Часть третья: 114 типовых задач по теории вероятностей и математической статистике

На этой странице выложены 114 типовых задач по теории вероятностей и математической статистике для самостоятельного решения студентами. Чтобы предварительно ознакомится с решением и оформлением типовых задач, на сайте можно воспользоваться решебником Задачи с решением по теории вероятностей и математической статистике с решениями и выводами, который содержит большое количество решенных задач.

О платной помощи студентам с учебой можно почитать на странице Как заказать решение задач по теории вероятностей и математической статистике...

Задача 1

В лабораторной клетке содержат 8 белых и 6 коричневых мышей. Наугад выбирают пять мышей из клетки. Найти вероятность того, что: а) три из них белые, а две коричневые; б) все одного цвета.

Задача 2

Вероятность попадания стрелком в десятку равна 0,3, а в девятку - 0,7. Определить вероятность того, что данный стрелок при трех выстрелах наберет не менее 29 очков.

Задача 3

Вероятность рождения мальчика примем равной 0,5. Найти вероятность того, что среди 200 новорожденных детей будет: а) 100 мальчиков; б) 90 мальчиков; в) 110 мальчиков; г) от 90 до 110 мальчиков.

Задача 4

Два лаборанта проводили определение меди в воде методом йодометрического титрования. Было выполнено по 3 параллельных определения. Первый лаборант получил среднее значение 22,0 мг/л, дисперсия составила 0,4, второй лаборант - 21,3 мг/л, дисперсия составила 0,2. Можно ли объединить результаты лаборантов в одну выборку?

Задача 5

В результате проведенных пяти измерений частоты пульса у больного получены следующие значения: 70, 90, 100, 80, 90. При доверительной вероятности 0,95 найти интервальную оценку частоты пульса у больного.

Задача 6

В 100 частях воды растворяется следующее число условных частей азотокислого натрия  (признак ) при соответствующих температурах :

На количество растворившейся  влияют случайные факторы. Предполагается наличие статистической линейной зависимости между температурой и количеством растворившегося . Найти

Задача 7

В поликлинике работают 80 человек. Из них 5 человек - администрация, 10 - технический персонал, 10 - педиатры, половина - врачи других специальностей, и 15 человек -статисты. Какова вероятность того, что наудачу выбранное лицо окажется статистом или человеком из администрации поликлиники.

Задача 8

В группе из 20 пациентов имеются 4 человека с заболеванием , 10 - с заболеванием  и 6 с заболеванием . Вероятность аллергической реакции при приеме витаминов для первой группы больных - 0,9, для второй - 0,7, для третьей - 0,5. Найдите вероятность того, что: а) у наудачу выбранного больного возникнет аллергическая реакция; б) у 2 наудачу выбранных больных возникнет аллергическая реакция.

Задача 9

100 пациентов принимают экспериментальный препарат, причем улучшение состояния в течение для отмечают 80%. Найдите вероятность того, что в течение дня улучшение почувствуют: а) 85 пациентов; б) от 75 до 85 пациентов.

Задача 10

Статистическая обработка результатов анализа вещества на содержание некоторого компонента двумя различными методами показала следующее. В случае использования первого метода при анализе 6 образцов вещества получена средняя величина содержания компонента, равная , при исправленной выборочной дисперсии ; при анализе 10 образцов вторым методом соответствующие характеристики оказались равными  и . В предположении нормальности распределения величины содержания компонента при использовании каждого из этих двух методом анализа при уровне значимости  проверить: позволяют ли проведенные исследования утверждать, что результаты анализа зависят от используемого метода?

Задача 11

Выборка задана статистическим рядом

Найти выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсию. А также статистический интервальный ряд распределения и построить гистограмму относительных частот.

Задача 12

Изучалась зависимость между объемом грудной клетки мужчин  (см) и ростом  (см). Результаты наблюдений приведены в таблице в виде двумерной выборки объема 7:

Требуется найти:

1) Выборочное уравнение прямой регрессии  на ;

2) Выборочное уравнение прямой регрессии  на ;

3) Сравнить между собой при каждом  приближения средних значений , полученные по функции регрессии и по уравнению прямой регрессии;

4) Построить линию регрессии.

Задача 13

Во время эпидемии гриппа из 15 человек, доставленных в больницу с переломом, 5 оказались больны гриппом. В палату помещают по 4 человека. Найти вероятность того, что в палате хотя бы один окажется болен гриппом.

Задача 14

В результате исследований, проведенных в хирургическом отделении одного лечебного учреждения, установлено, что первая группа крови встречается у 40% больных, вторая - у 30%, третья - у 20% , четвертая - у 10%. Во время операций переливание крови требуется пациентам с первой группой - 2%, второй - 1%, третьей -0,5% и четвертой -0,2%. Найдите вероятность того, что во время операции пациенту не потребуется переливание крови.

Задача 15

Вероятность выхода из строя за время   одного конденсатора равна 0,2. Найдите вероятность того, что за время  из 100 независимо работающих конденсаторов выйдут из строя: а) не менее 20 конденсаторов; б) менее 28 конденсаторов; в) от 14 до 26 конденсаторов.

Задача 16

Для выяснения эффективности применения некоторого препарата исследовали некоторый показатель жизнедеятельности у животных двух групп. Среднее значение этого показателя для 10 животных опытной группы (т.е. той группы, в которой применялся препарат) составило  при исправленной выборочной дисперсии ; Для 13 животных контрольной группы соответствующие показатели оказались равными  и . В предположении справедливости нормального закона распределения изучаемого показателя у животных как опытной, так и контрольной групп при уровне значимости  определить:

позволяют ли проведенные исследования утверждать, что данный препарат действительно оказывает определенное воздействие на изучаемый показатель жизнедеятельности животных?

Задача 17

Выборка задана статистическим рядом

Найти выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсию. А также статистический интервальный ряд распределения и построить гистограмму относительных частот.

Задача 18

Изучалась зависимость между минутным объемом сердца  (л/мин) и средним давлением в левом предсердии  (мм. рт. столба). Результаты наблюдений приведены в таблице в виде двумерной выборки объема 5:

Требуется:

1) Вычислить выборочный коэффициент корреляции между переменными  и .

2) Написать уравнение линейной регрессии  на .

Задача 19

Система двух случайных величин.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины  задан таблицей:

Требуется:

- определить одномерные законы распределения случайных величин  и ;

- найти условные плотности распределения вероятностей величин;

- вычислить математические ожидания;

- вычислить дисперсии;

- вычислить ковариацию

- вычислить коэффициент корреляции.

Задача 20

Закон больших чисел и предельные теоремы.

Дисперсия случайной величины  равна

Требуется:

- С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более, чем на величину . Параметры выбрать по номеру варианта;

- Для рассматриваемой случайной величины  оценивается математическое ожидание. Сколько нужно сделать измерений, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, среднее арифметическое этих измерений отклонилось от истинного значения математического ожидания не более чем на величину .

Задача 21

Статистическая обработка экспериментальных данных. Оценка параметров. Проверка статистических гипотез.

По заданной выборке случайной величины  вычислить основные эмпирические характеристики:

- выборочную среднюю;

- выборочную дисперсию;

- исправленное значение выборочной дисперсии;

- среднее квадратическое отклонение;

- построить доверительный интервал для оценки математического ожидания. Считать надежность оценки равной 0,95;

- построить доверительный интервал для оценки дисперсии. Считать надежность оценки равной 0,95.

- построить по данным выборки полигон и гистограмму. Подобрать подходящий теоретический закон распределения вероятностей. Проверить гипотезу о соответствии эмпирического закона распределения выбранному теоретическому при уровне значимости.

Задача 22

Дисперсионный анализ.

Сделано по 5 измерений случайной величины  на каждом из четырех уровней фактора .

Методом дисперсионного анализа проверить гипотезу о том, что фактор  не влияет на математическое ожидание величины . Сделать вывод.

Задача 23

Регрессионный анализ.

При изучении зависимости между величиной  и величиной  были получены следующие значения:

Требуется:

- построить график ;

- рассчитать параметры уравнения линейной регрессии методом наименьших квадратов;

- оценить качество полученного уравнения регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации;

- найти коэффициент корреляции;

- оценить значимость коэффициента корреляции и коэффициента регрессии  по критерию Стьюдента  при уровне значимости ;

- сделать выводы.

Задача 24

1. Из колоды карт (36 карт) вынимают наудачу одну карту. Эта карта оказалась красной масти. Затем из оставшейся колоды, вынимают наудачу еще одну карту. Найти вероятность того, что вторая вынутая карта красной масти.

2. В лотерее участвует 1000 билетов, из них 500 билетов выигрышные. Куплено 2 билета. Какова вероятность, что оба билета выигрышные?

Задача 25

Три баскетболиста производят по одному броску мяча. Вероятность попадания мяча в корзину для первого 0.9; для второго 0.8 и для третьего 0.7. Определить вероятность того, что удачный бросок сделают два баскетболиста.

Задача 26

В среднем из 100 клиентов банка 60 обслуживается первым операторов и 40 вторым. Вероятность того, что клиент будет обслужен оператором без помощи заведующего составляет для первого оператора 0.9 и для второго 0.75. Найти вероятность полного обслуживания клиента (без помощи заведующего) первым оператором?

Задача 27

Игральная кость бросается 12000 раз. Найти вероятность того, что число выпадений одного очка будет от 1900 до 2150 раз?

Задача 28

Задан закон распределения дискретной случайной величины . Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Построить график функции распределения вероятностей случайной величины .

Задача 29

Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей.

Требуется найти:

- функцию распределения вероятностей

- математическое ожидание;

- дисперсию;

- среднее квадратическое отклонение;

- вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более, чем на одну четвертую длины всего интервала возможных значений этой величины;

- построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей.

Задача 30

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины  задан таблицей.

Требуется:

- определить одномерные законы распределения случайных величин  и ;

- найти условные плотности распределения вероятностей величин;

- вычислить математические ожидания  и

- вычислить дисперсии  и ;

- вычислить ковариацию

- вычислить коэффициент корреляции

Задача 31

Дисперсия случайной величины  равна

Требуется:

- С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более, чем на величину . Параметры выбрать по номеру варианта;

- Для рассматриваемой случайной величины  оценивается математическое ожидание. Сколько нужно сделать измерений, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, среднее арифметическое этих измерений отклонилось от истинного значения математического ожидания не более чем на величину .

Задача 32

По заданной выборке случайной величины  вычислить основные эмпирические характеристики:

- выборочную среднюю;

- выборочную дисперсию;

- исправленное значение выборочной дисперсии;

- среднее квадратическое отклонение;

- построить доверительный интервал для оценки математического ожидания. Считать надежность оценки равной 0,95;

- построить доверительный интервал для оценки дисперсии. Считать надежность оценки равной 0,95.

- построить по данным выборки полигон и гистограмму. Подобрать подходящий теоретический закон распределения вероятностей. Проверить гипотезу о соответствии эмпирического закона распределения выбранному теоретическому при уровне значимости .

Задача 33

Сделано по 5 измерений случайной величины  на каждом из четырех уровней фактора .

Методом дисперсионного анализа проверить гипотезу о том, что фактор  не влияет на математическое ожидание величины . Сделать вывод.

Задача 34

При изучении зависимости между величиной  и величиной  были получены следующие значения:

Требуется:

- построить график ;

- рассчитать параметры уравнения линейной регрессии методом наименьших квадратов;

- оценить качество полученного уравнения регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации;

- найти коэффициент корреляции;

- оценить значимость коэффициента корреляции и коэффициента регрессии  по критерию Стьюдента  при уровне значимости ;

- сделать выводы.

Задача 35

Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей.

Требуется найти:

- функцию распределения вероятностей

- математическое ожидание;

- дисперсию;

- среднее квадратическое отклонение;

- вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более, чем на одну четвертую длины всего интервала возможных значений этой величины;

- построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей.

Задача 36

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины  задан таблицей.

Требуется:

- определить одномерные законы распределения случайных величин  и ;

- найти условные плотности распределения вероятностей величин;

- вычислить математические ожидания  и

- вычислить дисперсии  и ;

- вычислить ковариацию

- вычислить коэффициент корреляции

Задача 37

Дисперсия случайной величины  равна

Требуется:

- С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более, чем на величину . Параметры выбрать по номеру варианта;

- Для рассматриваемой случайной величины  оценивается математическое ожидание. Сколько нужно сделать измерений, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, среднее арифметическое этих измерений отклонилось от истинного значения математического ожидания не более чем на величину .

Задача 38

По заданной выборке случайной величины  вычислить основные эмпирические характеристики:

- выборочную среднюю;

- выборочную дисперсию;

- исправленное значение выборочной дисперсии;

- среднее квадратическое отклонение;

- построить доверительный интервал для оценки математического ожидания. Считать надежность оценки равной 0,95;

- построить доверительный интервал для оценки дисперсии. Считать надежность оценки равной 0,95.

- построить по данным выборки полигон и гистограмму. Подобрать подходящий теоретический закон распределения вероятностей. Проверить гипотезу о соответствии эмпирического закона распределения выбранному теоретическому при уровне значимости .

Задача 39

Сделано по 5 измерений случайной величины  на каждом из четырех уровней фактора .

Методом дисперсионного анализа проверить гипотезу о том, что фактор  не влияет на математическое ожидание величины . Сделать вывод.

Задача 40

При изучении зависимости между величиной  и величиной  были получены следующие значения:

Требуется:

- построить график ;

- рассчитать параметры уравнения линейной регрессии методом наименьших квадратов;

- оценить качество полученного уравнения регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации;

- найти коэффициент корреляции;

- оценить значимость коэффициента корреляции и коэффициента регрессии  по критерию Стьюдента  при уровне значимости ;

- сделать выводы.

Задача 41

Быстро вращающийся диск разделен на четное количество одинаковых (равных) секторов, по очереди закрашенных в белый и черный цвета. По диску был произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.

Задача 42

Покупатель пробует шестизарядный револьвер. Найти вероятность того, что при нажатии покупателем на курок раздастся выстрел, если равновозможны все предположения о количестве заряженных в револьвер патронов.

Задача 43

Вероятность хотя бы одного попадания при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в одном выстреле.

Задача 44

Магазин получил партию бутылок шампанского. Вероятность того, что при транспортировке бутылка окажется разбитой, равна 0,08. Сколько следует проверить бутылок, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было утверждать, что относительная частота появления разбитой бутылки отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.

Задача 45

Отдел технического контроля проверяет на брак 900 процессоров. Вероятность того, что процессор работает, равна  0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, между которыми помещается число неисправных процессоров среди исправных.

Задача 46

На рисунке приведен некоторый прибор и обозначены надежности его узлов (р1 = 0.9, р2 = 0.8, р3 = 0.85, р4 = 0.7, Р5 = 0.6). Найти надежность прибора в целом.

Задача 47

Найти дисперсию случайной величины X - числа появления события А в 4 независимых испытаниях, если математическое ожидание составляет 0,4.

Задача 48

Составить и решить задачу (по курсу «Теория вероятностей») по тематике специальности с использованием теоретического материала (формул), которые не использовались в задачах варианта.

Задача 49

Произведено 20 опытов над величиной , результаты приведены в таблице:

Построить вариационный ряд, интервальный вариационный ряд, полигон частот, полигон относительных частот, гистограмму частот, статистическую функцию распределения, выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, построить доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии, соответствующий доверительной вероятности  (предполагая, что С.В. имеет нормальный закон распределения) по данному распределению выборки.

Задача 50

Данные о продолжительности телефонных разговоров, отобранные по схеме собственно-случайной бесповторной выборки, приведены в таблице:

Используя -критерий Пирсона при уровне значимости  проверить гипотезу о том, что случайная величина  - продолжительность телефонных разговоров - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму и соответствующую нормальную кривую.

Задача 51

Распределение 100 новых видов тарифов на сотовую связь всех известных мобильных систем  (ден.ед.) и выручка от них  (ден.ед.) приводится в таблице:

Необходимо:

1) Вычислить групповые средние  и  и построить эмпирические линии регрессии;

2) Предполагая, что между переменными  и  существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости  оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными  и ; в) используя соответствующие уравнение регрессии, оценить среднюю выручку от мобильных систем с 20 новыми видами тарифов.

Задача 52

В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимости которых 210 и 60 ден.ед. Составить закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего один билет. Найти числовые характеристики. Составить функцию распределения, построить ее график.

Задача 53

На предприятии 1000 единиц оборудования определенного вида. Вероятность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,001. Составить закон распределения числа отказов оборудования в течение часа. Найти числовые характеристики.

Задача 54

Даны законы распределения двух независимых случайных величин  и :

Требуется:

- составить закон распределения случайной величины

- найти числовые характеристики случайных величин ;

- проверить свойство

- построить функцию распределения для  и построить ее график.

Задача 55

Случайная величина  задана плотность вероятности:

Требуется:

а) найти коэффициент ;

б) найти функцию распределения ;

в) найти ;

г) найти вероятность ;

д)  построить графики  и .

Задача 56

Случайная величина  равномерно распределена на интервале . Составить , построить графики. Найти .

Задача 57

Случайная величина , .

Требуется:

- составить функцию плотности распределения и построить ее график;

- найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу ;

- найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания не превысит .

Задача 58

Известна вероятность события . Дискретная случайная величина  – число появлений  в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины . Найти математическое ожидание  и дисперсию .

Задача 59

Распределение дискретной случайной величины  содержит неизвестные значения  и :

Известны числовые характеристики случайной величины: . Требуется определить значения  и .

Задача 60

Плотность вероятности непрерывной случайной величины  задана следующим выражением:

Найти постоянную , функцию распределения , математическое ожидание и дисперсию  случайной величины .

Задача 61

Случайная величина  имеет нормальное распределение с математическим ожиданием  и средним квадратическим отклонением . Найти интервал симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который   .

Задача 62

Известно распределение системы двух дискретных случайных величин:

Определить частные, условные (при  и ) распределения и числовые характеристики системы двух случайных величин , а также найти вероятность попадания двумерной случайной величины  в область

Задача 63

Для случайной величины  составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона при .

Задача 64

Известна вероятность события . Дискретная случайная величина  – число появлений  в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины . Найти математическое ожидание  и дисперсию .

Задача 65

Распределение дискретной случайной величины  содержит неизвестные значения  и :

Известны числовые характеристики случайной величины: . Требуется определить значения  и .

Задача 66

Плотность вероятности непрерывной случайной величины  задана следующим выражением:

Найти постоянную , функцию распределения , математическое ожидание и дисперсию  случайной величины .

Задача 67

Случайная величина  имеет нормальное распределение с математическим ожиданием  и средним квадратическим отклонением . Найти интервал симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который   .

Задача 68

Известно распределение системы двух дискретных случайных величин:

Определить частные, условные (при  и ) распределения и числовые характеристики системы двух случайных величин , а также найти вероятность попадания двумерной случайной величины  в область

Задача 69

Для случайной величины  составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона при .

Задача 70

Задана выборка . Для выборки  необходимо:

1) составить интервальный ряд распределения;

2) найти выборочную среднюю, моду, медиану. Выборочную дисперсию. Выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии и эксцесс;

3) построить гистограмму частот;

4) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

5) проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона при уровне значимости 0,05;

6) найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания генеральной совокупности с надежностью 0,95

Задача 71

Проверить нулевую гипотезу о том, что заданное значение  является математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины при 5%-м уровне значимости  для двусторонней критической области, если в результате обработки выборки  получено среднее  и выборочное среднее квадратическое отклонение

Задача 72

При уровне значимости  проверить гипотезу о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин  и  на основе выборочных данных при альтернативной гипотезе :

Задача 73

Найти выборочное уравнение линейной регрессии  на  на основании корреляционной таблицы:

Задача 74

Задана выборка . Для выборки  необходимо:

1) составить интервальный ряд распределения;

2) найти выборочную среднюю, моду, медиану. Выборочную дисперсию. Выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии и эксцесс;

3) построить гистограмму частот;

4) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

5) проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона при уровне значимости 0,05;

6) найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания генеральной совокупности с надежностью 0,95

Задача 75

Проверить нулевую гипотезу о том, что заданное значение  является математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины при 5%-м уровне значимости  для двусторонней критической области, если в результате обработки выборки  получено среднее  и выборочное среднее квадратическое отклонение

Задача 76

При уровне значимости  проверить гипотезу о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин  и  на основе выборочных данных при альтернативной гипотезе :

Задача 77

Найти выборочное уравнение линейной регрессии  на  на основании корреляционной таблицы:

Задача 78

Найти вероятность того, что произведение двух чисел, взятых наугад из интервала (0;1) больше 1/2

Задача 79

Телефон-автомат проглатывает монету при снятии трубки с вероятностью 0,1. Если этого не произошло, то происходит правильное соединение с вызываемым абонентом с вероятностью 0,8. Некто, имея 2 двухкопеечные монеты, хочет позвонить приятелю. Каковы его шансы на успех?

Задача 80

Одна пуля убивает льва с вероятностью 0,3; две – с вероятностью 0,8. Вероятность того, что охотник при выстреле попадает в льва, равна 0,5. Охотник имеет возможность сделать два выстрела. Какова вероятность того, что лев останется жив?

Задача 81

Шахматист А выигрывает у своего коллеги В с вероятностью 0,9. А выигрывает матч, если выиграет хотя бы половину партий. Какой матч он должен предпочесть – из двух партий или из четырех?

Задача 82

Найти вероятность того, что при игре в покер игрок при сдаче получит на руки «стрейт флеш», т.е. все пять карт будут одной масти и следовать одна за другой по достоинству.

Задача 83

Из-за отказа блока А машина выходит из строя с вероятностью 0,7, из-за отказа блока В – с вероятностью 0,8. Вероятность того, что в течение работы машины откажет блок А равна 0,03, а блок В – 0,01. Вероятность одновременного отказа обоих блоков пренебрегаем. Найти вероятность выхода машины из строя.

Задача 84

Стрелок делает 10 выстрелов по мишени и ни разу не попадает. Он говорит, что такое может с ним произойти один раз из ста тысяч. Чему равна вероятность попадания стрелка при одном выстреле, если верить его словам?

Задача 85

В ящике 12 деталей, среди которых 8 высшего качества. Сборщик последовательно наудачу извлекает из ящика по одной детали по первого появления детали высшего качества. Найти вероятность того, что будет произведено не более трех извлечений.

Задача 86

Задан закон распределения дискретной случайной величины . Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Построить график функции распределения вероятностей случайной величины .

Задача 87

При изучении зависимости между величиной  и величиной  было получено 15 пар соответствующих значений этих величин.

Аппроксимировать статистическую зависимость величины  от  линейной функцией . Вычислить остаточную дисперсию и оценку коэффициента корреляции.

Задача 88

По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих однотипную продукцию, равны 0,1 и 0,15. Какова вероятность банкротства обоих предприятий?

Задача 89

Дана выборка случайной величины. Найти несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии. Построить эмпирическую функцию распределения.

Задача 90

Данные об оценках студентов по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» выбрали случайным образом из ведомостей студентов первого курса и сгруппировали и получили следующий вариационный ряд:

Построить полигон распределений частот.

Задача 91

В ящике находятся 6 одинаковых пар перчаток черного цвета и 5 одинаковых пар перчаток бежевого цвета. Найти вероятность того, что две наудачу извлеченные перчатки образуют пару.

Задача 92

В урне находятся 3 шара белого цвета и 4 шара черного цвета. Шар наудачу извлекается и возвращается в урну три раза. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется:

а) ровно два белых шара;

б) не менее двух белых шаров.

Задача 93

В урне находятся 5 белых и 5 черных шара. Последовательно извлекаются наудачу три шара без их возвращения в урну. Найти вероятность того, что третий по счету шар окажется белым.

Задача 94

Число деталей, выпущенных на первом заводе, относится к числу деталей, выпущенных на втором заводе как 4/6. Вероятность выпуска годной детали на первом заводе равна 0.09, а для второго завода эта вероятность равна 0.3. Все детали поступают на один склад. Какова вероятность того, что наугад взятая со склада деталь будет годной?

Задача 95

Среди учебников 30% старых. Вероятность того, что в старом учебнике есть все темы лекционного курса равна 0.8. В новых учебниках отражены все темы лекционного курса с вероятностью 0.53. Учебник содержит все темы лекционного курса. Какова вероятность того, что этот учебник новый?

Задача 96

Закон распределения дискретной случайной величины  имеет вид:

Найти вероятности , дисперсию , если математическое ожидание

Задача 97

Плотность распределения непрерывной случайной величины  имеет вид:

Найти:

а) параметр ;

б) функцию распределения ;

в) вероятность попадания случайной величины  в интервал

г) математическое ожидание  и дисперсию

д) построить графики функций  и

Задача 98

Случайная величина  имеет биномиальное распределение. Найти вероятность ,  если математическое ожидание , а дисперсия  

Задача 99

Случайные величины  имеют равномерное, показательное и нормальное распределения соответственно. Найти вероятности , если у этих случайных величин математические ожидания и средние квадратические отклонения равны 3.

Задача 100

Выборка  объемом  измерений задана таблицей:

а) Построить полигон относительных частот

б) вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию  и среднее квадратическое отклонение ;

в) по критерию  проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости .

Задача 101

Типография выпустила 10 наименований книг и 12 наименований журналов. Сколькими способами можно составить посылку для библиотеки, содержащую 3 различных книги и 5 различных журналов?

Задача 102

На пяти карточках написано по одной цифре из набора 1,2,3,4,5. Наугад выбирают одну за другой две карточки. Найти вероятность того, что число на второй карточке будет больше, чем на первой.

Задача 103

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одной выстреле для первого стрелка равна 0,8, для второго 0,7. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

Задача 104

Студент сдает сессию из двух экзаменов. Он считает, что на первом экзамене получение любой оценки «2», «3», «4», «5» равновероятно. Второй экзамен он надеется списать с вероятностью 9/10 и получить «5». В противном случае он получает «2». Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию на «отлично»? б) сдаст сессию без двоек?

Задача 105

На трех дочерей - Алису, Марину, Елену - в семье возложена обязанность мыть посуду. Поскольку Алиса старшая, ей приходится выполнить 40% всей работы. Остальные 60% работы Марина и Елена делят поровну. Когда Алиса моет посуду, вероятность для нее разбить, по крайней мере, одну тарелку равна 0,02. Для Марины и Елены эта вероятность равна соответственно 0,03 и 0,04. Родители не знают, кто мыл посуду вечером, но они слышали звон разбитой тарелки. Какова вероятность того, что посуду мыла Елена?

Задача 106

Два кубика подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что:

а) ровно 4 раза произведение выпавших очков равно шести;

б) хотя бы один раз произведение равно шести.

Задача 107

На предприятие поступают комплектующие от трех поставщиков в количестве 15 от первого, 45 от второго, 40 от третьего. Вероятность качественного изготовления комплектующего первым поставщиком 0,9, вторым -0,6, третьим -0,8.

а) Найти вероятность того, что взятое случайным образом комплектующее будет качественным.

б) Взятое случайным образом комплектующее оказалось качественным. Найти вероятность того, что оно поступило от 1-го поставщика.

Задача 108

Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,4,5,7,8, если каждую цифру в любом числе использовать не более 1 раза? Сколько среди этих чисел будет четных?

Задача 109

Служащий банка может ездить на работу на трамвае или на автобусе. В 1/3 случаев он пользуется трамваем, а в 2/3 – автобусом. Если он едет в трамвае, то опаздывает с вероятностью 0,05, а если едет на автобусе – с вероятностью 0,01. Сегодня служащий опоздал. Какова вероятность, что он ехал в трамвае?

Задача 110

Преподаватель задает 6 вопросов. Он прекращает задавать вопросы студенту, как только студент отвечает неверно. Вероятность того, что студент ответит на вопрос неверно, равна 0,3. Составить закон распределения дискретной случайной величины , число вопросов которые задаст преподаватель. Найти математическое ожидание и стандартное отклонение.

Задача 111

Даны законы распределения двух независимых случайных величин  и . Составить закон распределения случайной величины . Найти ее числовые характеристики.

Задача 112

Вероятность, что безработный найдет работу, обратившись в службу занятости, равна 0,3. Чему равна вероятность того, что из 320, обратившихся за месяц, работу получат от 100 до 200?

Задача 113

Психолог проводит с младшими школьниками коррекционную работу по формированию навыков внимания. В таблице приведены данные об уровне внимания до начала коррекционной работы.

Определить моду распределения. Составить таблицу частотного распределения. Найти медиану, среднее выборочное. Определить дисперсию, стандартное отклонение.

Задача 114

Мужчины и женщины по-разному оценивают положительные человеческие качества. Мужчинам и женщинам предложили на основе десятибалльной шкалы оценить важность следующих пяти качеств в представителях противоположного пола:

  Найти тесноту связи между этими данными, сделать вывод о том, насколько близки или далеки мужчины и женщины в оценках качеств партнеров.