К оглавлению решебника

Линия в полярной системе координат

Краткая теория

Возьмем на плоскости произвольную точку и некоторую ось , проходящую через эту точку. Ось может быть задана, например, единичным направленным отрезком .

Произвольную точку плоскости, не совпадающую с точкой , можно задать двумя числами: - длиной отрезка и - углом, который образует отрезок с осью в положительном направлении.

Числа и называются полярными координатами точки . При этом называется полярным радиусом точки , а - ее полярным углом. Совокупность точки , оси и единичного направления отрезка образует систему координат на плоскости, которая называется полярной системой . Точка называется полюсом , а ось - полярной осью. Точка характеризуется условием . Однако угол для этой точки не определен.

Будем считать, что полярные координаты точек плоскости изменяются в следующих пределах: , .

Для построения точки по полярным координатам необходимо построить луч, на котором лежит искомая точка, и на этом луче от полюса отложить отрезок, длина которого равна полярному радиусу.

Пусть на плоскости выбраны одновременно полярные и прямоугольные системы координат таким образом, что полюс совпадает с началом, а полярная ось - с положительным направлением оси абсцисс.

Если произвольная точка в полярной системе имеет координатами числа и , а в прямоугольной , , то очевидно, что:

Таким образом, полярные и прямоугольные координаты одной и той же точки плоскости при указанном выборе систем координат связаны этими соотношениями.

Необходимо учесть, что из формулы

по заданным значениям и не определяется однозначно. Поэтому при определении следует учесть, что:

При определении полярного угла можно не пользоваться этой формулой, если взять равенства:

Смежные темы решебника:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Примеры решения задач

Пример 1

Скачать пример 1 в формате pdf

Линия задана уравнением  в полярной системе координат. Требуется:

  • Построить линию по точкам начиная с  до  и придавая  значения через промежуток ;
  • Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;
  • По уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Решение

Построим линию по точкам, предварительно заполнив таблицу значений r и φ:     

 
1 0 1 9 0,556
2 0,924 8,772 0,570
3 0,707 8,121 0,616
4 0,383 7,148 0,699
5 0,000 6,000 0,833
6 -0,383 4,852 1,031
7 -0,707 3,879 1,289
8 -0,924 3,228 1,549
9 -1 3 1,667
10 -0,924 3,228 1,549
11 -0,707 3,879 1,289
12 -0,383 4,852 1,031
13 0,000 6,000 0,833
14 0,383 7,148 0,699
15 0,707 8,121 0,616
16 0,924 8,772 0,570
17 1 9 0,556

Используя данные таблицы, строим линию.

  • Отмечаем полюс и указываем масштаб.
  • С помощью транспортира прочерчиваем угловые направления
  • Циркулем и линейкой отмечаем найденные точки
  • Отложенные точки соединяем линией

 

График в полярной системе координат имеет вид: 

Найдем уравнение данной линии в декартовой системе координат:

Подставляя в исходное уравнение в полярных координатах, получаем:

Полученная линия -эллипс

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Пример 2

Скачать пример 2 в формате pdf

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток .

2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс - с полярной осью; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе определить, какая это линия.

Решение

Построим линию по точкам, предварительно заполнив таблицу значений и :


1 0 1 -1 -5
2 0,924 -0,696 -7,184
3 0,707 0,172 29,070
4 0,383 1,468 3,406
5 0,000 3,000 1,667
6 -0,383 4,532 1,103
7 -0,707 5,828 0,858
8 -0,924 6,696 0,747
9 -1 7,000 0,714
10 -0,924 6,696 0,747
11 -0,707 5,828 0,858
12 -0,383 4,532 1,103
13 0,000 3,000 1,667
14 0,383 1,468 3,406
15 0,707 0,172 29,070
16 0,924 -0,696 -7,184
17 1 -1 -5

Используя данные таблицы, строим линию:

Найдем уравнение данной линии в декартовой системе координат:

Полученная линия -гипербола

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Пример 3

Скачать пример 3 в формате pdf

Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс - с полярной осью; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить какая это линия.

Решение

Построим линию по точкам, предварительно заполнив таблицу значений и :


1 0 1 0 --
2 0,924 0,08 78,947
3 0,707 0,29 20,478
4 0,383 0,62 9,724
5 0,000 1 6,000
6 -0,383 1,38 4,338
7 -0,707 1,71 3,515
8 -0,924 1,92 3,119
9 -1 2 3,000
10 -0,924 1,92 3,119
11 -0,707 1,71 3,515
12 -0,383 1,38 4,338
13 0,000 1 6,000
14 0,383 0,62 9,724
15 0,707 0,29 20,478
16 0,924 0,08 78,947
17 1 0 ---

Используя данные таблицы, строим линию:

Найдем уравнение данной линии в декартовой системе координат:

Полученная линия -парабола

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

К оглавлению решебника