Часть четвертая: 89 типовых задач по теории вероятностей и математической статистике

На этой странице выложены 89 типовых задач по теории вероятностей и математической статистике для самостоятельного решения студентами. Чтобы предварительно ознакомится с решением и оформлением типовых задач, на сайте можно воспользоваться решебником Задачи с решением по теории вероятностей и математической статистике с решениями и выводами, который содержит большое количество решенных задач.

О платной помощи студентам с учебой можно почитать на странице Как заказать решение задач по теории вероятностей и математической статистике...

Задача 1

Требуется найти закон распределения дискретной случайной величины , которая может принимать только два значения:  с известной вероятностью  и , причем . Математическое ожидание  и дисперсия  также известны.

Задача 2

Требуется найти:

а) закон распределения дискретной случайно величины ;

б) математическое ожидание  случайной величины ;

в) дисперсию  случайной величины ;

г) среднее квадратическое отклонение  случайной величины ;

д) моду случайной величины ;

е) построить полигон;

ж) построить функцию распределения (аналитический вид)

з) построить функцию распределения (графический вид).

Случайно встреченное лицо может оказаться с вероятностью  брюнетом, с  -блондином, c  -шатеном и  -рыжим

Задача 3

Случайная величина  задана интегральной  или дифференциальной  функцией. Требуется:

а) найти параметр ;

б) при заданной интегральной функции  найти дифференциальную функцию , а при заданной дифференциальной функции  найти интегральную функцию ;

в) построить графики функций  и ;

г) найти математическое ожидание , дисперсию  и среднее квадратическое отклоенение ;

д) вычислить вероятность попадания в интервал

е) определить, квантилем какого порядка является точка ;

ж) вычислить квантиль порядка

Задача 4

Случайная величина  задана интегральной  или дифференциальной  функцией. Требуется:

а) найти параметр ;

б) при заданной интегральной функции  найти дифференциальную функцию , а при заданной дифференциальной функции  найти интегральную функцию ;

в) построить графики функций  и ;

г) найти математическое ожидание , дисперсию  и среднее квадратическое отклоенение ;

д) вычислить вероятность попадания в интервал

е) определить, квантилем какого порядка является точка ;

ж) вычислить квантиль порядка

Задача 5

Случайные величины  и  независимы и распределены равномерно.  -в интервале ,  -в интервале . Найти математическое ожидание случайной величины .

Задача 6

Найти функцию плотности нормально распределенной случайной величины  и постройте ее график, зная  и

Задача 7

Нормально распределенная случайная величина  задана плотностью . Найдите математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

Задача 8

Найти плотность совместного распределения  системы случайных величин  по известной функции распределения:

Задача 9

Найти функцию распределения системы случайных величин  по известной плотности совместного распределения :

Задача 10

Задана дискретная двумерная случайная величина .

а) найти безусловные законы распределения составляющих; б) построить регрессию случайной величины  на ;  в) построить регрессию случайной величины  на ;  г) найти коэффициент ковариации; д) найти коэффициент корреляции.

Задача 11

Построить множество элементарных исходов Ω по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям, а также вычислить вероятности событий.

 Эксперимент состоит в подбрасывании один раз правильной шестигранной игральной кости. Обозначим Х число очков, выпавших на верхней грани кости. Описать множество элементарных исходов Ω и указать состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: E3=AB   если А={Х кратно трем}, В={Х нечетно}.

Задача 12

Из двух претендентов Е и L на ответственную должность три члена комиссии должны отобрать одного. Каждый член комиссии должен указать либо одного достойного, либо забраковать обоих. Претендент считается выбранным, если он был признан достойным хотя бы двумя членами комиссии. Найти вероятности событий ; С={выбор не состоялся}.

Задача 13

Из десяти первых букв русского алфавита наудачу составляется новый алфавит, состоящий из пяти букв. Найти вероятности следующих событий: в состав нового алфавита входит буква  А.

Задача 14

Статистика, собранная среди студентов одного из вузов, обнаружила следующие факты: 60% всех студентов занимаются спортом, 13 -40% участвуют в научной работе на кафедрах и 20% занимаются спортом и участвуют в научной работе на кафедрах. Корреспондент местной газеты подошел к наудачу выбранному студенту. Найти вероятности следующих событий: студент занимается по крайней мере одним из двух указанных видов деятельности.

