Непрерывность и точки разрыва функции

Краткая теория

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и

или

Если для функции существует предел

а функция непрерывна в точке , то существует

(то есть знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами).

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого множества, то она называется непрерывной на этом множестве (в граничных точках множества имеется в виду непрерывность слева или справа).

Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть непрерывная функция.

Частное от деления двух непрерывных функций есть функция, непрерывная во всех точках, в которых знаменатель не равен нулю.

Всякая элементарная функция непрерывна на своем множестве задания.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки . Точку называют точкой разрыва функции в следующих случаях:

функция не определена в этой точке;
функция определена в точке , но не существует предел
или, если он существует, то (то есть )

Точки разрыва подразделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Если в точке разрыва существуют оба односторонних предела и , то называется точкой разрыва первого рода функции , а разность – скачком функции в точке .

Точку разрыва первого рода, в которой , называют точкой устранимого разрыва.

Если хотя бы один из пределов или не существует (в частности, равен или ), то называется точкой разрыва второго рода.

Если – точка разрыва функции , то эту функцию называют разрывной в точке .

Примеры решения задач

Задача 1

Заданы функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.

Решение

Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:

Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси

Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.

При -в этой точке функция не определена.

Вычисляем пределы:

В точке функция терпит разрыв 2-го рода

При

Вычисляем пределы:

В точке функция непрерывна

Задача 2

Исследовать на непрерывность данные функции. Сделать чертеж.

Решение

Функция задана на трех промежутках различными аналитическими выражениями. Каждое из этих выражений представляет собой элементарную функцию, которая является непрерывной на заданном промежутке. Поэтому функция может иметь разрывы лишь в точках, где меняется ее аналитическое выражение.

Исследуем на непрерывность в каждой из этих точек.

В точке :

Вычисляем пределы:

В точке правый предел функции не равен левому. В точке функция терпит разрыв 1-го рода.

В точке :

Вычисляем пределы:

Односторонние пределы в точке равны между собой и равны значению функции в этой точке. В точке функция непрерывна.

Сделаем чертеж.