Исследовать функцию и построить график
Краткая теория
Наиболее наглядное представление о ходе изменения функции дает ее график. Поэтому построение графика является заключительным этапом исследования функции, в котором используются все результаты ее исследования.
Схема исследования функции с последующим построением графика такова:
- Исследование области определения функции.
- Исследование функции на четность и нечетность.
- Нахождение точек пересечения графика с осями координат
- Исследование функции на точки разрыва. Нахождение вертикальных асимптот. Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.
- Исследование функции на экстремум и интервалы монотонности функции.
- Исследование функции на интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Нахождение точек перегиба графика функции.
- Построение графика функции.
Полученные данные следует использовать для построения графика функции. Если исследуемая функция является четной или нечетной, то ее достаточно исследовать при неотрицательных значениях аргумента из множества ее задания и принять во внимание, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Если, например, функция имеет период
,
то следует построить график на отрезке
,
а затем продолжить его периодически на всю числовую ось.
Кроме того, если полученных данных окажется недостаточно, то следует,
воспользовавшись уравнением
,
найти дополнительные точки графика, в которых его изменение менее ясно.
Разумеется, в процессе исследования функции не обязательно придерживаться приведенной схемы, иногда порядок исследования полезно выбрать, исходя из конкретных особенностей данной функции.
Примеры решения задач
Задача 1
Исследовать функцию и построить ее график:
Решение
1) Область определения функции:
2) Исследуем функцию на четность-нечетность:
Функция является четной
3) Находим точки пересечения с осями координат:
График функции пересекает ось
в точках
и
.
Ось
график функции не пересекает.
4) Исследуем функцию на непрерывность, точки разрыва, вертикальные и наклонные асимптоты:
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
В точке
существует разрыв 2-го рода.
Прямая
–вертикальная асимптота.
Для нахождения наклонной асимптоты вычисляем пределы:
–горизонтальная асимптота
5) Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции.
Первая производная на области определения в нуль не обращается
-функция возрастает
-функция убывает
6) Исследуем функцию на интервалы выпуклости и вогнутости.
Вторая производная функции не равна нулю на всей области определения
–график
функции вогнутый
–
график функции вогнутый
7) График функции имеет вид:
Задача 2
Исследовать функцию и построить ее график:
Решение
1) Область определения функции:
2) Исследуем функцию на четность-нечетность:
Функция является нечетной
3) График функции оси координат не пересекает
4) Исследуем функцию на непрерывность, точки разрыва, вертикальные и наклонные асимптоты:
В точке
существует разрыв 2-го рода.
Прямая
–вертикальная асимптота.
Для нахождения наклонной асимптоты вычисляем пределы:
–наклонная асимптота
5) Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции.
Приравняем найденную производную к нулю и решим полученное уравнение:
-функция возрастает
-функция убывает
-функция убывает
-функция возрастает
6) Исследуем функцию на интервалы выпуклости и вогнутости.
Вторая производная функции не равна нулю на всей области определения
–график
функции выпуклый
–
график функции вогнутый
7) График функции имеет вид:
Задача 3
Исследовать функцию и построить ее график.
Решение
1) Область определения функции:
2) Исследуем функцию на четность-нечетность:
Функция не обладает свойствами четности - нечетности
3) Находим точки пересечения с осями координат:
График пересекает ось
в точке (-0618, 0) и (1.618, 0)
4) Исследуем функцию на непрерывность, точки разрыва, вертикальные и наклонные асимптоты:
Точка
является точкой разрыва функции 2-го рода, а
прямая
-вертикальной асимптотой графика функции.
Точка
является точкой разрыва функции 2-го рода, а
прямая
-вертикальной асимптотой графика функции.
Для нахождения наклонной асимптоты вычисляем пределы:
Прямая
–горизонтальная асимптота
5) Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции.
Приравняем найденную производную к нулю и решим полученное уравнение:
Полученное уравнение действительных корней не имеет
– функция убывает
– функция убывает
– функция убывает
6) Исследуем функцию на интервалы выпуклости и вогнутости.
– график функции выпуклый
– график функции вогнутый
– график функции выпуклый
– график функции вогнутый
7) График функции имеет вид:
