Платная помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач, домашних работ и контрольных вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Telegram или электроннной почтой, сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие.
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Высшая математика и физика, теория вероятностей, линейное программирование, статистика, эконометрика, финансовая математика, методы и модели, оптимальные решения.
На цену сильно влияет срочность решения. Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Объемы тел вращения

Краткая теория

Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью  и двумя вертикалями  и , вокруг осей  и , выражаются соответственно формулами:

Объем тела, образованного вращением около оси  фигуры, ограниченной кривой , осью  и двумя параллелями  и , можно определять по формуле:

Если кривая задана в иной форме (параметрически, в полярных координатах и т.д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответствующую замену переменной интегрирования.

В более общем случае объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной кривыми  и  (причем ) и прямыми , , вокруг координатных осей  и , соответственно равны:

Объем тела, полученного при вращении сектора, ограниченного дугой кривой  и двумя полярными радиусами , , вокруг полярной оси, может быть вычислен по формуле:

Этой же формулой удобно пользоваться при отыскании объема тела, полученного вращением вокруг полярной оси фигуры, ограниченной некоторой замкнутой кривой, заданной в полярных координатах.

 

Если  – площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к некоторой прямой (которую принимаем за ось ), в точке с абсциссой , то объем этого тела равен:

где  и  – абсциссы крайних сечений тела.

Примеры решения задач

Пример 1

С помощью определенного интеграла вычислить объем тела, полученного вращением фигуры  вокруг указанной оси координат.

вокруг оси

Решение:

Сделаем чертеж:

Объем тела, образованного вращением вокруг оси  фигуры можно найти по формуле:

В нашем случае получаем

Ответ:

Пример 2

Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:  и .

Решение:

Сделаем чертеж:

Объем тела можно найти по формуле:

Ответ:

Пример 3

Определить объем, образованный вращением кривой

вокруг полярной оси.

Решение:

Ответ:

Пример 4

Вычислить объем тела, ограниченного однополосным гиперболоидом

и плоскостями .

Решение:

Задали объемную домашнюю работу или контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение задач, домашних работ, контрольных или онлайн-помощь на зачете/экзамене ⟩⟩

Если вам сейчас не требуется помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.

Здесь удобнее рассмотреть сечения данного тела плоскостями, перпендикулярными к оси . Тогда объем выразится формулой:

где  – площадь получаемого сечения, зависящая от точки с аппликатой , через которую проходит секущая плоскость. При пересечении однополосного гиперболоида плоскостью  получается эллипс, который можно определить уравнениями:

откуда следует, что полуоси эллипса:

Учитывая, что площадь эллипса с полуосями  и  равна , воспользовавшись параметрическим заданием эллипса:

мы можем записать аналитическое выражение функции :

Тогда искомый объем:

Ответ:

К оглавлению решебника по высшей математике