Многоканальная СМО с неограниченной очередью
Пусть в n-канальную систему массового обслуживания (СМО) поступает с
интенсивностью
простейший поток требований. Длительность
обслуживания распределена по показательному закону со средним временем
обслуживания
.
Если же все каналы обслуживания заняты, то вновь поступившее требование
становится в очередь за ранее поступившими не обслуженными требованиями.
Освободившийся канал приступает к обслуживанию очередного требования из
очереди. Определим основные характеристики работы такой системы. Так как число
требований, стоящих в очереди, может быть бесконечно большим, то и число
состояний системы также может быть бесконечно большим.
Вероятность свободного состояния системы:
Последнее выражение получено при
условии
, которое является условием
стационарности СМО. В случае
система не справляется с обслуживанием,
очередь неограниченно возрастает. Отношение
обозначается через
и называется уровнем загрузки системы:
Определим основные характеристики
многоканальной СМО с ожиданием.
Вероятность получения отказа равна нулю. Относительная пропускная способность
—это величина, которая дополняет
вероятность отказа до единицы:
.
Абсолютная пропускная способность
. Определим среднее число занятых
каналов: каждый занятый канал обслуживает в единицу времени в среднем
заявок, а вся система —
заявок. Тогда:
Коэффициент занятости каналов обслуживания:
Образование очереди возможно,
когда вновь пост пившее требование застанет в системе не менее n требований, т. е. когда в
системе будет находиться
,
, требований. Эти события
независимы, поэтому вероятность того, что все каналы заняты, равна сумме
вероятностей
,
Отсюда вероятность образования очереди:
Среднее число заявок в очереди
можно вычислить как математическое ожидание,
складывая произведения возможного числа
заявок на вероятность того, что число заявок будет в очереди:
Среднее число заявок, связанных с
системой:
Определим среднее время ожидания
заявки в очереди
. Очередь образуется, если все
каналов заняты. Так как интенсивность
обслуживания
, то поток освобожденных каналов
имеет интенсивность
. Если заявка поступила в момент,
когда заняты все
каналов и очереди нет, то время ожидания
составит в среднем
, а если застанет одно требование
в очереди, то
, и так далее. Среднее время
ожидания заявок в очереди найдем, суммируя произведения среднего времени
ожидания на соответствующую вероятность:
Среднее время пребывания заявок в
системе:
Формулы Литтла:
Среднее число простаивающих
каналов обслуживания:
Коэффициент простоя каналов:
Задача
На строительном складе работают четыре кладовщика. Поток посетителей имеет пуассоновское распределение с интенсивностью 2 заявки в минуту. Время обслуживания имеет показательное распределение со средним значением 1,5 минуты на заявку. Определить показатели работы склада.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Имеем:
Отсюда следует, что вероятность того, что все четыре кладовщика простаивают, равна 0,05. Определим другие показатели работы системы.
Абсолютная
пропускная способность склада, т. е. количество обслуживаемых
в единицу времени требовании,
(заявки в минуту). Среднее число занятых
кладовщиков
. Вероятность образования
очереди, т. е. вероятность того, что в момент обращения заказчика все четыре
кладовщика заняты:
Среднее число заявок в очереди:
Среднее время простаивания в очереди:
Среднее
число заявок в системе:
Среднее время пребывания заявки в системе:
Среднее
число простаивающих кладовщиков: