Формула Пуассона

Краткая теория


Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  равна . Для определения вероятности  появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же  велико, то пользуются локальной формулой Лапласа или интегральной формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность случайного события мала. В этих случаях (  велико,  мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно  раз. Сделаем важное допущение: произведение  сохраняет постоянное значение, а именно . Это означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях , остается неизменным.

Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности:

Так как , то , следовательно:

Приняв во внимание, что  имеет очень большое значение, вместо  найдем

При этом будет найдено лишь приближенное значение отыскиваемой вероятности:  хотя и велико, но конечно, а при отыскании предела мы устремим  к бесконечности. Затем, что поскольку произведение  сохраняет постоянное значение, то при  вероятность .

Таким образом:

Условие применимости формулы Пуассона

Если вероятность  появления события  в отдельном испытании достаточно близка к нулю, то даже при больших  значениях количества испытаний вероятность, вычисляемая по локальной теореме Лапласа, оказывается недостаточно точной. В таких случаях используют формулу, выведенную Пуассоном.

Формула Пуассона

где

При подсчете пуассоновских вероятностей полезно пользоваться рекуррентной формулой:

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

На базе получено 10000 электроламп. Вероятность того, что в пути лампа разобьется, равна 0,0003. Найдите вероятность того, что среди полученных ламп будет пять ламп разбито.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Пусть событие  – 5 ламп будет разбито

Воспользуемся формулой Пуассона:

 

В нашем случае:

Ответ: p=0.1008


Пример 2

Из 100 изделий, среди которых имеется 3 нестандартных, выбраны случайным образом 9 изделий для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных 9 изделий окажется ровно 1 нестандартное изделие, используя классическое определение вероятностей, формулу Бернулли, формулу Пуассона и локальную теорему Лапласа.

Решение

Воспользуемся классическим определением вероятности:

 -общее число возможных исходов испытания

 -число испытаний, благоприятствующих интересующему нас событию

Искомая вероятность:

Воспользуемся формулой Бернулли:

В нашем случае:

 

Воспользуемся формулой Пуассона:

Искомая вероятность:

 

Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

В нашем случае:


Пример 3

Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0.05. Поступило 100 вызовов. Определить вероятность того, что произойдет не более 3 сбоев.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Воспользуемся формулой Пуассона:

В нашем случае:

Не более 3-х сбоев – это значит 0,1, 2 или 3 сбоя

Искомая вероятность:

Ответ:


Пример 4

Вероятность потери банковской карты  0,03. Найти вероятность того, что из 200 карт будут потеряны: а) 4 карты; б) хотя бы одна карта; в) более 2 карт.

Решение

Число  велико, вероятность  мала, и рассматриваемые события  независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:

Найдем

 

а) Пусть событие  - потеряно ровно 4 карты:

б) Пусть событие  - потеряна хотя бы одна карта:

Противоположное событие  - не потеряно ни одной карты

в) Пусть событие  - потеряно более 2-х карт. Тогда противоположное событие  - потеряно 0,1 или 2 карты.

Ответ: а) ; б) ;  в) .

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Книга в 500 страниц содержит 500 опечаток. Найти вероятность того, что на определенной странице будет не менее трех опечаток.


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 2

Вероятность сбоя в работе банкомата при каждом запросе равна 0,0016. Банкомат обслуживает 2000 клиентов в неделю. Определить вероятность того, что при этом число сбоев не превзойдет 3.


Задача 3

Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель ровно 100 раз, если было произведено 2000 выстрелов.


Задача 4

Прядильщица обслуживает 800 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты 0,003. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на трех веретенах.


Задача 5

Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных.


Задача 6

Владельцы кредитных карточек ценят их и теряют весьма редко. Пусть вероятность потерять в течение недели кредитную карточку для произвольного владельца равна 0,001. Всего банк выдал карточки 2000 клиентам. Найти вероятность того, что в предстоящую неделю будет потеряна: а) хотя бы одна; б) ровно одна кредитная карточка. Найти наивероятнейшее число карточек, теряемых за неделю.


Задача 7

Найти среднее число l бракованных изделий в партии изделий, если вероятность того, что в этой партии содержится хотя бы одно бракованное изделие, равна 0,92. Предполагается, что число бракованных изделий в рассматриваемой партии распределено по закону Пуассона.


Задача 8

Телефонный кабель состоит из 400 жил. С какой вероятностью этим кабелем можно подключить к телефонной сети не менее 395 абонентов, если для подключения каждого из них нужна одна жила, а вероятность того, что она повреждена – 0,0125.


Задача 9

Среди семян пшеницы 0,6% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить не менее трех семян сорняков?

 


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 10

Учебник по теории вероятностей издан тиражом 10000 экз. Вероятность бракованного экземпляра . Найти вероятность того, что в тираже будет ровно 2 бракованных книги.


Задача 11

Среди семян риса 0,2% семян сорняков, т.е. число сорняков в рисе распределено по закону Пуассона. Найти вероятность того, что при случайном отборе 10000 семян будет обнаружено

1) не менее 2 семян - сорняков;

2) хотя бы 1 семя -сорняк.


Задача 12

Вероятность того, что изделие не выдержит испытания равна 0.0004. Найдите вероятность того, что из 1000 наудачу взятых изделий не выдержит испытаний не менее двух изделий.


Задача 13

Станок состоит из 2000 независимо работающих узлов. Вероятность отказа одного узла в течение года равна 0,0005. Найти вероятность отказа в течение года: а) двух узлов; б) не более 5 узлов.


Задача 14

В среднем левши составляют 1%. Какова вероятность того, что среди 200 студентов найдется: а) ровно 4 левши; б) не менее чем 4 левши.


Задача 15

Среди 100 изготавливаемых микросхем в среднем одна бракованная. Найти вероятность того, что в партии из 1000 микросхем не более двух бракованных. 


Задача 16

Телефонная станция обслуживает 600 абонентов. Вероятность звонка абонента в течение часа равна 0,05. Какова вероятность того, что в течение часа поступят звонки не более чем от трех абонентов?


Задача 17

Сборник содержит 400 задач с ответами. В каждом ответе вероятность ошибки 0,01. Какова вероятность того, что в сборнике не более двух задач с ошибочными ответами?