Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Онлайн-помощь в сдаче экзамена/зачета/контрольной по высшей математике
Краткая теория
Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних по номеру переменных находятся все остальные переменные.
Система
линейных уравнений с
переменными имеет вид:
где
– произвольные числа, называемые
соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.
Предположим, что в системе
коэффициент при переменной
в первом уравнении
(если это не так, то перестановкой уравнений
местами добьемся того, что
).
Шаг 1. Умножая первое
уравнение на подходящие числа (а именно на
)
и прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему,…,
-му
уравнению системы, исключим переменную
из всех последующих уравнений системы, начиная
со второго. Получим:
буквами с верхним индексом (1) обозначены новые коэффициенты, полученные после первого шага.
Шаг 2. Предположим
(если это не так, то перестановкой уравнений
местами или переменных с изменением их номеров
добьемся того, что
).
Умножая первое уравнение на
подходящие числа (а именно на
)
и прибавляя полученные уравнения соответственно к третьему, четвертому,…,
-му
уравнению системы, исключим переменную
из всех последующих уравнений системы, начиная
с третьего.
Продолжая процесс
последовательного исключения переменных, после
–го шага получим
систему:
Нулю в последних
уравнениях означает, что их левые части имеют
вид
.
Если хотя бы одно из чисел
не равно нулю, то соответствующее равенство
противоречиво и система несовместна.
Таким образом, для любой
совместной системы числа
равны нулю. В этом случае последние
уравнений являются тождествами и их можно не
принимать во внимание при решении исходной системы. Очевидно, что при
отбрасывании лишних уравнений возможны два случая: а) число уравнений системы
равно числу переменных, то есть
(в этом случае преобразованная система имеет
треугольный вид); б)
(в этом случае система имеет ступенчатый вид).
Переход исходной системы к преобразованной равносильной ей системе называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из преобразованной системы – обратным ходом.
Преобразования Гаусса удобной производить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов. Рассмотрим матрицу:
называемую
расширенной матрицей системы, ибо в нее, кроме матрицы
, дополнительно включен столбец свободных членов.
Другие методы решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
Примеры решения задач
Задача
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Приведем расширенную матрицу системы к диагональному виду.
Шаг 1.
Умножим 1-ю строку на 2, 3-ю строку на 2. Вычтем 1-ю строку из 2-й, 3-й. Упростим строки, для этого 1-ю строку разделим на 2, 3-ю строку разделим на 2.
Шаг 2.
Умножим 2-ю строку на 2. Вычтем 2-ю строку из 3-й. Упростим строки, для этого 2-ю строку разделим на 2, 3-ю строку разделим на 7.
Исходная система уравнений в соответствии с элементарными преобразованиями эквивалента следующей системе:
Ответ:
.