К оглавлению решебника

Расчет пирамиды (тетраэдра) с помощью векторов

Краткая теория

Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.

Расстояние между двумя точками:

Косинус угла между двумя векторами:

Векторное произведение:

Смешанное произведение:


Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору:

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору:

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач

Пример

Скачать пример в формате pdf

Даны координаты вершин пирамиды  . Найти:

  • длину ребра ;
  • угол между ребрами  и ;
  • угол между ребром  и гранью ; 
  • площадь грани ;
  • объем пирамиды;
  • уравнения прямой ;
  • уравнение плоскости ;
  • уравнения высоты, опущенной из вершины  на грань .

Сделать чертеж.

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98


Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Решение

Длина ребра

Длину ребра  найдем по формуле расстояния между 2-мя точками:

Угол между ребрами

Угол между ребрами  и  найдем как угол между направляющими векторами   и :

Косинус угла между векторами:

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Вычислим угол между ребром  и гранью .

Для этого вычислим координаты нормального вектора плоскости  –им будет векторное произведение векторов   и .

 

Найдем векторное произведение. Для этого вычислим определитель:

Нормальный вектор плоскости:   

Синус угла:

 

Площадь грани

Вычислим площадь грани . Она будет численно равна половине модуля векторного произведения векторов     и  :

Искомая площадь:

 

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Вычислим объем пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов   и :

Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:

Искомый объем пирамиды:

Уравнение прямой в пространстве

Вычислим уравнение прямой .  Направляющим вектором искомой прямой является вектор . Кроме того, прямая проходит через точку  

Уравнение искомой прямой:

 

Уравнение плоскости

Вычислим уравнение плоскости . Нормальный вектор плоскости . кроме того, плоскость проходит через точку

 -уравнение грани  

 

Уравнение высоты, опущенной на грань

Составим уравнение высоты, опущенной на грань  из вершины :

Нормальный вектор  является направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку  

Искомое уравнение высоты:

Сделаем схематический чертеж:

К оглавлению решебника