Задача 15

Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 человек знают английский язык, 40—французский и 35—немецкий. Английский и французский языки знают 20 студентов, английский и немецкий—8, французский и немецкий—10. Все три языка знают 5 человек. Один из студентов вышел из аудитории. Рассмотрим следующие события: Е = {вышедший знает английский язык}; 14 F = {вышедший знает французский язык}; D = {вышедший знает немецкий язык}. Установить, являются ли события независимыми.

Задача 16

Долговременная практика рекламирования новых видов товаров показала, что после проведения рекламной компании 5% мужчин и 10% женщин желали бы приобрести новый вид зубной пасты, а остальные покупают прежние виды паст. Числа мужчин и женщин в городе соотносятся как 4:6 и все они покупают зубную пасту. Какова вероятность того, что случайно выбранный покупатель, приобретший новый вид пасты, будет женщиной?

Задача 17

Требуется найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, зная, что в каждом испытании вероятность появления события равна p.  n=6; k=2; p=0,7.

Задача 18

Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажутся 32 женщины (предполагается, что число мужчин и женщин в городе одинаково)?

Задача 19

Брошено две игральных кости. Описать множество элементарных событий и найти вероятности событий:  С= не выпала ни одна «шестерка».

Задача 20

Построить множество элементарных исходов Ω по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям, а также вычислить вероятности событий. Эксперимент состоит в подбрасывании один раз правильной шестигранной игральной кости. Обозначим Х число очков, выпавших на верхней грани кости. Описать множество элементарных исходов Ω и указать состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: F={0,5<Х<1,5}

Задача 21

Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат – пара чисел, соответствующих числам очков, выпавших в первый и второй раз. События: D={оба раза выпало одинаковое число очков}

Задача 22

Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый результат – появление герба (г) или цифры (ц) на верхней стороне монеты. События:  В={ни разу не выпала цифра};

Задача 23

Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75; для второго – 0,8; для третьего – 0,9. Найти вероятность того, что попадет в цель  D={хотя бы один стрелок попадет в цель}

Задача 24

В первом ящике 6 белых и 4 черных шара, во втором – 7 белых и 3 черных. Из каждого ящика наугад вынимают по одному шару. Чему равна вероятность того, что вынутые шары разного цвета?

Задача 25

На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Опыт состоит в случайном выборе трех карточек и раскладывании их в порядке поступления в ряд слева направо. Найти вероятности следующих событий: С={появится число, состоящее из последовательных цифр};

Задача 26

Подбрасывает наудачу три игральные кости. Наблюдаемые события: A={на трех костях выпадут разные грани}; В={хотя бы на одной из костей выпадет шестерка}; С={появится не менее двух единиц}; D={появится не более двух шестерок  . Вычислить P(D|C).

Задача 27

Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количественном отношении n1: n2: n3, причем вероятности брака для этих заводов соответственно равны p1, p2, и p3. Прибор, приобретенный научно-исследовательским институтом, оказался бракованным. Какова вероятность того, что данный прибор произведен третьим заводом (марка завода на приборе отсутствует)?

Задача 28

Требуется найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, зная, что в каждом испытании вероятность появления события равна p  . n=5; k=2; р=0,4.

Задача 29

Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдет не менее 700.

Задача 30

1) Построить интервальный ряд (при  или 8), изобразить гистограмму и эмпирическую функцию распределения, найти по графикам моду и медиану (проверить вычисления)

Найти среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение (указать на графике среднее значение и среднее квадратическое отклонение)

2) Построить доверительный интервал для среднего значения  во всей совокупности с надежностью 0,95. Сформулировать содержательный смысл.

3) По виду гистограммы сформулировать предположение о соответствии выборочного распределения одному из классических законов (нормальному, равномерному, показательному).  Проверить с уровнем значимости  гипотезу о соответствии выборочного распределения выбранному закону.

Задача 31

Десять рукописей разложено по 30 папкам (на одну рукопись 3 папки). Найти вероятность того, что в случайно выбранных 6 папках не содержится целиком ни одной рукописи.

Задача 32

Имеется пять урн. В первой, второй и третьей урнах находится по 2 белых и 3 черных шара, в четвертой и пятой урнах - по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова условная вероятность того, что выбрана четвертая или пятая урна, если извлеченный шар оказался белым?

Задача 33

Плотность вероятности непрерывной случайной величины  определяется формулами:

Определить параметр  и найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Задача 34

Статистическое распределение случайной величины  представлено в таблице наблюденных значений. Построить гистограмму, эмпирическую функцию распределения, найти точечную оценку математического ожидания, смещенной и несмещенной дисперсии и среднего квадратического отклонения. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

Задача 35

Используя метод наименьших квадратов, определить наилучшую зависимость  и найти параметры этой функции. Найти линейное уравнение регрессии  относительно  и  относительно . Определить эмпирический корреляционный момент, коэффициент корреляции, дисперсии и эмпирические коэффициенты регрессии.

Задача 36

Проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции по двумерной выборке:

Уровень значимости . Для справки:

Задача 37

Система может находится в двух различных состояниях: 1,2. Предполагается, что вероятность перехода системы  из -го состояния в -е состояние на каждом конкретном шаге не зависит от результатов ранее произведенных испытаний и не зависит от номера испытаний. Найти вероятность перехода системы из 1-го состояния в 2-е состояние на четвертом шаге и матрицу перехода . Известно

Задача 38

Таксопарк в небольшом городе имеет 4 автомашины. В среднем на обслуживание одного клиента уходит 20 минут. В таксопарк в среднем поступает 6 заказов в час. Если свободных машин нет, следует отказ. Определить характеристики обслуживания таксопарка: вероятность отказа, среднее число занятых обслуживанием автомашин, абсолютную и относительную пропускную способности, вероятность обслуживания. Найти число автомашин, при котором относительная пропускная способность таксопарка будет не менее 0,9. Считать, что потоки заявок и обслуживаний простейшее.

Задача 39

Телефонная справочная служба имеет 4 линии связи с абонентами. В среднем в час поступает 60 обращений клиентов. Средняя длительность обслуживания клиента, обратившегося за справкой, составляет 3 мин. Если все линии связи заняты, то абонент попадает в очередь (абонент слышит: «ждите ответа…»). В очереди должно быть не более 5 заявок. Потоки заявок и обслуживание простейшие. Определить характеристики обслуживания справочной информационной системе в стационарном режиме (вероятность простоя каналов, вероятность отказа, вероятность обслуживания, среднее число занятых каналов, среднее число заявок в очереди, среднее число заявок в системе, абсолютную пропускную способность, относительную пропускную способность, среднее время заявки в очереди, среднее время заявки в системе, среднее время заявки под обслуживанием).

Задача 40

В автосервисе работает одна бригада рабочих по ремонту автомашин. В среднем за месяц для ремонта поступает 6 неисправных автомашин. Средняя длительность ремонта одной машины одной бригадой составляет 4 рабочих дня. Никаких ограничений на длину очереди нет. Потоки заявок и обслуживаний простейшие. Определить характеристики обслуживания автосервиса центра в стационарном режиме (вероятность простоя, каналов обслуживания, вероятность отказа, вероятность обслуживания, среднее число занятых каналов, среднее число заявок в очереди, среднее число заявок в системе, абсолютную пропускную способность, относительную пропускную способность, среднее время заявки в очереди, среднее время заявки в системе). Считать в месяце 26 рабочих дней. Определить оптимальное число мастеров в сервисном центре, если зарплата рабочего составляет $300, в бригаде три человека, доход от ремонта одной машины в среднем $300.

Задача 41

В магазине работают 4 продавца. На обслуживания одного покупателя продавец тратит в среднем 2 минуты. В магазин приходят в среднем 50 покупателей в час. Среднее количество покупателей, покидающих очередь, не дождавшись обслуживания - 6 покупателей в час. Найти вероятность того, что в магазине нет покупателей, вероятность отказа покупателю, вероятность обслуживания, среднее число занятых продавцов, среднее число покупателей в очереди, среднее число покупателей в магазине, абсолютную пропускную способность, относительную пропускную способность, среднее время покупателя в очереди, среднее время покупателя в магазине, среднее время обслуживания покупателя. Решение задачи проверить на ЭВМ.

Задача 42

Используя метод наименьших квадратов, определить параметры линейной зависимости . Найти эмпирические коэффициенты корреляции  средние квадратические отклонения . Оценить тесноту связи случайной величины  со случайными величинами  и , вычислим выборочный совокупный коэффициент корреляции , найти частные коэффициенты корреляции

Задача 43

Даны ранги объектов выборки:

Найти:

а) Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена, проверить гипотезу о его значимости, уровень значимости считать равным 0,05.

б) выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендала; проверить гипотезу о его значимости, уровень значимости считать равным 0,05.

Задача 44

На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25, второй 35, третий 40% всех замков. Брак составляет соответственно 2,3 и 4%. Найти вероятность того, что случайно выбранный замок является дефектным.

Задача 45

На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве:  с первого завода,  со второго и  с третьего. Вероятности качественного изготовления изделий равны  и  соответственно. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие будет качественным.

Задача 46

Вероятность появления в партии изделия с браком равна . Найти вероятности того, что из  наудачу взятых для контроля изделий  изделий окажется бракованными. Рассмотреть два случая:

а)

б)

Задача 47

Дано распределение дискретной случайной величины . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить график функции распределения .

Задача 48

Непрерывная случайная величина  задана интегральной функцией распределения . Определить плотность вероятности , математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины . Построить графики функции  и .

Задача 49

Вероятность правильной диагностики туберкулеза при рентгеновском обследовании – 0.9, вероятность ошибочной диагностики туберкулеза у здорового человека - 0.03. Доля больных туберкулезом в популяции – 0.02. Какова вероятность того, что диагноз туберкулеза у случайно выбранного из популяции человека поставлен правильно? Указание: применить формулу Байеса.

Задача 50

При исследовании 200 изделий было обнаружено 18 бракованных. Построить доверительный интервал для доли бракованных изделий. Согласуется ли полученный результат с гипотезой  – "доля бракованных изделий не превышает 5%"?

Задача 55

Имеются данные по числу несчастных случаев, происходящих за один день:

0 - 280 дней, 1 - 75 дней, 2 - 12 дней,  3 - 1 день.

Проверить согласуются ли полученные данные с пуассоновским распределением. Указание: найти оценку для параметра распределения Пуассона, имеющего смысл среднего числа несчастных случаев за один день, вычислить ожидаемые частоты и применить критерий Пирсона.

Задача 56

Сравнить две выборки, предполагая их взятыми из двух генеральных совокупностей с нормальным законом распределения. Можно ли считать, что генеральные дисперсии равны? Можно ли считать, что генеральные средние равны?

Указание: применить критерий Фишера и критерий Стьюдента.

Задача 57

Имеется три независимых реализации нормальной случайной величины: 0.8, 3.2, 2.0.

Построить доверительные интервалы для среднего и дисперсии.

Указание: воспользоваться таблицами Стьюдента и хи-квадрат.

Задача 58

Имеется три независимых реализации нормальной случайной величины: 0.6, 3.4, 2.0.

Проверить гипотезу H0: дисперсия равна 10.0.

Указание: возможно два способа решения - построить доверительный интервал или сразу проверить гипотезу. Используются таблицы распределения хи-квадрат.

Задача 59

Имеется три независимых реализации нормальной случайной величины: 0.6, 3.4, 2.0.

Проверить гипотезу H0: среднее равно 10.0.

Указание: возможно два способа решения - построить доверительный интервал или сразу проверить гипотезу. Используются таблицы распределения Стьюдента.

Задача 60

Найти закон распределения среднего арифметического девяти измерений нормальной случайной величины с параметрами   . Чему равна вероятность того, что модуль разности между средним арифметическим и математическим ожиданием превысит 0,5?

Указание: воспользоваться таблицами нормального распределения (функции Лапласа).

Задача 61

Представить данную выборку в виде вариационного ряда. Построить полигон частот, гистограмму, кумуляту и график эмпирической функции распределения.

Найти моду, медиану, среднее и дисперсию (смещенную и несмещенную) по указанной выборке.

Задача 62

Перед выборами в городе было опрошено  человек. Из них  человек отдали предпочтение нынешнему мэру. На какое количество голосов может рассчитывать мэр на выборах, если всего в городе  избирателей (вычислить с доверительной вероятностью 0,95 и 0,99)?

Задача 63

Имеются следующие данные о засоренности партии семян клевера семенами сорняков:

На уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X - число семян сорняков - распределена по закону Пуассона, используя критерий  - Пирсона.

Задача 64

В двух группах, изучающих иностранный язык по разным методикам, проводилось тестирование, в результате которого была получена некоторая интегральная характеристика каждого обучаемого, измеряемая в баллах. На уровне значимости 0,05 выяснить влияние методики обучения на измеряемую характеристику (применить критерии Фишера и Стьюдента).

Задача 65

В ходе эксперимента измерялись характеристики x и y. Представить результаты измерений графически. Найти выборочный коэффициент корреляции этих величин. Что можно сказать о зависимости этих двух величин?

Построить уравнение линейной регрессии y от x. Нанести на график линию регрессии.

На уровне значимости  оценить модель и параметры уравнения регрессии.

При решении допускается использовать Microsoft Excel.

Задача 66

Имеются данные о возрастных параметрах учителей, администрации и обслуживающего персонала школ:

Требуется сделать заключение о том, значимо ли влияние профессии на средний возраст, приняв за уровень значимости .

Задача 67

Из букв слова «ЗАДАЧА» выбирают три буквы (без возвращения). Найти вероятность события B={среди выбранных букв по крайней мере одна буква "а"}

Задача 68

В контрольной работе три задачи. Вероятность того, что задача будет решена, равна 0,9. Найти математическое ожидание случайной величины – числа решенных задач, стандартное отклонение.

Задача 69

По статистическим данным 10% населения региона живет зажиточно, 50% живет обеспечено, 40% - бедно. Мобильные телефоны имеют 90% живущих зажиточно, 60% живущих обеспечено, 5% - живущих бедно. Первый опрошенный на улице имеет мобильный телефон. Какова вероятность того, что он относится к бедным слоям населения?

Задача 70

60% людей брюнеты, 40% - не брюнеты. Какова вероятность того, что из 10 случайно выбранных людей будет от 5 до 7 брюнетов?

Задача 71

В страховом обществе застрахованы от несчастного случая 15250 человек. Вероятность несчастного случая для каждого 0,006. Найдите вероятность того, что за выплатой страховки обратятся 54 человека.

Задача 72

В таблице приведены данные исследования уровня агрессивности поведения школьников-подростков:

Определить моду распределения. Составить таблицу частотного распределения. Найти медиану, среднее выборочное. Определить дисперсию, стандартное отклонение.

Задача 73

Результаты исследования уровня агрессивности поведения  и уровня семейного благополучия  школьников-подростков представлены в следующей таблице:

Рассчитайте коэффициент корреляции между показателями, найдите тесноту связи между этими случайными величинами. Сделайте вывод.

Задача 74

Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа в одном опыте для каждого элемента равна 0.1. Составить закон распределения случайного числа отказавших элементов в одном опыте. Составить функцию распределения, построить ее график.

Задача 75

Случайная величина  задана функцией распределения вероятностей .

Требуется:

1. Найти функцию плотности распределения .

2. Найти .

3. Найти вероятность

4. Построить графики  и

Задача 76

Выборка  объемом  измерений задана таблицей:

где  – результаты измерений,  – частоты, с которыми встречаются значения

1. Построить полигон относительных частот

2. Вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию  и среднеквадратическое отклонение

Задача 77

В таблице представлены выборочные данные о производительности труда  и себестоимости продукции , полученные с однотипных предприятий за месяц. Найти: а) коэффициент корреляции ;  б) уравнение регрессии, характеризующее зависимость себестоимости продукции от производительности труда; на графике изобразить корреляционное поле, то есть нанести точки  и построить прямую .

Таблица

Задача 78

Для планирования бюджета предприятия на следующий год было проведено выборочное обследование использования амортизационного фонда. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки из 500 выплат были отобраны 100 и получены следующие данные:

Найти:

а) вероятность того, что средняя выплата отличается от средней выплаты в выборке не более чем на 100 руб.;

б) границы, в которых с вероятностью 0,9281 заключена доля выплат, величина которых не превосходит 4000 руб.;

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б)) можно гарантировать с вероятностью 0,9545.

