Разложение векторов по векторам базиса
Вектор
называется линейной комбинацией векторов
векторного пространства
,
если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные
числа:
где
– какие угодно действительные числа
Векторы
векторного пространства
называются линейно зависимыми, если существуют
такие числа
,
не равные одновременно нулю, что
В противном случае векторы
называются линейно независимыми.
Из приведенных выше определений следует, что векторы
линейно независимы, если последнее равенство
справедливо лишь при
,
и линейно зависимы, если равенство выполняется, когда хотя бы одно из чисел
отлично от нуля.
Можно показать, что если векторы
линейно зависимы, то
по крайней мере один из них линейно выражается через все остальные. Верно и
обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается через
остальные, что все эти векторы в совокупности линейно зависимые.
Примеров линейно независимых векторов являются два неколлениарных на плоскости или три некомпланарных в трехмерном пространстве, т.е. определитель, составленный из координат этих векторов должен быть не равен нулю.
Задача
Даны векторы
и
в
некотором базисе. Показать, что векторы
образуют
базис, и найти координаты вектора
в
этом базисе.
Решение
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Составим из координат векторов определитель и вычислим его:
Определитель не равен нулю, следовательно, система векторов является линейно-независимой и образует базис трехмерного пространства.
Вектор
единственным образом разлагается по векторам
этого базиса.
Приравнивая соответствующие координаты векторов, получаем следующую систему 3-х линейных уравнений:
Решим систему уравнений методом Крамера:
Ответ:
Координаты вектора
в базисе векторов
или