Исследовать функцию и построить график

Краткая теория

Наиболее наглядное представление о ходе изменения функции дает ее график. Поэтому построение графика является заключительным этапом исследования функции, в котором используются все результаты ее исследования.

Схема исследования функции с последующим построением графика такова:

  • Исследование области определения функции.
  • Исследование функции на четность и нечетность.
  • Нахождение точек пересечения графика с осями координат
  • Исследование функции на точки разрыва. Нахождение вертикальных асимптот. Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.
  • Исследование функции на экстремум и интервалы монотонности функции.
  • Исследование функции на интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Нахождение точек перегиба графика функции.
  • Построение графика функции.

Полученные данные следует использовать для построения графика функции. Если исследуемая функция является четной или нечетной, то ее достаточно исследовать при неотрицательных значениях аргумента из множества ее задания и принять во внимание, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если, например, функция имеет период , то следует построить график на отрезке , а затем продолжить его периодически на всю числовую ось.

Кроме того, если полученных данных окажется недостаточно, то следует, воспользовавшись уравнением , найти дополнительные точки графика, в которых его изменение менее ясно.

Разумеется, в процессе исследования функции не обязательно придерживаться приведенной схемы, иногда порядок исследования полезно выбрать, исходя из конкретных особенностей данной функции.

Примеры решения задач

Задача 1

Исследовать функцию и построить ее график:

Решение

1) Область определения функции:  

 

2) Исследуем функцию на четность-нечетность:

Функция является четной

 

3) Находим точки пересечения с осями координат:

График функции  пересекает ось  в точках  и . Ось  график функции не пересекает.

 

4) Исследуем функцию на непрерывность, точки разрыва, вертикальные и наклонные асимптоты:

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

В точке  существует разрыв 2-го рода.  

Прямая  –вертикальная асимптота. 

Для нахождения наклонной асимптоты вычисляем пределы:

 –горизонтальная  асимптота  

5) Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции.

Первая производная на области определения в нуль не обращается

 -функция возрастает

 -функция убывает

6) Исследуем функцию на интервалы выпуклости и вогнутости.

Вторая производная функции не равна нулю на всей области определения

–график функции вогнутый

– график функции вогнутый

7) График функции имеет вид:   

 


Задача 2

Исследовать функцию и построить ее график:

Решение

1) Область определения функции:  

 

2) Исследуем функцию на четность-нечетность:

Функция является нечетной

 

3) График функции оси координат не пересекает 

 

4) Исследуем функцию на непрерывность, точки разрыва, вертикальные и наклонные асимптоты:

В точке  существует разрыв 2-го рода.  

Прямая  –вертикальная асимптота. 

 

Для нахождения наклонной асимптоты вычисляем пределы:

 –наклонная асимптота

 

5) Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции.

Приравняем найденную производную к нулю и решим полученное уравнение:

 -функция возрастает

 -функция убывает

 -функция убывает

 -функция возрастает

 

6) Исследуем функцию на интервалы выпуклости и вогнутости.

Вторая производная функции не равна нулю на всей области определения

–график функции выпуклый

– график функции вогнутый

 

7) График функции имеет вид:


Задача 3

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение

1) Область определения функции: 

 

2) Исследуем функцию на четность-нечетность:

Функция не обладает свойствами четности - нечетности

 

3) Находим точки пересечения с осями координат:

График пересекает ось  в точке (-0618, 0)   и (1.618, 0)

 

4) Исследуем функцию на непрерывность, точки разрыва, вертикальные и наклонные асимптоты:

Точка  является точкой разрыва функции 2-го рода, а прямая  -вертикальной асимптотой графика функции.

Точка  является точкой разрыва функции 2-го рода, а прямая  -вертикальной асимптотой графика функции.

Для нахождения наклонной асимптоты вычисляем пределы:

Прямая  –горизонтальная асимптота  

 

5) Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции.

Приравняем найденную производную к нулю и решим полученное уравнение:

Полученное уравнение действительных корней не имеет

 – функция убывает 

 – функция убывает 

 – функция убывает 

 

6) Исследуем функцию на интервалы выпуклости и вогнутости.

 – график функции выпуклый   

 – график функции вогнутый   

 – график функции выпуклый   

 – график функции вогнутый   

7) График функции имеет вид: