Непрерывность и точки разрыва функции

Функция  называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и

или

Если для функции  существует предел

а функция  непрерывна в точке , то существует

(то есть знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами).

Если функция  непрерывна в каждой точке некоторого множества, то она называется непрерывной на этом множестве (в граничных точках множества имеется в виду непрерывность слева или справа).

Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть непрерывная функция.

Частное от деления двух непрерывных функций есть функция, непрерывная во всех точках, в которых знаменатель не равен нулю.

Всякая элементарная функция непрерывна на своем множестве задания.

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки . Точку   называют точкой разрыва функции  в следующих случаях:

• функция  не определена в этой точке;
• функция  определена в точке , но не существует предел
  или, если он существует, то (то есть )

Точки разрыва подразделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Если в точке разрыва  существуют оба односторонних предела  и , то  называется точкой разрыва первого рода функции , а разность  – скачком функции  в точке .

Точку  разрыва первого рода, в которой , называют точкой устранимого разрыва.

Если хотя бы один из пределов  или  не существует (в частности, равен  или ), то  называется точкой разрыва второго рода.

Если  – точка разрыва функции , то эту функцию называют разрывной в точке .