Объемы тел вращения

Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью  и двумя вертикалями  и , вокруг осей  и , выражаются соответственно формулами:

Объем тела, образованного вращением около оси  фигуры, ограниченной кривой , осью  и двумя параллелями  и , можно определять по формуле:

Если кривая задана в иной форме (параметрически, в полярных координатах и т.д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответствующую замену переменной интегрирования.

В более общем случае объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной кривыми  и  (причем ) и прямыми , , вокруг координатных осей  и , соответственно равны:

Объем тела, полученного при вращении сектора, ограниченного дугой кривой  и двумя полярными радиусами , , вокруг полярной оси, может быть вычислен по формуле:

Этой же формулой удобно пользоваться при отыскании объема тела, полученного вращением вокруг полярной оси фигуры, ограниченной некоторой замкнутой кривой, заданной в полярных координатах.

Если  – площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к некоторой прямой (которую принимаем за ось ), в точке с абсциссой , то объем этого тела равен:

где  и  – абсциссы крайних сечений тела.