Задача 78

По данным задачи 1, используя  –критерий Пирсона, на уровне значимости  проверить гипотезу о том, что случайная величина  – величина выплат – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Задача 79

Распределение 50 городов по численности населения  (тыс.чел.) и среднемесячному доходу на одного человека  (тыс.руб.) представлено в таблице:

Необходимо:

1) Вычислить групповые средние  и , построить эмпирические линии регрессии;

2) Предполагая, что между переменными  и  существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости  оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными  и ;

в) используя соответствующие уравнение регрессии, оценить средний доход на одного человека в городе с населением 100 тыс. человек.

Задача 80

В филиале заочного вуза обучается 2000 студентов. Для изучения стажа работы студентов по специальности по схеме собственно случайной бесповторной выборки отобрано 100 студентов. Полученные данные о стаже работы студентов по специальности представлены в таблице:

Найти:

а) вероятность того, что доля всех студентов филиала, имеющих стаж работы менее 6 лет, отличается от выборочной доли таких студентов не более чем на 5% (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,997 заключен средний стаж работы по специальности всех студентов филиала;

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего стажа работы по специальности (см. п. б) можно гарантировать с вероятностью 0,9898.

Задача 81

По данным задачи 1, используя  – критерий Пирсона, на уровне значимости  проверить гипотезу о том, что случайная величина  – стаж работы студентов по специальности – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Задача 82

Распределение 100 предприятий по количеству работников  (чел.) и средней месячной надбавки к зарплате  (%) представлено в таблице:

Необходимо:

1) Вычислить групповые средние  и , построить эмпирические линии регрессии;

2) Предполагая, что между переменными  и  существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости  оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными  и .

в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю месячную надбавку к зарплате при числе работников предприятия 46 человек.

Задача 83

Всхожесть семян пшеницы составляет 90%. Определить наиболее вероятное число всходов из 200 посеянных семян.

Задача 84

Случайное отклонение размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм, стандартами считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и 200,5 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 мм. На сколько повысился процент бракованных деталей?

Задача 85

На столе лежат карточки, на которых написаны буквы Вашего полного имени; на каждой карточке -по одной букве. Карточки переворачивают буквой вниз и перемешивают. Затем карточки берут по одной, переворачивают буквой вверх и кладут друг за другом в один ряд. Какова вероятность, что в конце получится Ваше полное имя?

Задача 86

В коробке лежат 10 шаров, из которых 6 шаров красного цвета, остальные -синие. Из коробки наугад достали 3 шара.

1. Запишите полную систему событий такого испытания.

2. Пусть  -случайная величина количества красных шаров в выборке. Запишите закон распределения данной случайной величины.

3. Какой результат опыта наиболее вероятен? Ответ обоснуйте.

Задача 87

Лампы накаливания,, продающиеся в магазине, могут принадлежать одной из трех партий с вероятностями 0,2, 0,3, 0,5. Вероятность того, что лампа, бракованная для первой партии равна 6%, для второй партии 16%, для третьей партии 21%. Определите вероятность того, что:

1. Купленная Вами лампа не бракованная;

2. Что она принадлежит;

- первой партии

- второй партии

- третьей партии

Задача 88

Задан закон распределения случайной величины :

1. Найдите неизвестную вероятность  и восстановите закон распределения. Какое значение величины  наиболее вероятно при данных испытаниях?

2. Постройте многоугольник распределения вероятностей данной случайной величины.

3. Запишите функцию распределения и постройте ее график.

4. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Какие смысловые значения имеют вычисленные величины?

5. Задайте закон распределения случайной величины , если

Задача 89

В таблице задана корреляционная зависимость между значениями переменными  и соответствующими частными средними значениями  (в таблице обозначено ).

1. Рассчитайте и запишите уравнения прямой регрессии  по , уравнения регрессий параболического и гиперболического видов. Ответы можно округлить до десятых.

2. Постройте эмпирическую линию регрессии.

3. На этом же поле постройте линейную, параболическую и гиперболическую линии регрессий.

4. По полученным графическим изображениям сделайте вывод, какая из трех этих моделей наиболее точно (адекватно) описывает заданную корреляционную зависимость. Ответ обоснуйте.