Разложение векторов по векторам базиса

Краткая теория

Вектор  называется линейной комбинацией векторов  векторного пространства , если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

где  – какие угодно действительные числа

Векторы  векторного пространства  называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что

В противном случае векторы  называются линейно независимыми.

Из приведенных выше определений следует, что векторы  линейно независимы, если последнее равенство справедливо лишь при , и линейно зависимы, если равенство выполняется, когда хотя бы одно из чисел  отлично от нуля.

Можно показать, что если векторы  линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через все остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается через остальные, что все эти векторы в совокупности линейно зависимые.

Примеров линейно независимых векторов являются два неколлениарных на плоскости или три некомпланарных в трехмерном пространстве, т.е. определитель, составленный из координат этих векторов должен быть не равен нулю.

Пример решения задачи

Задача

Даны векторы  и  в некотором базисе. Показать, что векторы  образуют базис, и найти координаты вектора  в этом базисе.

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Составим из координат векторов определитель и вычислим его:  

Определитель не равен нулю, следовательно, система векторов является линейно-независимой и образует базис трехмерного пространства.

Вектор  единственным образом разлагается по векторам этого базиса.

 

Приравнивая соответствующие координаты векторов, получаем следующую систему 3-х линейных уравнений: 

 

Решим систему уравнений методом Крамера:

 

 

 

Ответ:

Координаты вектора  в базисе векторов  или