Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Краткая теория

Пусть дана система из  линейных уравнений с  неизвестными :

Числа  называются коэффициентами системы, а числа  – свободными членами.

Матрица

называется матрицей системы, а ее определитель  – определителем системы.

Пусть определитель системы отличен от нуля.

Обозначим матрицу-столбец из неизвестных через  и матрицу-столбец из свободных членов через :

Согласно правилу умножения матриц имеем:

Используя определение равенства матриц, данную систему можно записать следующим образом:

Последнее равенство называется матричным уравнением (здесь в роли неизвестного выступает матрица ). Так как по условию , то для матрицы  существует обратная матрица . Умножим обе части уравнения слева на :

Используя сочетательный закон умножения матриц можно написать:

Так как  и , то получаем решение матричного уравнения в виде:

Другие методы решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

Пример решения задачи

Условие задачи

Решить систему матричным методом (с помощью обратной матрицы):

Решение задачи

Решим СЛАУ матричным методом. Для этого найдем обратную матрицу:

Алгебраические дополнения:

Получаем обратную матрицу:

Решение системы уравнений получим, перемножив матрицы:

 

Ответ:

К оглавлению решебника по высшей математике