Помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp или Viber. Заполнение формы с личными данными и регистрация на сайте не нужны.
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов).
Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.

Формула Пуассона и закон распределения Пуассона

Краткая теория

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  равна . Для определения вероятности  появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же  велико, то пользуются локальной формулой Лапласа или интегральной формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность случайного события мала. В этих случаях (  велико,  мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно  раз. Сделаем важное допущение: произведение  сохраняет постоянное значение, а именно . Это означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях , остается неизменным.

Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности:

Так как , то , следовательно:

Приняв во внимание, что  имеет очень большое значение, вместо  найдем

При этом будет найдено лишь приближенное значение отыскиваемой вероятности:  хотя и велико, но конечно, а при отыскании предела мы устремим  к бесконечности. Затем, что поскольку произведение  сохраняет постоянное значение, то при  вероятность .

Таким образом:

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (  велико) и редких (  мало) событий.

Дискретная случайная величина  имеет закон распределения Пуассона с параметром , если она принимает значения 0,1,2,...,k,… (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

0 1 2

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого закона, т.е.

По закону Пуассона распределены, например, число рождений тройни, число сбоев на автоматической линии, число отказов сложной системы в нормальном режиме, число требований на обслуживания, поступивших в единицу времени в системах массового обслуживания и тому подобное.

Если СВ представляет собой сумму двух независимых СВ, распределенных каждая по закону Пуассона, то она также распределена по закону Пуассона.

Основные законы распределения дискретных случайных величин, кроме закона Пуассона:

Пример решения задачи

Задача 1

На базе получено 10000 электроламп. Вероятность того, что в пути лампа разобьется, равна 0,0003. Найдите вероятность того, что среди полученных ламп будет пять ламп разбито.

Прочитать подробно, как оставить заявку на платные услуги сайта - решение задач, выполнение контрольных работ, онлайн-помощь на экзаменах/зачетах/самостоятельных, консультации по теории вероятностей и математической статистике. Узнать цены, способы оплаты, сроки решения, посмотреть отзывы.

Решение

Условие применимости формулы Пуассона:

Если вероятность  появления события  в отдельном испытании достаточно близка к нулю, то даже при больших  значениях количества испытаний вероятность, вычисляемая по локальной теореме Лапласа, оказывается недостаточно точной. В таких случаях используют формулу, выведенную Пуассоном.

 

Пусть событие  – 5 ламп будет разбито

Воспользуемся формулой Пуассона:

 

В нашем случае:

Ответ

p=0.1008

Задача 2

На предприятии 1000 единиц оборудования определенного вида. Вероятность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,001. Составить закон распределения числа отказов оборудования в течение часа. Найти числовые характеристики.

Решение

Случайная величина  – число отказов оборудования, может принимать значения

Воспользуемся законом Пуассона:

где

Найдем эти вероятности:

Найдем вероятность того, что откажет более 5 единиц оборудования:

Искомый закон распределения числа отказов оборудования в течение часа:

0 1 2 3 4 5 более 5
0.3679 0.3679 0.184 0.0613 0.0153 0.031 0.0005

Проверка гипотезы о распределении выборки по закону Пуассона.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона равна параметру  этого распределения:

Среднее квадратическое отклонение:

К оглавлению решебника по теории вероятностей и математической статистике