертеж:

Искомую площадь можно найти по формуле:

В этом примере для вычисления неопределенного интеграла используется непосредственное табличное интегрирование

Ответ:

 

 

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды

и осью

Решение:

Задали объемную домашнюю работу или контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение задач, домашних работ, контрольных или онлайн-помощь на зачете/экзамене ⟩⟩

Если вам сейчас не требуется помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.

Площадь криволинейной трапеции, заданной параметрически, выражается интегралом:

Ответ:

 

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой

Решение:

Сделаем чертеж:

Untitled-1.emf

Площадь фигуры, заданной в полярных координатах:

Найдем площадь одного лепестка. В этом случае:

Искомая площадь трехлепестковой розы:

Ответ:

К оглавлению решебника по высшей математике