Объемы тел вращения

Краткая теория


Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью  и двумя вертикалями  и , вокруг осей  и , выражаются соответственно формулами:

Объем тела, образованного вращением около оси  фигуры, ограниченной кривой , осью  и двумя параллелями  и , можно определять по формуле:

Если кривая задана в иной форме (параметрически, в полярных координатах и т.д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответствующую замену переменной интегрирования.

В более общем случае объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной кривыми  и  (причем ) и прямыми , , вокруг координатных осей  и , соответственно равны:

Объем тела, полученного при вращении сектора, ограниченного дугой кривой  и двумя полярными радиусами , , вокруг полярной оси, может быть вычислен по формуле:

Этой же формулой удобно пользоваться при отыскании объема тела, полученного вращением вокруг полярной оси фигуры, ограниченной некоторой замкнутой кривой, заданной в полярных координатах.

 

Если  – площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к некоторой прямой (которую принимаем за ось ), в точке с абсциссой , то объем этого тела равен:

где  и  – абсциссы крайних сечений тела.

Примеры решения задач


Задача 1

С помощью определенного интеграла вычислить объем тела, полученного вращением фигуры  вокруг указанной оси координат.

вокруг оси

Решение

Сделаем чертеж:

Объем тела, образованного вращением вокруг оси  фигуры можно найти по формуле:

В нашем случае получаем

 

Ответ:


Задача 2

Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:  и .

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Сделаем чертеж:

Объем тела можно найти по формуле:

 

Ответ:


Задача 3

Определить объем, образованный вращением кривой

вокруг полярной оси.

Решение

 

Ответ:


Задача 4

Вычислить объем тела, ограниченного однополосным гиперболоидом

и плоскостями .

Решение

Здесь удобнее рассмотреть сечения данного тела плоскостями, перпендикулярными к оси . Тогда объем выразится формулой:

где  – площадь получаемого сечения, зависящая от точки с аппликатой , через которую проходит секущая плоскость. При пересечении однополосного гиперболоида плоскостью  получается эллипс, который можно определить уравнениями:

откуда следует, что полуоси эллипса:

Учитывая, что площадь эллипса с полуосями  и  равна , воспользовавшись параметрическим заданием эллипса:

мы можем записать аналитическое выражение функции :

Тогда искомый объем:

 

Ответ: