Объемы тел вращения

Краткая теория

Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и двумя вертикалями и , вокруг осей и , выражаются соответственно формулами:

Объем тела, образованного вращением около оси фигуры, ограниченной кривой , осью и двумя параллелями и , можно определять по формуле:

Если кривая задана в иной форме (параметрически, в полярных координатах и т.д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответствующую замену переменной интегрирования.

В более общем случае объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной кривыми и (причем ) и прямыми , , вокруг координатных осей и , соответственно равны:

Объем тела, полученного при вращении сектора, ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами , , вокруг полярной оси, может быть вычислен по формуле:

Этой же формулой удобно пользоваться при отыскании объема тела, полученного вращением вокруг полярной оси фигуры, ограниченной некоторой замкнутой кривой, заданной в полярных координатах.

Если – площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к некоторой прямой (которую принимаем за ось ), в точке с абсциссой , то объем этого тела равен:

где и – абсциссы крайних сечений тела.

Примеры решения задач

Задача 1

С помощью определенного интеграла вычислить объем тела, полученного вращением фигуры вокруг указанной оси координат.

вокруг оси

Решение

Сделаем чертеж:

Объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры можно найти по формуле:

В нашем случае получаем

Ответ:

Задача 2

Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: и .

Решение

Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:

Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси

Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.

Сделаем чертеж:

Объем тела можно найти по формуле:

Ответ:

Задача 3

Определить объем, образованный вращением кривой

вокруг полярной оси.

Решение

Ответ:

Задача 4

Вычислить объем тела, ограниченного однополосным гиперболоидом

и плоскостями .

Решение

Здесь удобнее рассмотреть сечения данного тела плоскостями, перпендикулярными к оси . Тогда объем выразится формулой:

где – площадь получаемого сечения, зависящая от точки с аппликатой , через которую проходит секущая плоскость. При пересечении однополосного гиперболоида плоскостью получается эллипс, который можно определить уравнениями:

откуда следует, что полуоси эллипса:

Учитывая, что площадь эллипса с полуосями и равна , воспользовавшись параметрическим заданием эллипса:

мы можем записать аналитическое выражение функции :

Тогда искомый объем:

Ответ: