Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних по номеру переменных находятся все остальные переменные.

Система  линейных уравнений с  переменными имеет вид:

где  – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Предположим, что в системе коэффициент при переменной  в первом уравнении  (если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, что ).

Шаг 1.  Умножая первое уравнение на подходящие числа (а именно на ) и прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему,…, -му уравнению системы, исключим переменную  из всех последующих уравнений системы, начиная со второго. Получим:

буквами с верхним индексом (1) обозначены новые коэффициенты, полученные после первого шага.

Шаг 2.  Предположим  (если это не так, то перестановкой уравнений местами или переменных с изменением их номеров  добьемся того, что ).

Умножая первое уравнение на подходящие числа (а именно на ) и прибавляя полученные уравнения соответственно к третьему, четвертому,…, -му уравнению системы, исключим переменную  из всех последующих уравнений системы, начиная с третьего.

Продолжая процесс последовательного исключения переменных, после  –го шага получим систему:

Нулю в последних  уравнениях означает, что их левые части имеют вид . Если хотя бы одно из чисел  не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво и система несовместна.

Таким образом, для любой совместной системы числа  равны нулю. В этом случае последние  уравнений являются тождествами и их можно не принимать во внимание при решении исходной системы. Очевидно, что при отбрасывании лишних уравнений возможны два случая: а) число уравнений системы равно числу переменных, то есть  (в этом случае преобразованная система имеет треугольный вид); б)  (в этом случае система имеет ступенчатый вид).

Переход исходной системы к преобразованной равносильной ей системе называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из преобразованной системы – обратным ходом.

Преобразования Гаусса удобной производить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов. Рассмотрим матрицу:

называемую расширенной матрицей системы, ибо в нее, кроме матрицы , дополнительно включен столбец свободных членов.

Другие методы решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

• Метод Крамера
• Метод обратной матрицы