К оглавлению решебника

Аналитическая геометрия - задача на расчет пирамиды (тетраэдра)

Краткая теория

Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат. Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное - разобраться и уделить задаче достаточно времени.

Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.

Пример решения задачи

Задача

Даны координаты вершин пирамиды  . Найти:

  • длину ребра ;
  • угол между ребрами  и ;
  • угол между ребром  и гранью ; 
  • площадь грани ;
  • объем пирамиды;
  • уравнения прямой ;
  • уравнение плоскости ;
  • уравнения высоты, опущенной из вершины  на грань .

Сделать чертеж.

Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:

Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси

Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.

Решение

Длина ребра

Длину ребра  найдем по формуле расстояния между 2-мя точками:

Угол между ребрами

Угол между ребрами  и  найдем как угол между направляющими векторами   и :

Косинус угла между векторами:

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Вычислим угол между ребром  и гранью .

Для этого вычислим координаты нормального вектора плоскости  –им будет векторное произведение векторов   и .

 

Найдем векторное произведение. Для этого вычислим определитель:

Нормальный вектор плоскости:   

Синус угла:

 

Площадь грани

Вычислим площадь грани . Она будет численно равна половине модуля векторного произведения векторов     и  :

Искомая площадь:

 

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Вычислим объем пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов   и :

Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:

Искомый объем пирамиды:

Уравнение прямой в пространстве

Вычислим уравнение прямой .  Направляющим вектором искомой прямой является вектор . Кроме того, прямая проходит через точку  

Уравнение искомой прямой:

 

Уравнение плоскости

Вычислим уравнение плоскости . Нормальный вектор плоскости . кроме того, плоскость проходит через точку

 -уравнение грани  

 

Уравнение высоты, опущенной на грань

Составим уравнение высоты, опущенной на грань  из вершины :

Нормальный вектор  является направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку  

Искомое уравнение высоты:

Сделаем схематический чертеж:

К оглавлению решебника