Часть вторая: 137 типовых задач по теории вероятностей и математической статистике

На этой странице выложены 137 типовых задач по теории вероятностей и математической статистике для самостоятельного решения студентами. Чтобы предварительно ознакомится с решением и оформлением типовых задач, на сайте можно воспользоваться решебником Задачи с решением по теории вероятностей и математической статистике с решениями и выводами, который содержит большое количество решенных задач.

О платной помощи студентам с учебой можно почитать на странице Как заказать решение задач по теории вероятностей и математической статистике...

Задача 1

Стрелок произвел 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку насчитывается 5 очков. Построить ряд распределения числа выбитых очков и найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Задача 2

Случайная величина  задана плотностью распределения:

Найти параметр , функцию распределения  случайной величины, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, вероятность попадания этой случайной величины в интервал . Построить график функций .

Задача 3

Независимые случайные величины  и  заданы следующими законами:

Укажите законы распределения случайной величины ,  и найдите их математическое ожидание и дисперсию.

Задача 4

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина с дисперсией 0,0162 отклонится от математического ожидания менее, чем на 0,2.

Задача 5

Двумерная случайная величина  задана таблицей распределения. Найти законы распределения  и , условные законы, регрессию и линейную регрессию  на .

Задача 6

На фабрике станки 1,2 и 3 производят соответственно 20%, 35% и 45% всех деталей. В их продукции брак составляет соответственно 6%, 4%, 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие оказалось дефектным? Какова вероятность того, что оно было произведено: а) станком 1; б) станком 2; в) станком 3?

Задача 7

Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдут: 8, по крайней мере 8; не менее 8?

Задача 8

При автоматической прессовке карболитовых болванок 2/3 общего числа из них не имеют зазубрин. Найдите вероятность того, что из 450 взятых наудачу болванок количество болванок без зазубрин заключено между 280 и 320.

Задача 9

Производство электронно-лучевых трубок для телевизоров дает в среднем 12% брака. Найдите вероятность наличия 215 годных трубок в партии из 250 штук.

Задача 10

На базе получено 10000 электроламп. Вероятность того, что в пути лампа разобьется, равна 0,0003. Найдите вероятность того, что среди полученных ламп будет пять ламп разбито.

Задача 11

Составьте закон распределения дискретной случайной величины , вычислите ее математическое ожидание, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты асимметрии и эксцесса, все моменты, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распределения. Сделайте выводы по результатам расчетов.

Производятся последовательные испытания 5 приборов, причем испытания прекращаются сразу после того, как проверяемый прибор окажется надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,8.   – число испытаний, после которых закончится проверка.

Задача 12

Случайная вероятность  задана функцией плотности распределения . Найдите: 1) функцию распределения  и необходимые константы; 2) математическое ожидание, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты асимметрии и эксцесса, все моменты; 3) вероятность попадания случайной величины  в интервал . Постройте графики функций распределения  и плотности распределения . Сделайте выводы.

Задача 13

Группу из 10 человек нужно разбить на 2 подгруппы так, чтобы в первой было 6 человек, а во второй 4. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 14

Пять клиентов случайным образом обратились в 4 фирмы. Какова вероятность того, что хотя бы в одну фирму никто не обратился.

Задача 15

Студент подготовил к экзамену 20 вопросов из 25. Найти вероятность того. что из 3 наудачу выбранных вопросов студент знает не менее 2.

Задача 16

В первой урне 1 белый и 3 черных шара, во второй – 2 белых и один черный шар. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. Какова вероятность вынуть  из второй урны белый шар?

Задача 17

Статистика аудиторских проверок компании утверждает, что вероятность обнаружения ошибки в каждом проверяемом документе равна 0,1. Какова вероятность того, что из 10 проверенных документов 7 не будет содержать ошибки?

Задача 18

Среди пяти ключей два подходят к двери. Ключи пробуют один за другим, пока не откроют дверь. Найти закон распределения вероятностей для числа опробованных ключей.

Задача 19

Плотность распределения случайной величины X имеет вид:

 Вычислить константу , найти функцию распределения

Задача 20

Подбрасываются три игральные кости.  Какова вероятность того, что сумма выпавших очков  будет нечетным числом?

Задача 21

Среди 30 лотерейных билетов 3 выигрышных.  Наудачу взяли  6 билетов.  Найти вероятность того, что среди них только 1 выигрышный.

Задача 22

Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0.7. при изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0.8. На первом станке изготовлены 2 детали, на втором 3. Найти вероятность  того, что все детали первосортные.

Задача 23

Трое охотников одновременно выстрелили в медведя и убили его одной пулей. Определить вероятность того, что медведь был убит первым охотником, если вероятности попадания первого, второго и третьего охотника равны соответственно 0.7; 0.5 и 0.8.

Задача 24

Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0.05. Поступило 100 вызовов. Определить вероятность того, что произойдет не более 3 сбоев.

Задача 25

Двое рабочих, выпускающих однотипную продукцию, допускают производство изделий второго сорта с вероятностями соответственно равными 0,4 и 0,3. У каждого рабочего взято по 2 изделия.  Для случайной величины  Х - числа изделий второго  сорта  среди отобранных для проверки  четырех найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию.

Задача 26

Дана функция распределения F(х) случайной величины  Х.

Найти плотность распределения вероятностей , математическое ожидание , дисперсию  и вероятность попадания  на отрезок . Построить графики функций  и .

Задача 27

Доступ к файлу открывается только в случае, если введен правильный пароль – определенный трехзначный номер из 5 цифр. Какое максимальное число возможных попыток угадать пароль, если известно, что все цифры разные?

Задача 28

Найти вероятность того, что дни рождения 12 выбранных из группы студентов  человек приходятся на разные месяцы года.

Задача 29

Производится 3 выстрела по мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,6; 0,8; 0,9. Найти вероятность того. что в результате этих выстрелов в мишени будет ровно одна пробоина.

Задача 30

Два аудитора проверяют 10 фирм (по 5 каждый). В двух фирмах допущены нарушения. Вероятность обнаружения нарушений первым аудитором равна 80%, вторым – 90%. Найти вероятность того, что обе фирмы нарушители будут выявлены.

Задача 31

Зачетная работа по теории вероятностей состоит из 6 задач, при этом зачет считается сданным, если студент решил хотя бы 3 из них. Студент Иванов может решить каждую задачу с вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что он сдаст зачет?

Задача 32

 К контролеру с конвейера поступили 4 детали. Вероятность брака для каждой детали равна 0,1. Детали проверяют одну за другой, пока не наберут  2 доброкачественные.  Найти закон распределения вероятностей для числа проверенных деталей.

Задача 33

Случайная величина  имеет функцию распределения:

Найти функцию плотности распределения случайной величины

Задача 34

Диаметр выпускаемой детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией, равными соответственно 10 см и 0,16 см². Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.

Задача 35

В ящике находится 8 белых, 4 черных и 7 красных шаров. Наудачу извлечены 3 шара. Найти вероятности следующих событий:  – извлечен по крайней мере 1 красный шар,  – есть по крайней мере 2 шара одного цвета,  – есть по крайней мере 1 красный и 1 белый шар.

Задача 36

Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятности попадания по цели равны  и  соответственно. Найти, что вероятнее: два, одно или ни одного поражения цели.

Задача 37

Сколько вопросов из  должен знать студент, чтобы с вероятностью не меньше  сдать экзамен, если для этого нужно ответить на оба вопроса билета?

Группа состоит из 1 отличника, 5 хорошо успевающих студентов и 14 студентов, успевающих посредственно. Отличник отвечает на 5 и 4 с равной вероятностью, хорошист отвечает на 5, 4 и 3 с равной вероятностью, и посредственно успевающий студент отвечает на 4,3 и 2 с равной вероятностью. Случайно выбранный студент ответил на 4. Какова вероятность того, что был вызван посредственно успевающий студент?

Задача 39

В ящике находятся 5 пар черных и 28 пар коричневых перчаток. Каждая пара состоит из перчаток одинакового цвета, левой и правой. Какова вероятность, что две наугад вынутые перчатки образуют пару?

Задача 40

Дана выборка объема 20. Для данной несгруппированной выборки требуется:

а) найти ее размах, построить вариационный и статистический ряды;

б) найти оценки математического ожидания , дисперсии (смещенную  и несмещенную ), медианы  и моды ;

в) в предположении, что массив получен из нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестными  и  построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии при доверительной вероятности, равной 0.95;

г) с помощью построенных доверительных интервалов проверить гипотезы  и , где

Задача 41

Дана парная выборка  объема 10 из двумерно нормально распределенного случайного вектора . Для несгруппированных данных требуется:

а) построить диаграмму рассеивания;

б) получить оценки среднего и дисперсии для каждой из переменных  и , а также коэффициента корреляции

в) проверить гипотезу  об отсутствии линейной статистической связи между компонентами  и  при альтернативной гипотезе  (уровень значимости );

г) получить интервальную оценку для истинного значения коэффициента корреляции  при уровне значимости ;

д) составить уравнения линейных регрессии  на  и  на ;

е) нанести графики выборочных регрессионных прямых на диаграмму рассеяния.

ж) для линейной регрессии  на  вычислить остатки , остаточную сумму квадратов

оценку дисперсии ошибок наблюдений  и коэффициент детерминации ;

з) для линейной регрессии  на  построить доверительные интервалы для ее параметров и дисперсии ошибок наблюдений;

и) для линейной регрессии  на  проверить значимость линейной регрессии (уровень значимости )

Задача 42

В результате измерения длины стержня прибором без систематической ошибки получены следующие результаты: 109  113  102  121  105 мм. Найти несмещенную оценку дисперсии ошибок прибора.

Задача 43

Для определения максимальной скорости самолета было проведено n = 7 испытаний, в результате которых были вычислены   м/сек. и S = 12 м/сек. Предполагая, что рассеяние скорости подчинено нормальному закону, найти вероятность того, что доверительный интервал для  оценки генеральной средней равен (693; 707).

Задача 44

На основании измерения диаметров n = 9 поршневых колец найдены выборочная средняя и  S = 23 мк. Определить вероятность того, что истинное значение дисперсии генеральной совокупности будет находиться в интервале (0,9S²; 1,1S²). Предполагается, что ошибка измерения распределена нормально.

Задача 45

По результатам n = 36 измерений длины корпусов было получено  . и S = 3 мм. Определить вероятность того, что генеральная средняя будет находиться внутри интервала (199; 201).

Задача 46

По результатам измерения диаметра n = 50 корпусов электродвигателей получено  . и S = 3,6 мм. В предположении о нормальном распределении найти вероятность того, что среднее квадратическое отклонение   будет находиться внутри интервала (3,5; 3,7).

Задача 47

Производится три независимых испытания, в каждом из которых вероятность появления события  равна . Составить закон распределения дискретной случайной величины  – числа появления события  в указанных испытаниях. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Задача 48

Дана дифференциальная функция непрерывной СВ :

Найти постоянную , интегральную функцию .

Задача 49

В урне  шаров:  белых и  черных шаров. Вынули  шаров. Случайная величина  – число вынутых белых шаров. Построить ряд распределения величины .

Задача 50

С вероятность попадания при явном выстреле  охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более  выстрелов. ДСВ  – число промахов.

а) Найти закон распределения ;

б) построить многоугольник распределения

в) найти вероятность событий: ;

Задача 51

НСВ  имеет плотность вероятности (закон Коши)

Найти:

а) постоянную ;

б) функцию распределения ;

в) вероятность попадания в интервал

г)  построить графики

Задача 52

Найти  и  НСВ, имеющей плотность вероятности ; Указать интервал, симметричный относительно , в который попадает случайная величина  с вероятностью

Задача 53

Случайные величины X и Y заданы законами распределений. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайных величин X и Y. Составить законы распределений случайных величин Z = X+Y, V=XY. Построить многоугольник распределения вероятностей случайной величины Z. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины W=2X-4Y.

и

Задача 54

Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией (функцией распределения) . Найти:

а) вероятность попадания случайной величины  в интервал ;

б) дифференциальную функцию (функцию плотности вероятностей) ;

в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины ;

г) построить графики функций  и

Задача 55

Построить ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при  бросках, если вероятность попадания равна .

Задача 56

М(Х) и s(Х) нормального распределённой СВ Х соответственно равны m и σ.Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (a,b).

Задача 57

Случайная величина Х задана функцией распределения:

а) Найти плотность вероятности СВ Х-f(x).

б) Построить графики  f(x), F(x).

в) Найти вероятность  попадания НСВ в интервал (a; b).

Задача 58

Случайная величина x распределена равномерно интервале (a,b). Найти закон распределения случайной величины y=g(x)

Задача 59

Производятся N независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления успеха равна p. Найти дисперсию числа появления успеха в этих испытаниях.

Задача 60

ДСВ Х – число мальчиков в семьях с 6-ю детьми. Предполагают равновероятное рождение мальчика и девочки.

Найти закон распределения.

Построить многоугольник распределения.

Найти вероятность событий:  а) в семье  3 или 4 мальчика, б) не более 4-х мальчиков, в) более 1 мальчика.

Задача 61

Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией (функцией распределения) F(x).  Найти:

а) вероятность попадания случайной величины Х в интервал(a,b);

б) дифференциальную функцию (функцию плотности вероятностей) f(x);

в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое  отклонение случайной величины Х;  

г) построить графики функций F(x)  и f(x) .

Задача 62

Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна . Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется, но не более 5. Требуется: а) составить закон распределения дискретной случайной величины X - числа патронов, выданных стрелку; б) найти наивероятнейшее число выданных стрелку патронов.

Задача 63

Дана интегральная функция распределения.

Найти дифференциальную функцию

Задача 64

В партии из N деталей имеется M стандартных. Из этой партии наудачу взято n детали. Найти закон распределения случайной величины Х, равный числу стандартных деталей в выборке. Построить многоугольник распределения.

Задача 65

Из N контрольных работ, среди которых M оценены на «отлично» наугад извлекаются n работы. Найти закон распределения ДСВ х, если Х-число работ оцененных на «отлично» среди извлеченных. Построить многоугольник распределения. Чему равна вероятность событий .

Задача 66

Случайная величина Х задана функцией распределения: а). Найти плотность вероятности  СВ Х-f(x). б). Построить графики  f(x), F(x).в). Найти вероятность  попадания НСВ в интервал (a; b).

Задача 67

Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией (функцией распределения) F(x).  Найти: а) вероятность попадания случайной величины Х в интервал(a,b)  ;  б) дифференциальную функцию (функцию плотности вероятностей) f(x);   в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое  отклонение случайной величины Х;   г) построить графики функций F(x)  и f(x) .

Задача 68

В подразделении отряда космонавтов входят 12 человек, из них 7 уже были в космосе, а 5 еще нет. Для участия в проекте отбирают 4 кандидатов. Какова вероятность того, что по крайней мере у двоих из отобранных кандидатов уже есть космический опыт?

Задача 69

Определить вероятность выпадения сразу 3-х монет «орлом» для группы из 25 монет.

Задача 70

Три стрелка стреляют по мишени. Каковы вероятности того, что они одновременно попадут по мишени и того, что хоть один стрелок попадёт в мишень, если для каждого из них вероятность попадания составляет:

Задача 71

Имеются 7 урн с белыми и черными шарами различного состава.

Оценить вероятность того, что извлеченный из произвольной корзины шар будет белым и для случая, если этот шар окажется белым оценить вероятность того, что он был извлечен из 3-ей корзины.

Задача 72

Для следующих числовых рядов определить дисперсию и среднеквадратическое отклонение:

1 6          9          5          2          3          8          2          6          5          9          9            6          9

Задача 73

Из  изделий  имеют скрытый дефект. Наугад выбрано  изделий. Найти вероятности следующих событий:

 – среди выбранных  изделий имеют скрытый дефект

 – среди выбранных есть хотя бы одно изделие со скрытым дефектом;

 – среди выбранных не более двух изделий со скрытым дефектом

Задача 74

В урне смешаны  шаров белого цвета,  шаров черного цвета,  синего и  красного. Наугад выбрано  шаров. Какова вероятность того, что среди выбранных  белых,  черных,  синих и  красных шаров?

Задача 75

В лифт 9-этажного дома сели 6 пассажиров. Каждый пассажир независимо от других с равной вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий:

 – все пассажиры вышли на разных этажах;

 – все вышли выше четвертого этажа;

 – никто не вышел на пятом этаже;

 – хотя бы два вышли на одном этаже.

Задача 76

В каждой из трех урн содержится по восемь шаров. В первой урне пять белых и три черных шара. Во второй урне 3 белых, остальные шары черные, в третьей урне 5 белых, остальные шары черные. Из каждой урны наугад выбрано по одному шару. Найти вероятности следующих событий:

 – выбран только один белый шар

 – выбраны только белые шары

Задача 77

В первой урне 7 белых шаров, 3 синих и 5 красных, во второй соответственно 3 белых, 4 синих и 3 красных. Из каждой урны наугад выбирают 2 шара. Какова вероятность того, что будут выбраны шары одного цвета?

Задача 78

Найти:  НСВ , распределенной равномерно в интервале ; функцию распределения  и функцию плотности вероятности ; вероятность попадания НСВ  в интервал

Задача 79

Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,001 Найти вероятность того, что среди 350 деталей   окажется ровно 3 бракованных. Определить закон распределения СВ X и её числовые характеристики.

Задача 80

Найти среднее число l бракованных изделий в партии изделий, если вероятность того, что в этой партии содержится хотя бы одно бракованное изделие, равна . Предполагается, что число бракованных изделий в рассматриваемой партии распределено по закону Пуассона.

Задача 81

Из партии в  изделий, среди которых имеются  бракованных, выбраны случайным образом  изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения случайного числа X бракованных изделий, содержащихся в выборке.

Задача 82

М(Х) и s(Х) нормального распределённой СВ Х соответственно равны  и  .Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале .

Задача 83

Диспетчер принимает вызовы с трех объектов, функционирующих независимо друг от друга. Вероятность того, что придет вызов с первого объекта  - 0,6, со второго – 0,5, с третьего – 0,2. Найти вероятность того, что в течение смены придет вызов: а) со всех объектов, б) хотя бы с одного объекта.

Задача 84

На сборы приглашено 120 спортсменов. Вероятность для каждого спортсмена выполнить норматив 0,7. Определить вероятность того, что:

а) выполнят норматив ровно 80 спортсменов;

б) выполнят норматив не менее 80.

Задача 85

Телефонный кабель состоит из 400 жил. С какой вероятностью этим кабелем можно подключить к телефонной сети не менее 395 абонентов, если для подключения каждого из них нужна одна жила, а вероятность того, что она повреждена – 0,0125.

Задача 86

На заводе работают три автоматические линии. В течение смены первая линия не требует регулировки с вероятностью 0,9, вторая – с вероятностью 0,8, третья – с вероятностью 0,75. Составить закон распределения числа линий, которые в течение смены потребуют регулировки. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Задача 87

Плотность вероятности случайной величины  имеет вид:

Необходимо:

1) найти параметр

2) вычислить математическое ожидание,

3) найти вероятность

4) построить графики функции распределения и плотности вероятности случайной величины .

Задача 88

Данные 10%-ной собственно-случайной бесповторной выборки, образованной для изучения среднего размера кредита на неотложные нужды, представлены в таблице.

Найти:

1) Вероятность того, что средний размер кредита во всей генеральной совокупности отклонится от аналогичного показателя в выборке не более, чем на 500 рублей.

2)    Границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля кредитов размером не менее 35тыс.рублей.

3) Каким должен быть объем выборки, чтобы те же границы для доли, полученные в предыдущем пункте, гарантировать с вероятностью 0,9876.

Задача 89

По данным задачи 88, используя  -критерий Пирсона,  на уровне значимости    проверить гипотезу о том, что случайная величина X - размер кредита на неотложные нужды  распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Задача 90

Распределение годовой прибыли 100 магазинов (  у.е.) и товарооборота  представлено в таблице:

Необходимо:

1) Вычислить групповые средние  и , построить эмпирические линии регрессии;

2) Предполагая, что между переменными  и  существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными  и ;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний товарооборот магазина, получившего прибыль 55 у.е.

Задача 91

С помощью критерия Пирсона на уровне значимости  проверить гипотезу о законе распределения Пуассона на основании следующих данных:

Задача 92

На контрольных испытаниях  ламп было определено . Считая, что срок службы ламп распределен нормально с , проверить на уровне значимости  гипотезу  против альтернативной гипотезы . В ответе записать разность между фактическим и табличными значениями выборочной характеристики.

Задача 93

На основании контроля  деталей найдено, что , а . В предположении о нормальном распределении вычислить мощность критерия при проверке на уровне значимости  гипотезы  против конкурирующей гипотезы .

Задача 94

На основании контроля  измерений найдено, что , а . Допустив, что ошибка изготовления есть нормальная случайная величина проверить на уровне значимости  гипотезу :   против конкурирующей гипотезы :  . В ответе записать разность между фактическим и табличным значениям выборочной характеристики.

Задача 95

На основании контроля  измерений найдено, что , а . Допустив, что ошибка изготовления есть нормальная случайная величина вычислить мощность критерия при проверке на уровне значимости  гипотезы :  против конкурирующей гипотезы .

Задача 96

Из продукции двух автоматических линий взяты соответственно выборки  и  деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены  и . Предварительным анализом установлено, что погрешность изготовления есть нормальные случайные величины с дисперсиями  и . Требуется проверить на уровне значимости  гипотезу  против .

Задача 97

Выборочное обследование показало, что на изготовление одного изделия первая бригада затрачивала 40,47,43,44 и 46 кг сырья, а вторая – 51,49,52 и 48 кг. В предположении о нормальном распределении проверить на уровне значимости   гипотезу о равенстве двух генеральных средних  против конкурирующей гипотезы . Предполагается, что .

Задача 98

Из 200 задач первого типа предложенных для решения, студенты решили , а из  задач второго типа студенты решили  задач. Проверить на уровне значимости  гипотезу о том, что вероятность решения задачи не зависит от того, к какому типу она относится, т.е. :  .

Задача 99

На основе сгруппированных выборочных данных о производительности труда , измеряемой в млн.р. на человека, и фондовооруженности , измеряемой в млн.р. на человека, полученных от 100 однотипных предприятий за год:

Найти выборочное остаточное среднее квадратическое отклонение регрессии производительности труда  на фондовооруженность .

Задача 100

На основе выборочных данных о производительности труда , измеряемой в млн.р. на человека, и себестоимости продукции , измеряемой в тыс. рублей на единицу продукции, полученных с однотипных предприятий за месяц:

Проверить значимость коэффициента корреляции с .

По таблице критических точек распределения Стьюдента (по уровню значимости  и числу степеней свободы )  находим:

  - нулевую гипотезу принимаем. Коэффициент корреляции значим.

Задача 101

На основе 100 выборочных наблюдений об объеме и весе одного вида кондитерских изделий было выяснено, что при увеличении веса на 1 г объем увеличивается в среднем на ; увеличению объема на  соответствует увеличение веса в среднем на 2,7 г. С надежностью  найти длину интервальной оценки генерального коэффициента регрессии объема на вес кондитерских изделий.

Задача 102

Наудачу набранный номер состоит из  цифр. Определить вероятность того, что все цифры в нем различны.

Задача 103

Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна . Какова вероятность, что выиграет хотя бы один билет из  купленных.

Задача 104

Имеется 3 урны. В первой из них  белых и  черных шаров, во второй  белых и  черных шара, в третьей  белых и  черных шара. Некто наугад выбирает одну из урн и вынимает из нее шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из 1-й урны.

Задача 105

В мешке смешаны нити трех цветов: 30% белых, 50% красных, остальные 20% зеленые. Определить вероятность того, что при последовательном вытягивании наугад трех нитей окажется, что все они одного цвета.

Задача 106

Дана интегральная функция распределения. Найти: дифференциальную функцию .

Задача 107

НСВ задана функцией распределения :

а) Найти плотность вероятности СВ  - ;

б) Построить графики ;

в) Найти вероятность попадания СВ  в интервал

Задача 108

НСВ имеет плотность вероятности .

Найти:

а) постоянную ;

б) функцию распределения ;

в) вероятность попадания в интервал ;

г) построить графики

Задача 109

Найти  и  НСВ, имеющий плотность вероятности . Указать интервал, симметричный относительно  в который попадает случайная величина  с вероятностью

Задача 110

Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка при одном выстреле , для второго .

ДСВ  – число попаданий в мишень.

а) Найти закон распределения ;

б) Построить многоугольник распределения;

в) Найти вероятность

Задача 111

Эксперимент – передача трех сообщений по каналу связи; событие А – «все три сообщения переданы без ошибок», событие В – «все три с ошибками», событие С – «два с ошибками, одно без ошибок». Образуют ли данные события полную группу событий пространства элементарных событий описанного эксперимента; если да, то являются ли равновозможными; если нет – являются ли несовместными.

Задача 112

В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара, не возвращая их обратно. Какова вероятность того, что оба  шара белые?

Задача 113

Первый студент из 20 вопросов программы выучил 17, второй – 12. Каждому студенту задают по одному вопросу. Определить вероятность того, что:

а) оба студента правильно ответят на вопрос;

б) хотя бы один ответит верно;

в) правильно ответит только первый студент.

Задача 114

Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40% мужчин реагируют на них негативно. Свое отношение к предполагаемым ситуациям отразили в анкете 15 женщин и 5 мужчин. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?

Задача 115

Запишите таблицу для данного закона распределения случайной величины , постройте многоугольник распределения. Найдите числовые характеристики распределения ( ). Запишите функцию распределения и постройте ее график.. Ответьте на вопрос о вероятности описанного события.

Записи страховой компании показали, что 30% держателей страховых полисов старше 50 лет потребовали возмещения страховых сумм. Для проверки в случайном порядке было отобрано 5 человек старше 50 лет, имеющих полисы. Случайная величина  – количество требующих возмещения среди отобранных. Чему равна вероятность того, что потребуют возмещения более трех человек?

Задача 116

Заряд пороха для охотничьего ружья должен составлять 2,3 г. Заряд отвешивается на весах, имеющих ошибку взвешивания, распределенную по нормальному закону со средним квадратическим отклонением, равным 0,2 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес заряда составляет 2,8 г.

Задача 117

Дана плотность распределения   случайной величины .

Найти параметр , математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства . Построить график функций  и .

Задача 118

В коробке  карандашей, из которых  красных. Из этой коробки наудачу извлекается  карандаша.

а) Найти закон распределения случайной величины Х равной числу красных карандашей в выборке.

б). Построить многоугольник распределения.

в). Найти вероятность события:

Задача 119

С вероятностью попадания при явном выстреле  охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более  выстрелов.

ДСВ X-число промахов:

а) Найти закон распределения X.

б) Построить многоугольник распределения.

в) Найти вероятность событий: , , 

Наудачу набранный номер состоит из   цифр. Определить вероятность того, что все цифры в нем различны.

Задача 120

У рыбака имеется  места ловли рыбы, которые он посещает с одинаковой вероятностью. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюет с вероятностью , на втором – с вероятностью , на третьем с вероятностью . Рыбак, выйдя на ловлю в одно из мест,   раза закинул удочку. Найти вероятность того, что рыба клюнет только  раз.

Задача 121

На одной полке наудачу расставляется  книг. Найти вероятность того, что определенные  книги окажутся поставленными рядом.

Задача 122

На один ряд из  мест случайным образом садятся  учеников. Найти вероятность того, что  определённых ученика окажутся рядом.

Задача 123

Известно, что при  – кратном бросании монеты  раз выпали гербы и  раз цифры. Какова вероятность того, что все гербы выпали при первых M  бросаниях?

Задача 124

Какова вероятность получения 1 туза и короля при сдаче  карт из колоды в  карты?

Задача 125

Гардеробщица одновременно выдала номерки  лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы, и повесила их наугад. Найти вероятность того, что она каждому выдаст его собственную шляпу.

Задача 126

Из  работников, предприятия  имеют высшее образование:

Определить вероятность того, что из случайно отобранных  человек высшее образование имеют; а)  человека; б) один человек; в) хотя бы один человек.

Задача 127

Бросается  игральных кости. Какова вероятность того, что: а) хотя бы на  из них появится 5 очков; б) на всех выпадут нечетные цифры; в) на всех костях выпадут одинаковые цифры.

Задача 128

Наудачу берется число из чисел от 100 до 999. Какова вероятность того, что хотя бы две цифры совпадают.

Задача 129

Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 6% всей продукции является браком, а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

Задача 130

Истребитель атакует бомбардировщик и сбивает его с вероятностью 0,8. Если этим выстрелом бомбардировщик не сбит, то он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностью 0,7. Если истребитель не сбит, то он еще раз стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что сбит бомбардировщик.

Задача 131

Клапаны, изготовляемые в цехе, проверяются двумя контролерами. Вероятность того, что клапан попадет на проверку первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет забракована, для первого контролера равна 0,06, а для второго – 0,02. При проверке забракованных клапанов обнаружен годный. Найти вероятность того, что этот клапан проверил первый контролер.

Задача 132

Прибор при каждом испытании ломается с вероятностью 0,1. После первой поломки прибор ремонтируется, после второй – признается негодным. Какова вероятность того, что прибор будет признан негодным на седьмом испытании.

Задача 133

Имеется 5 станций, с которыми поддерживается связь. Время от времени связь прерывается из-за атмосферных помех. Перерыв связи с каждой из станций происходит независимо от остальных с вероятностью . Найти вероятность того, что в данный момент времени связь будет не более чем с двумя станциями.

Задача 134

На ткацком станке нить обрывается в среднем 0,375 раза в течение часа работы станка. Найти вероятность того, что за 8 часовую смену число обрывов нити будет не менее двух и не более четырех.

Задача 135

Ошибка прогноза температуры воздуха есть случайная величина с . Найти вероятность того, что в течение недели ошибка прогноза трижды превысит по абсолютной величине .

Задача 136

Среди семян пшеницы 0,6% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить не менее трех семян сорняков?

Задача 137

В архив поступают материалы по двум основным тематикам, причем по первой вдвое больше, чем по второй. Найти вероятность того, что из 2000 документов по первой тематике окажется больше 1500.